矩阵指数

                     

贡献者： JierPeter

  • 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

1. 定义

　　 实数域上的指数函数 $ \mathrm{e} ^x$ 可以进行 Maclaurin 展开：

\begin{equation} \mathrm{e} ^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}~. \end{equation}

　　 展开式使得我们只需要用 $x$ 的幂就可以表示指数 $ \mathrm{e} ^x$。我们把这一点应用到矩阵中，就可以用方阵的幂来定义出矩阵的指数：

定义 1　矩阵指数

　　 给定方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，定义

\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }=\sum_{n=0}^\infty \frac{ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^n}{n!}~. \end{equation}
并称之为矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的指数（matrix exponential）。其中对于任意方阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $，都有 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^0= \boldsymbol{\mathbf{I}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 是单位矩阵。

　　 矩阵指数在常微分方程中非常常用，是用来解线性齐次方程组的利器。一个矩阵的指数本身还是一个矩阵。

2. 矩阵指数的性质

相似变换的统一

　　 由过渡矩阵可知，如果矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 在某基下表示一个线性变换，那么当基按过渡矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $ 改变时，同一个线性变换的矩阵表示就变为 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} $。在原基下，$ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 可以表示另一个线性变换，而它在 $ \boldsymbol{\mathbf{Q}} $ 下的变换是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{Q}} }~. \end{equation}

　　 也就是说，$ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 所表示的变换，在基变换的时候，其矩阵表示的变换相当于给 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变换后再取矩阵指数。这意味着我们也可以定义线性变换的指数——也可以反过来说，这是因为我们可以定义线性变换的指数，方式也是使用 Maclaulin 级数。

　　 事实上，如果 $\mathcal{T}_i$ 表示若干线性变换，我们可以用映射的复合来定义线性变换的乘法：那么对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，$\mathcal{T}^n_i( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\mathcal{T}_i(\mathcal{T}^{n-1}_i( \boldsymbol{\mathbf{v}} ))$，其中 $\mathcal{T}_i^1=\mathcal{T}_i$。类似地，也可以定义线性变换的加法：$(\mathcal{T}_1+\mathcal{T}_2)( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\mathcal{T}_1( \boldsymbol{\mathbf{v}} )+\mathcal{T}_2( \boldsymbol{\mathbf{v}} )$。这样，有了乘法和加法，就可以计算线性变换的级数了，而 Maclaulin 级数就可以定义为其指数：

\begin{equation} \mathrm{e} ^\mathcal{T}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\mathcal{T}^n}{n!}~. \end{equation}
其中 $\mathcal{T}^0$ 是恒等变换，对应单位矩阵。

　　 式 3 意味着，如果 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 是 $\mathcal{T}$ 在某基下的矩阵表示，那么 $ \mathrm{e} ^\mathcal{T}$ 在该基下的矩阵表示就是 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$。

运算性质

　　 设 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} , \boldsymbol{\mathbf{N}} \in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，$a, b\in\mathbb{F}$，则容易得出以下性质：

　　 如果 $ \boldsymbol{\mathbf{MN}} = \boldsymbol{\mathbf{NM}} $，那么我们有 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{N}} }= \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} + \boldsymbol{\mathbf{N}} }$。

　　 $ \mathrm{e} ^{( \boldsymbol{\mathbf{M}} ^{\mathrm{T}} )}=( \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }) ^{\mathrm{T}} $，$ \mathrm{e} ^{( \boldsymbol{\mathbf{M}} ^\dagger)}=({ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }})^\dagger$。

定理 1　矩阵指数的行列式与矩阵的迹

　　 对于 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} \in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，有 $ \left\lvert \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \right\rvert = \mathrm{e} ^{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{M}} )}$。即：矩阵指数的行列式，等于矩阵迹的指数。

　　 证明：

　　 我们只需要考虑上三角矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的情况即可，因为任何矩阵总可以通过相似变换变成上三角矩阵。此时，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的迹就是主对角元素之和，而 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^k$ 的第 $i$ 个主对角元素都是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的第 $i$ 个主对角元素的 $k$ 次方。

　　 如果只看主对角元素，那么可以记 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 为 $(m_1, m_2,\cdots,m_n)$，其中各 $m_i$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的第 $i$ 个元素。类似地，$ \boldsymbol{\mathbf{M}} ^k$ 就可以记为 $(m_1^k, m_2^k,\cdots,m_n^k)$。代入矩阵指数的定义式，可得 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 的对角线元素为 $( \mathrm{e} ^m_1, \mathrm{e} ^m_2,\cdots, \mathrm{e} ^m_n)$。

　　 由于上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵，可知 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} }$ 是上三角矩阵，因此 $ \left\lvert \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} } \right\rvert = \mathrm{e} ^m_1\times \mathrm{e} ^m_2\times\cdots\times \mathrm{e} ^m_n= \mathrm{e} ^{ \mathrm{e} ^m_1+ \mathrm{e} ^m_2+\cdots+ \mathrm{e} ^m_n}= \mathrm{e} ^{ \operatorname {tr}( \boldsymbol{\mathbf{M}} )}$。

　　 证毕。

定理 2　矩阵指数求导

　　 矩阵 $ \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}$ 是一个关于实变量 $t$ 的函数，则

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}= \boldsymbol{\mathbf{M}} \mathrm{e} ^{ \boldsymbol{\mathbf{M}} t}~, \end{equation}
其中求导定义为对每个矩阵元单独求导的结果。

　　 定理 2 的形式和 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \mathrm{e} ^{at}=a \mathrm{e} ^{at}$ 是一样的，它们也共享同一个证明，我们留作习题：

习题 1　

　　 根据式 2 的定义，注意 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 是常数矩阵，证明式 5 。

                     

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