贡献者： 零穹
1. 二阶微分
设在区域 $\mathcal{D}$ 中给定一函数 $u=f(x_1,\cdots,x_n)$，它有着一阶连续偏导数。那时，称为全微分 $ \,\mathrm{d}{u} $ 的，就是如下表达式式 5
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{u} =\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} ~,
\end{equation}
式中的 $ \,\mathrm{d}{x_i} \quad(i=1,\cdots,n)$ 是自变量 $x_i$ 的任意增量。全微分也称为
一阶微分。
可以看出，$ \,\mathrm{d}{u} $ 也是一个 $x_1,\cdots,x_n$ 的函数。若假定 $u$ 有二阶连续偏导数，则 $ \,\mathrm{d}{u} $ 就有一阶连续偏导数，于是就能说微分 $ \,\mathrm{d}{u} $ 的全微分 $ \,\mathrm{d}{( \,\mathrm{d}{u} )} $，它称为 $u$ 的二阶微分，用记号 $\mathrm{d}^2u$ 表示。
需重点指出，在这时增量 $ \,\mathrm{d}{x_1} ,\cdots, \,\mathrm{d}{x_n} $ 被看着常数，且当由一个微分转移到下一微分时，仍保持同一数值。
利用微分法则（链接），就有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{^2u} &= \,\mathrm{d}{( \,\mathrm{d}{u} )} = \,\mathrm{d}{ \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) } \\
&=\sum_{i=1}^n \,\mathrm{d}{ \left( \frac{\partial u}{\partial x_i} \right) } \,\mathrm{d}{x_i} \\
&=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial ^2u}{\partial x_i\partial x_j} \,\mathrm{d}{x_j} \right) \,\mathrm{d}{x_i} \\
&=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial ^2u}{\partial x_i\partial x_j} \,\mathrm{d}{x_i} \,\mathrm{d}{x_j} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
记号约定
在一阶微分的情形，约定 “将字母 $u$ 移到求和号外”；于是可记为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{u} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) u~.
\end{equation}
若在二阶微分情形，也约定 “将字母 $u$ 移到求和号外”，就有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{^2u} = \left(\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial ^2}{\partial x_i\partial x_j} \,\mathrm{d}{x_i} \,\mathrm{d}{x_j} \right) u~,
\end{equation}
因此，二阶微分可以记号化地写成
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{^2u} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^2u~.
\end{equation}
2. 高阶微分
仿照二阶微分的定义，若 $(k-1)$ 阶微分 $ \,\mathrm{d}{^{k-1}} u$ 已确定，则$k$ 阶微分 $ \,\mathrm{d}{^ku} $ 就定义为 $(k-1)$ 阶微分的全微分：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{^k u} = \,\mathrm{d}{( \,\mathrm{d}{^{k-1}} u)} ~.
\end{equation}
若函数 $u$ 存在着直至 $k$ 阶为止的所有各阶的连续偏导数，则 $k$ 阶微分的存在就有了保证。
同样的，对任意的 $k$，有记号化的等式
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{^ku} = \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^k u~,
\end{equation}
首先把括号内的多项式按照代数学的乘幂法则形式地展开，以后所有各项 “乘” 以 $u$(补写在分子 $\partial^k$ 后面)，仅在这一步后，一切记号方才回到导数及微分的意义。
当 $k=1,2$ 时，我们已看到为真；故只需证明，若它对于 $ \,\mathrm{d}{^k u} $ 为真，则对于 $ \,\mathrm{d}{^{k+1}u} $ 为真即可。
假设这法则对于 $ \,\mathrm{d}{^k u} $ 能成立，就有展开式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{^k u} &= \left(\sum_{i=1} \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^k u\\
&=\sum C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\cdot \frac{\partial ^k u}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n}} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中的总和是关于条件 $\sum_{i=1}^n\alpha_i=k$ 的非负整数 $\alpha_i$ 的一切可能组合而取的，且
\begin{equation}
C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}=\frac{k!}{\alpha_1!\cdots\alpha_n!}~.
\end{equation}
由假定，存在 $(k+1)$ 阶连续偏导数，微分
式 8 ，就得
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{^{k+1}} u=&\sum C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\cdot\Bigg( \frac{\partial ^{k+1} u}{\partial x_1^{\alpha_1+1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1+1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n}} \\
&+\cdots+ \frac{\partial ^{k+1} u}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n+1}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n+1}} \Bigg)~.
\end{aligned}
\end{equation}
该式可先由记号化的等式
\begin{equation}
\sum C_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}\cdot \frac{\partial ^{k}}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial{x_n}^{\alpha_n}} \,\mathrm{d}{x_1^{\alpha_1}} \cdots \,\mathrm{d}{x_n^{\alpha_n}} \times \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ~.
\end{equation}
作形式上的相乘，再添写 $u$ 而得出。由
式 8 ，可知
式 11 正是
\begin{equation}
\left(\sum_{i=1} \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^k\times \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) = \left(\sum_{i=1} \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^{k+1}~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{^{k+1}} u= \left(\sum_{i=1}^n \frac{\partial }{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \right) ^{k+1}u~.
\end{equation}