贡献者： 零穹; Giacomo
在向量空间中，找出线性无关的向量往往是一个基本的任务，这可以从基底张成向量空间看出（定义 1 ）。再有了对偶空间$V^*$ 的知识后，可以便洁的给出向量空间 $V$ 中向量线性无关性的各种判别法。
引理 1
若 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _m$ 是 $V$ 中线性相关的向量，而 $f_1,\cdots,f_m$ 是 $V$ 上任意的线性函数定义 1 ，那么
\begin{equation}
\det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))=0\qquad (1\leq i,j\leq m)~.
\end{equation}
($i$ 是行指标，$j$ 是列指标)
1
证明：由于 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _m$ 线性相关，必有一个向量是其余向量的线性组合，不失一般性，设这个向量就是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _m$，则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _m=\sum_{i\neq m}\alpha_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i~
\end{equation}
在行列式 $\det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))$ 中，从最后一列减去第一列乘 $\alpha_1$，$\cdots$，第 $m-1$ 列乘 $\alpha_{m-1}$，于是最后一列变为
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _m)-\sum_{j\neq m}\alpha_j f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)=f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _m-\sum_{j\neq m}\alpha_{j} \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)\\
&=f_i( \boldsymbol{\mathbf{0}} )=0 \qquad (i=1,\cdots ,m)~,
\end{aligned}
\end{equation}
所以行列式为 0.
证毕！
引理 2
如果 $(f_1,\cdots,f_n)$ 是向量空间 $V$ 的 对偶空间 $V^*$ 的一个基底，那么，向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n\in V$ 线性无关的充要条件为
\begin{equation}
\det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))\neq 0~.
\end{equation}
证明：
- 充分性：由引理 1 直接得证！
- 必要性：向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n\in V$ 线性无关，意味着 $V=\langle \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n\rangle$（定义 1 ）.用 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 代表 $V$ 的对偶于 $(f_1,\cdots,f_n)$ 的基底（子节 3 ），而用 $\alpha_{1j},\cdots,\alpha_{nj}$ 代表向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _j$ 在这个基底下的坐标。那么
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
\alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}
\end{pmatrix}~
\end{equation}
定理 1
设 $(f_1,\cdots,f_n)$ 是对偶于 $V$ 的空间 $V^*$ 的一个基底。那么，向量组 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k\in V$ 的秩等于所有形如
\begin{equation}
\det(f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))\qquad (1\leq i=i_1~,\cdots~ ,i_m\leq n;\;1\leq j=j_1~,\cdots~,j_m\leq k)~
\end{equation}
的非零行列式的最大阶数。
证明：用 $r$ 代表向量组 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k$ 的秩。任意 $m>r$，$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{j1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _{jm}$ 必线性相关。据引理 1 ，阶数 $m>r$ 的形如式 6 的行列式必为 0。
现在只需证明，存在一个形如式 6 的非零行列式，其秩为 $r$。用 $\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}$ 代表线性函数 $f_1,\cdots,f_n$ 在子空间 $U=\langle \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k\rangle$ 上的限制。
现要证明
\begin{equation}
\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle=U^*~.
\end{equation}
事实上，显然 $\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle \in U^*$。齐次，设 $\tilde f$ 是 $U^*$ 的任一向量，$( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r)$ 的基底，而 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _r; \boldsymbol{\mathbf{e}} _{r+1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 是它在 $V$ 中的扩展基底。
对这样的线性函数 $f\in V^*$，其中
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\tilde f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i) \quad(i=1~,\cdots ~,r)~,\quad f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=0
\quad (i=r+1,\cdots,n)~,
\end{equation}
因为 $V^*=\langle f_1,\cdots,f_n\rangle$，故 $f$ 可写成
\begin{equation}
f=\sum \beta_if_i~.
\end{equation}
把 $f$ 限制在 $U$ 上，显然 $\overline f=f|_U=\tilde f$，于是
\begin{equation}
\tilde f=\overline f=\sum \beta_i \overline f_i~,
\end{equation}
即 $\tilde f\in\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle$，故 $U^*\subset\langle\overline{f_1},\cdots,\overline{f_n}\rangle$，于是证得
式 7 。
最后，在 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _k$ 中选择 $r$ 个线性无关的向量（设为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{j1},\cdots, \boldsymbol{\mathbf{a}} _{jr} $），在 $\overline f_1,\cdots ,\overline f_n$ 中选择 $r$ 个线性无关的向量（设为 $\overline f_{i1},\cdots,\overline f_{ir}$），它们分别构成 $U,U^*$ 的基底，由引理 2
\begin{equation}
\det(\overline f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j))\neq0 \qquad (i=i_1,\cdots ,i_r;\; j=j_1,\cdots,j_r)~.
\end{equation}
剩下只需注意 $\overline f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)=f_i( \boldsymbol{\mathbf{a}} _j)$。
证毕！
1. ^ 矩阵的指标往往遵从 “左行右列，上行下列” 的原则，因为人们习惯 “从上到下，从左到右”。在一维情形，“上” 和 “左”，“下” 和 “右” 并无区别，只是表明某种方向性。