贡献者： JierPeter
1. 定义
实数域上的指数函数 $ \mathrm{e} ^x$ 可以进行 Maclaurin 展开：
\begin{equation}
\mathrm{e} ^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}~.
\end{equation}
展开式使得我们只需要用 $x$ 的幂就可以表示指数 $ \mathrm{e} ^x$。我们把这一点应用到矩阵中，就可以用方阵的幂来定义出矩阵的指数：
定义 1 矩阵指数
给定方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，定义
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }=\sum_{n=0}^\infty \frac{ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^n}{n!}~.
\end{equation}
并称之为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的
指数（matrix exponential）。其中对于任意方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，都有 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^0= \boldsymbol{\mathbf{I}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 是单位矩阵。
矩阵指数在常微分方程中非常常用，是用来解线性齐次方程组的利器。一个矩阵的指数本身还是一个矩阵。
2. 矩阵指数的性质
相似变换的统一
由过渡矩阵可知，如果矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 在某基下表示一个线性变换，那么当基按过渡矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $ 改变时，同一个线性变换的矩阵表示就变为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。在原基下，$ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 可以表示另一个线性变换，而它在 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $ 下的变换是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} }~.
\end{equation}
也就是说，$ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 所表示的变换，在基变换的时候，其矩阵表示的变换相当于给 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变换后再取矩阵指数。这意味着我们也可以定义线性变换的指数——也可以反过来说，这是因为我们可以定义线性变换的指数，方式也是使用 Maclaulin 级数。
事实上，如果 $\mathcal{T}_i$ 表示若干线性变换，我们可以用映射的复合来定义线性变换的乘法：那么对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，$\mathcal{T}^n_i( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\mathcal{T}_i(\mathcal{T}^{n-1}_i( \boldsymbol{\mathbf{v}} ))$，其中 $\mathcal{T}_i^1=\mathcal{T}_i$。类似地，也可以定义线性变换的加法：$(\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2)( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\mathcal{T}_1( \boldsymbol{\mathbf{v}} )+\mathcal{T}_2( \boldsymbol{\mathbf{v}} )$。这样，有了乘法和加法，就可以计算线性变换的级数了，而 Maclaulin 级数就可以定义为其指数：
\begin{equation}
\mathrm{e} ^\mathcal{T}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\mathcal{T}^n}{n!}~.
\end{equation}
其中 $\mathcal{T}^0$ 是恒等变换，对应单位矩阵。
式 3 意味着，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 是 $\mathcal{T}$ 在某基下的矩阵表示，那么 $ \mathrm{e} ^\mathcal{T}$ 在该基下的矩阵表示就是 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$。
运算性质
设 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} , \boldsymbol{\mathbf{N}} \in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，$a, b\in\mathbb{F}$，则容易得出以下性质：
如果 $ \boldsymbol{\mathbf{MN}} = \boldsymbol{\mathbf{NM}} $，那么我们有 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{N}} }= \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} + \boldsymbol{\mathbf{N}} }$。
$ \mathrm{e} ^{( \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{\mathrm{T}} )}=( \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }) ^{\mathrm{T}} $，$ \mathrm{e} ^{( \boldsymbol{\mathbf{M}} ^\dagger)}=({ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }})^\dagger$。
定理 1 矩阵指数的行列式与矩阵的迹
对于 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，有 $ \left\lvert \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \right\rvert = \mathrm{e} ^{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{M}} )}$。即：矩阵指数的行列式，等于矩阵迹的指数。
证明：
我们只需要考虑上三角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的情况即可，因为任何矩阵总可以通过相似变换变成上三角矩阵。此时，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的迹就是主对角元素之和，而 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^k$ 的第 $i$ 个主对角元素都是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的第 $i$ 个主对角元素的 $k$ 次方。
如果只看主对角元素，那么可以记 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 为 $(m_1, m_2,\cdots,m_n)$，其中各 $m_i$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的第 $i$ 个元素。类似地，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^k$ 就可以记为 $(m_1^k, m_2^k,\cdots,m_n^k)$。代入矩阵指数的定义式，可得 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 的对角线元素为 $( \mathrm{e} ^m_1, \mathrm{e} ^m_2,\cdots, \mathrm{e} ^m_n)$。
由于上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵，可知 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 是上三角矩阵，因此 $ \left\lvert \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \right\rvert = \mathrm{e} ^m_1\times \mathrm{e} ^m_2\times\cdots\times \mathrm{e} ^m_n= \mathrm{e} ^{ \mathrm{e} ^m_1+ \mathrm{e} ^m_2+\cdots+ \mathrm{e} ^m_n}= \mathrm{e} ^{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{M}} )}$。
证毕。
定理 2 矩阵指数求导
矩阵 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}$ 是一个关于实变量 $t$ 的函数，则
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}= \boldsymbol{\mathbf{M}} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}~,
\end{equation}
其中求导定义为对每个矩阵元单独求导的结果。
定理 2 的形式和 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{at}=a \mathrm{e} ^{at}$ 是一样的，它们也共享同一个证明，我们留作习题：
习题 1
根据式 2 的定义，注意 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 是常数矩阵，证明式 5 。
3. 对角化计算矩阵指数
最容易计算指数的矩阵，是对角矩阵。由于两个对角矩阵相乘后还是对角矩阵，结果矩阵的第 $i$ 个对角元就是两个矩阵的第 $i$ 个对角元相乘，因此对于任意非负整数 $k$ 有
\begin{equation}
\left( \operatorname {diag}(a_1, a_2, \cdots, a_n) \right) ^k = \operatorname {diag}(a_1^k, a_2^k, \cdots, a_n^k)~.
\end{equation}
于是易得
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \operatorname {diag(a_1, a_2, \cdots, a_n)}} = \operatorname {diag}( \mathrm{e} ^{a_1}, \mathrm{e} ^{a_2}, \cdots, \mathrm{e} ^{a_n})~.
\end{equation}
如果矩阵不是对角的，则计算会麻烦很多。但是，如果矩阵能通过相似变换化为对角矩阵，那么根据式 3 即可大大简化计算。对于任意矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，如果存在可逆矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $ 使得 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{MQ}} $ 是对角矩阵，那么 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{MQ}} }$ 非常容易计算，从而容易计算出
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } = \boldsymbol{\mathbf{Q}} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{MQ}} } \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1}~.
\end{equation}
利用可逆矩阵得到对角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{MQ}} $ 的过程，称为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的对角化。
并不是所有矩阵都能对角化，但复数域上的矩阵一定可以。我们可以利用特征方程来做对角化。求解特征方程
\begin{equation}
\det \left( \boldsymbol{\mathbf{M}} -\lambda \boldsymbol{\mathbf{E}} \right) =0~,
\end{equation}
这个方程是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式方程，其中 $n$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的阶数。根据
代数学基本定理，此方程一定有 $n$ 个解（计入重数），记为 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$，它们就是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的特征值。接下来，求解线性方程组（向量的线性方程）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{X}} = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{X}} ~,
\end{equation}
每个这样的方程组一定有
非零解（为什么？），这些解即为 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的特征向量。每个非零解作为列向量，排成一排，所得的矩阵便是 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。
例 1 复矩阵对角化
给定复矩阵
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&1
\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
其特征方程为
\begin{equation}
(1-\lambda)(1-\lambda)+1=0~,
\end{equation}
解为
\begin{equation}
\lambda_1 = 1- \mathrm{i} , \lambda_2 = 1+ \mathrm{i} ~.
\end{equation}
对特征值 $1- \mathrm{i} $ 求特征向量：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
(1- \mathrm{i} )
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
得到非零解
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1\\ \mathrm{i}
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
同理，对特征值 $1+ \mathrm{i} $ 求特征向量，得到非零解
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1\\ - \mathrm{i}
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
于是可以令
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{Q}} =
\begin{pmatrix}
1&1\\
\mathrm{i} &- \mathrm{i}
\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
从而得到对角矩阵
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{QM}} =
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1&- \mathrm{i} \\
1& \mathrm{i}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1\\
\mathrm{i} &- \mathrm{i}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1- \mathrm{i} &0\\
0&1+ \mathrm{i}
\end{pmatrix}
~.
\end{equation}
由于实数是复数的子集，故实矩阵也可以在复数域上对角化，虽然对角化后的结果可能不再是实矩阵，但依然可以计算其矩阵指数后再做逆相似变换，还原回实矩阵。