贡献者： 零穹
一元函数的泛函极值问题已经研究过，现在研究 $n$ 元函数的泛函极值问题，并推导 $n$ 元函数泛函极值问题中的 Euler-Ostrogradsky 方程。“一元” 在于泛函的宗量（泛函的 “自变量”）为一元函数（即可取曲线），“ $n$ 元” 在于泛函的宗量为 $n$ 元函数（这时也可称为可取曲线，只不过变元为 $n$ 个）。
在 $n$ 元函数的情形，我们仍然限定泛函 $J(\varphi)$ 的宗量 $\varphi(x_1,\cdots,x_n)$ 属于 $C_1$ 类函数，即在它的定义域上连续，并有关于所有变元 $x_i$ 的连续偏导数 $\partial_i\varphi= \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} =\varphi'_{x_i}$。
具体来说，我们的问题可归结为：在所有定义在 $n$ 维空间中有界区域 $Q$ 上的 $C_1$ 类函数中，以 $\overline{C_1}$ 表示那些在 $Q$ 的边界 $\Omega$ 上取给定值的属于 $C_1$ 类函数的全体，即若 $\varphi\in\overline{C_1}$，则 $\varphi(\Omega)=f(\Omega)$1 而 $f(\Omega)$ 是给定的。在 $\overline{C_1}$ 中找出一个函数 $\varphi$，使它给出泛函
\begin{equation}
J(\varphi)=\int\cdots\int\limits_Q F(x_i,\varphi,\partial_i\varphi) \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n~
\end{equation}
的极值。其中，$\partial_i\varphi$ 是 $\{\partial_i\varphi|i=1\cdots,n\}$ 的简写，$F$ 是其 $2n+1$ 个变元 $x_i,\varphi,\partial_i\varphi$ 的连续函数，并且对于一切变元有三阶以内的偏微商。
若函数 $\varphi$ 给出泛函 $J(\varphi)$ 的极值，则函数 $\varphi$ 在区域 $Q$ 上满足偏微分方程
\begin{equation}
F'_\varphi-\sum_{i=1}^n\partial_i F'_{\partial_i\varphi}=0~,
\end{equation}
这称为
Euler-Ostrogradsky 方程。
为证明式 2 ，先给出一些必要的概念。
定义 1 $C_1$ 类函数的距离及邻区
若 $\varphi,\phi\in C_1$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
r(\varphi,\phi)=&\mathrm{max}\{ \left\lvert \varphi(x_1,\cdots,x_n)-\phi(x_1,\cdots,x_n) \right\rvert \\
& \left\lvert \partial_i\varphi(x_1,\cdots,x_n)-\partial_i\phi(x_1,\cdots,x_n) \right\rvert \}~\quad (i=1,\cdots,n)~.
\end{aligned}
\end{equation}
为 $C_1$ 类函数 $\varphi,\phi$ 的
距离。满足 $r(\varphi,\phi)<\epsilon$ 的那些函数 $\phi$ 的全体构成 $\varphi$ 的 $\epsilon$
邻区。
1. 式 2 的证明
设 $\varphi+\delta\varphi$ 是位于 $\varphi$ 的 $\epsilon$ 邻区的 $\overline{C_1}$ 函数。于是 $\delta{\varphi}(\Omega)=0$
\begin{equation}
\begin{aligned}
J(\varphi+\delta\varphi)-J(\varphi)=&\int\cdots\int\limits_Q [F(x_i,\varphi+\delta\varphi,\partial_i(\varphi+\delta\varphi))-\\
&F(x_i,\varphi,\partial_i\varphi)] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n\\
=&\int\cdots\int\limits_Q [F(x_i,\varphi+\delta\varphi,\partial_i\varphi+\delta\partial_i\varphi)-\\
&F(x_i,\varphi,\partial_i\varphi)] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n\\
=&\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi+\sum_{i=1}^nF'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n+\eta~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中，$\eta$ 在 $\delta\varphi\rightarrow0$ 时是比 $r(\varphi,\varphi+\delta\varphi)$ 更高阶的小量。
\begin{equation}
\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi+\sum_{i=1}^nF'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n~.
\end{equation}
显然对 $\varphi$ 是线性的，即是泛函 $J(\varphi)$ 的主要线性部分，称为 $J$ 的变分，同样记为 $\delta J$
\begin{equation}
\delta J=\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi+\sum_{i=1}^nF'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n~,
\end{equation}
泛函 $J(\varphi)$ 在 $\varphi$ 上达到极值，必要条件是 $\delta J=0$(同
定理 1 证明一样的。)
考虑 $Q$ 内一条平行于 $Ox_i$ 的直线，其上的区间 $AB$ 端点在边界 $\Omega$ 上。于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_A^B F'_{\partial_i\varphi}\delta\partial_i\varphi \,\mathrm{d}{x} _i=&F'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi\Big|_A^B-\int_A^B \partial_iF'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi \,\mathrm{d}{x} _i\\
&=-\int_A^B \partial_iF'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi \,\mathrm{d}{x} _i~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是由
式 6 ，
式 7 有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta J=&\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi\delta\varphi-\sum_{i=1}^n\partial_iF'_{\partial_i\varphi}\delta\varphi] \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n\\
=&\int\cdots\int\limits_Q [F'_\varphi-\sum_{i=1}^n\partial_iF'_{\partial_i\varphi}]\delta\varphi \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n~.
\end{aligned}
\end{equation}
有下面的引理即得
式 2
证毕！
引理 1
若
\begin{equation}
\int\cdots\int\limits_Q M\eta \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n=0~,
\end{equation}
其中 $M$ 是 $Q$ 上的连续函数，而 $\eta$ 是满足 $\;\eta(\Omega)=0$ 的 $C_1$ 类中的任意函数，则
\begin{equation}
M(Q)=0~.
\end{equation}
证明：设 $M(A)=c\neq0,\;A\in Q$，不失一般性，设 $c>0$。围绕 $A$ 作长方形 $R$:
\begin{equation}
a_i\leq x_i\leq b_i~.
\end{equation}
它完全包含在 $Q$ 内，且 $\forall A'\in R,M(A')>\frac{c}{2}$（$M$ 的连续性保证这是可能的）。
定义函数 $\eta$
\begin{equation}
\eta(x_1,\cdots,x_n)=\left\{
\begin{aligned}
&\prod_{i=1}^n \sin^2\frac{\pi(x_i-a_i)}{b_i-a_i} &\quad &(x_1,\cdots,x_n)\in R\\
&0 &\quad &(x_1,\cdots,x_n)\notin R~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
显然 $\eta\in C_1,\eta(\Omega)=0$，因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int\cdots\int\limits_Q M\eta \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n=\int\cdots\int\limits_R M\eta \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n>\\
>\frac{c}{2}\int_{a_1}^{b_1}\cdots\int_{a_n}^{b_n}\prod_{i=1}^n \sin^2\frac{\pi(x_i-a_i)}{b_i-a_i} \,\mathrm{d}{x} _1\cdots \,\mathrm{d}{x} _n>0~.
\end{aligned}
\end{equation}
这与
式 9 矛盾，于是
引理得证！
1. ^ $f(\Omega)=\{f(A)|A\in \Omega\}$