多元函数泛函的极值

贡献者：零穹

预备知识　极值的必要条件（变分学）

　　一元函数的泛函极值问题已经研究过，现在研究 $n$ 元函数的泛函极值问题，并推导 $n$ 元函数泛函极值问题中的 Euler-Ostrogradsky 方程。“一元” 在于泛函的宗量（泛函的 “自变量”）为一元函数（即可取曲线），“ $n$ 元” 在于泛函的宗量为 $n$ 元函数（这时也可称为可取曲线，只不过变元为 $n$ 个）。

　　在 $n$ 元函数的情形，我们仍然限定泛函 $J (φ)$ 的宗量 $φ (x_{1}, \dots, x_{n})$ 属于 $C_{1}$ 类函数，即在它的定义域上连续，并有关于所有变元 $x_{i}$ 的连续偏导数 $\partial_{i} φ = \frac{\partial φ}{\partial x_{i}} = φ_{x_{i}}^{'}$ 。

　　具体来说，我们的问题可归结为：在所有定义在 $n$ 维空间中有界区域 $Q$ 上的 $C_{1}$ 类函数中，以 $\overset{―}{C_{1}}$ 表示那些在 $Q$ 的边界 $Ω$ 上取给定值的属于 $C_{1}$ 类函数的全体，即若 $φ \in \overset{―}{C_{1}}$ ，则 $φ (Ω) = f (Ω)$ ¹ 而 $f (Ω)$ 是给定的。在 $\overset{―}{C_{1}}$ 中找出一个函数 $φ$ ，使它给出泛函

\begin{matrix} (1) & J (φ) = \int \dots \int_{Q} F (x_{i}, φ, \partial_{i} φ) d x_{1} \dots d x_{n} \end{matrix}

的极值。其中，

\partial_{i} φ

是

{\partial_{i} φ | i = 1 \dots, n}

的简写，

F

是其

2 n + 1

个变元

x_{i}, φ, \partial_{i} φ

的连续函数，并且对于一切变元有三阶以内的偏微商。

　　若函数 $φ$ 给出泛函 $J (φ)$ 的极值，则函数 $φ$ 在区域 $Q$ 上满足偏微分方程

\begin{matrix} (2) & F_{φ}^{'} - \sum_{i = 1}^{n} \partial_{i} F_{\partial_{i} φ}^{'} = 0, \end{matrix}

这称为 Euler-Ostrogradsky 方程。

　　为证明式 2 ，先给出一些必要的概念。

定义 1　 $C_{1}$ 类函数的距离及邻区

　　若 $φ, ϕ \in C_{1}$ ，则

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} r (φ, ϕ) = & \max {| φ (x_{1}, \dots, x_{n}) - ϕ (x_{1}, \dots, x_{n}) | \\ | \partial_{i} φ (x_{1}, \dots, x_{n}) - \partial_{i} ϕ (x_{1}, \dots, x_{n}) |} (i = 1, \dots, n) . \end{aligned} \end{matrix}

为

C_{1}

类函数

φ, ϕ

的距离。满足

r (φ, ϕ) < ϵ

的那些函数

ϕ

的全体构成

φ

的

ϵ

邻区。

1. 式 2 的证明

　　设 $φ + δ φ$ 是位于 $φ$ 的 $ϵ$ 邻区的 $\overset{―}{C_{1}}$ 函数。于是 $δ φ (Ω) = 0$

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} J (φ + δ φ) - J (φ) = & \int \dots \int_{Q} [F (x_{i}, φ + δ φ, \partial_{i} (φ + δ φ)) - \\ F (x_{i}, φ, \partial_{i} φ)] d x_{1} \dots d x_{n} \\ = & \int \dots \int_{Q} [F (x_{i}, φ + δ φ, \partial_{i} φ + δ \partial_{i} φ) - \\ F (x_{i}, φ, \partial_{i} φ)] d x_{1} \dots d x_{n} \\ = & \int \dots \int_{Q} [F_{φ}^{'} δ φ + \sum_{i = 1}^{n} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ \partial_{i} φ] d x_{1} \dots d x_{n} + η, \end{aligned} \end{matrix}

其中，

η

在

δ φ \to 0

时是比

r (φ, φ + δ φ)

更高阶的小量。

\begin{matrix} (5) & \int \dots \int_{Q} [F_{φ}^{'} δ φ + \sum_{i = 1}^{n} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ \partial_{i} φ] d x_{1} \dots d x_{n} . \end{matrix}

显然对

φ

是线性的，即是泛函

J (φ)

的主要线性部分，称为

J

的变分，同样记为

δ J

\begin{matrix} (6) & δ J = \int \dots \int_{Q} [F_{φ}^{'} δ φ + \sum_{i = 1}^{n} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ \partial_{i} φ] d x_{1} \dots d x_{n}, \end{matrix}

泛函

J (φ)

在

φ

上达到极值，必要条件是

δ J = 0

(同定理 1 证明一样的。)

　　考虑 $Q$ 内一条平行于 $O x_{i}$ 的直线，其上的区间 $A B$ 端点在边界 $Ω$ 上。于是

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \int_{A}^{B} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ \partial_{i} φ d x_{i} = & F_{\partial_{i} φ}^{'} δ φ |_{A}^{B} - \int_{A}^{B} \partial_{i} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ φ d x_{i} \\ = - \int_{A}^{B} \partial_{i} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ φ d x_{i} . \end{aligned} \end{matrix}

于是由式 6 ，式 7 有

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} δ J = & \int \dots \int_{Q} [F_{φ}^{'} δ φ - \sum_{i = 1}^{n} \partial_{i} F_{\partial_{i} φ}^{'} δ φ] d x_{1} \dots d x_{n} \\ = & \int \dots \int_{Q} [F_{φ}^{'} - \sum_{i = 1}^{n} \partial_{i} F_{\partial_{i} φ}^{'}] δ φ d x_{1} \dots d x_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

有下面的引理即得式 2

　　 证毕！

引理 1　

　　若

\begin{matrix} (9) & \int \dots \int_{Q} M η d x_{1} \dots d x_{n} = 0, \end{matrix}

其中

M

是

Q

上的连续函数，而

η

是满足

η (Ω) = 0

的

C_{1}

类中的任意函数，则

\begin{matrix} (10) & M (Q) = 0 . \end{matrix}

　　证明：设 $M (A) = c \neq 0, A \in Q$ ，不失一般性，设 $c > 0$ 。围绕 $A$ 作长方形 $R$ :

\begin{matrix} (11) & a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i} . \end{matrix}

它完全包含在

Q

内，且

\forall A^{'} \in R, M (A^{'}) > \frac{c}{2}

（

M

的连续性保证这是可能的）。

　　定义函数 $η$

\begin{matrix} (12) & η (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{aligned} \prod_{i = 1}^{n} \sin^{2} \frac{π (x_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} & (x_{1}, \dots, x_{n}) \in R \\ 0 & (x_{1}, \dots, x_{n}) \notin R . \end{aligned} \end{matrix}

显然

η \in C_{1}, η (Ω) = 0

，因此

\begin{matrix} (13) & \begin{array}{r} \int \dots \int_{Q} M η d x_{1} \dots d x_{n} = \int \dots \int_{R} M η d x_{1} \dots d x_{n} > \\ > \frac{c}{2} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \prod_{i = 1}^{n} \sin^{2} \frac{π (x_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} d x_{1} \dots d x_{n} > 0 . \end{array} \end{matrix}

这与式 9 矛盾，于是引理得证！

1. ^ $f (Ω) = {f (A) | A \in Ω}$

多元函数泛函的极值

定义 1 C1 类函数的距离及邻区

1. 式 2 的证明

引理 1

定义 1　 $C_{1}$ 类函数的距离及邻区

引理 1　