贡献者： addis; JierPeter
火车模型对于初学者建立狭义相对论的直观理解有很大帮助，但它在逻辑上其实较为繁琐，需要推导出尺缩效应，再以此推导出时间的变换，才能得到洛伦兹变换。本节采用更紧凑的初等代数方法重新推导一遍洛伦兹变换，更为直接，同时也可以当作约化光速表示法的一个实例。
1. 洛伦兹变换
为方便讨论，设 $t = 0$ 时两参考系 $S$ 与 $S'$ 的原点重合，$x, y, z$ 轴方向相同。$S'$ 系相对 $S$ 系沿 $x$ 轴方向以速度 $v$ 匀速运动。$S$ 系中的坐标 $(x, y, z, t)$ 一一对应到 $S'$ 系中的坐标 $(x', y', z', t')$。每一个坐标等价于在这个坐标上发生的一个事件。
洛伦兹变换的另一个假设是，事件的四个坐标在不同惯性系中的变换一定是线性变换，这对应着我们在火车模型中所提到的，尺缩效应是均匀的，以及由此推导而得的时间变换的线性性。这也称作物理定律的平移对称及时间对称。
可以证明，满足上述要求的线性变换为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&y'= y\\
&z' = z\\
&t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right. ~,
\qquad
\left\{\begin{aligned}
&x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&y = y'\\
&z = z'\\
&t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right. ~,
\end{equation}
该变换被称为
洛伦兹变换。下面，我们就来具体推导这个变换。
2. 推导
由于两个参考系是完全对称的，根据相对性原理，它们之间的坐标变换应该具有完全相同的形式。式 1 中的变换和逆变换有个别符号上的差异，因为习惯上的坐标系的定义使得 $S'$ 相对 $S$ 的速度是正的，而 $S$ 相对于 $S'$ 速度却是负的。为了保持绝对的镜像对称我们只需把 $S'$ 的 $x$ 轴取反方向。
先考虑 $(x, t)$ 两个坐标，令线性变换为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x' &= ax + bt\\
t' &= mx + nt
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
解得逆变换为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x &= \frac{nx' - bt'}{an - bm}\\
t &= \frac{mx' - at'}{bm - an}
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
由相对性原理，正变换和逆变换的系数必须完全相同，对比系数并化简得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&a = -n\\
&bm - an = 1
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
为了书写方便，我们使用约化光速的表示，令 $c=1$（无单位）。
由光速不变原理，当某点延 $x$ 轴以光速运动，即 $ \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t} = 1$ 时，它在另一个参考系中的速度必须也是光速，即 $ \mathrm{d}{x'}/\mathrm{d}{t'} = -1$（注意两个参考系中 $x$ 轴方向相反）。所以
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{x'}}{\mathrm{d}{t'}} = \frac{a \,\mathrm{d}{x} + b \,\mathrm{d}{t} }{m \,\mathrm{d}{x} + n \,\mathrm{d}{t} } = \frac{a + b}{m + n} = -1~.
\end{equation}
根据定义，$S$ 系中的任意不动点（$ \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t} = 0$）在 $S'$ 系中速度为 $v$，所以
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{x'}}{\mathrm{d}{t'}} = \frac{a \,\mathrm{d}{x} + b \,\mathrm{d}{t} }{m \,\mathrm{d}{x} + n \,\mathrm{d}{t} } = \frac{b}{n} = v~.
\end{equation}
根据两坐标系定义，我们要求 $t$ 不变时，$x$ 增加 $x'$ 减少，所以
\begin{equation}
a < 0~.
\end{equation}
联立式 4 到式 7 可解得所有系数
\begin{equation}
a = - \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} ~,\qquad
b = \frac{v}{\sqrt{1-v^2}}~, \qquad
m = - \frac{v}{\sqrt{1-v^2}}~, \qquad
n = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}~.
\end{equation}
所以变换和逆变换为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x' = - \frac{x + vt}{\sqrt{1 - v^2}}\\
&t' = \frac{t + vx}{\sqrt{1 - v^2}}
\end{aligned}\right. ~,
\qquad
\left\{\begin{aligned}
&x = -\frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2}}\\
&t = \frac{t' + vx'}{\sqrt{1 - v^2}}
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
若按照一般的坐标系习惯，把 $x'$ 改成 $-x'$，就与
式 1 一致了
1。
下面再来考虑其他维度，设
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2}} + ay + bz\\
&t' = \frac{t - vx}{\sqrt{1 - v^2}} + cy + ez
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
求逆变换，对比系数，得出 $a, b, c, e$ 为零。同理可得
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
y' &= y\\
z' &= z
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
至此我们就完全推导出了洛伦兹变换。
1. ^ 要从该式得到国际单位的公式，只需把 $x, x', v, v'$ 都替换为国际单位的物理量除以转换常数 $c$ 即可