贡献者： Jia; addis
- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
- 本文处于草稿阶段。
1. 线性引力理论
爱因斯坦场方程1如下
\begin{equation}
G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi T_{\mu\nu}~.
\end{equation}
由于方程采用几何语言描述，十分简洁，但它包含着一系列复杂的非线性微分方程。一方面，寻求严格满足爱因斯坦场方程的解是一个漫长而艰难的过程，许多数学天才也投入其中。另一方面，我们试图简化爱因斯坦场方程，因为在大多数情况中引力场都很微弱，所以我们可以采用近似处理的方式使爱因斯坦场方程线性化，简而言之，就是要对时空进行一阶线性微扰。
2. 广义相对论中的时空微扰
对已知的某一背景时空进行微扰的核心观点非常简单，假设我们可以用下列展开来近似描述真实的物理时空：
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=g^{(0)}_{\mu\nu} + \epsilon g^{(1)}_{\mu\nu} + \frac{1}{2!}\epsilon^2 g^{(2)}_{\mu\nu}+\cdots~
\end{equation}
其中，$\epsilon $ 仅作为计算过程中判断各小量阶数的指标，必要的时候可以令 $\epsilon = 1 $，而 $g^{(0)}_{\mu\nu} $ 是已知的背景时空，一阶项 $g^{(1)}_{\mu\nu}$ 是线性微扰项。在本节中我们只讨论到一阶线性微扰部分。
3. 闵氏时空
我们先考虑背景时空为平直的闵氏时空，线性微扰项记为 $h_{\mu\nu}$ (例如，对于太阳系来说，$ \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert \sim 10^{-6}$). 在微扰的情景下，我们约定使用背景时空的度规进行指标升降，因此我们有
\begin{equation}
g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}~, \quad \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert <<1 ~
\end{equation}
以及
\begin{equation}
g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu}~, \quad \left\lvert h^{\mu\nu} \right\rvert <<1 ~.
\end{equation}
来自于度规定义需要满足 $gg^{-1}=\delta$:
\begin{equation}
g_{\mu\nu}g^{\mu\rho} = (\eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu})(\eta^{\mu\rho} - h^{\mu\rho}) = \delta^{\rho}_{\nu} - \mathcal{O}(h^2)~.
\end{equation}
首先计算克里斯托夫符号(Christoffel Symbol，定义 1 )，并保留到一阶项2
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(\partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\alpha\nu} - \partial_\nu g_{\alpha\beta})\\
&=\frac{1}{2}(\eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu})(\partial_\alpha h_{\nu\beta} + \partial_\beta h_{\alpha\nu} - \partial_\nu h_{\alpha\beta})\\
&=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu} (\partial_\alpha h_{\nu\beta} + \partial_\beta h_{\alpha\nu} - \partial_\nu h_{\alpha\beta})~,
\end{aligned}
\end{equation}
再计算黎曼张量
\begin{equation}
R_{\alpha \mu \beta \nu}=\frac{1}{2}\left(h_{\alpha \nu, \mu \beta}+h_{\mu \beta, \nu \alpha}-h_{\mu \nu, \alpha \beta}-h_{\alpha \beta, \mu \nu}\right)~,
\end{equation}
以及里奇张量，
\begin{equation}
\begin{aligned}
R_{\mu\nu} &= \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu,\alpha} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha,\nu}\\
&=\frac{1}{2}\left(h^{\alpha}{}_{\mu, \nu \alpha} + h_{\nu}{ }^{\alpha}{ }_{, \mu \alpha}-h_{\mu \nu, \alpha}{ }^{\alpha}-h_{, \mu \nu}\right)~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中，$h\equiv h^{\mu}{}_{\mu}=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$.
进一步计算里奇标量 $R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\approx \eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$，将带其入爱因斯坦场方程式 1 ，便可得到线性爱因斯坦场方程。
\begin{equation}
\begin{aligned}
h_{\mu \alpha, \nu}{ }^{\alpha} &+h_{\nu \alpha, \mu}{ }^{\alpha}-h_{\mu \nu, \alpha}{ }^{\alpha}-h_{, \mu \nu} -\eta_{\mu \nu}\left(h_{\alpha \beta}{ }^{, \alpha \beta}-h_{, \beta}{ }^{\beta}\right)= 16 \pi T_{\mu \nu}~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们可以定义如下变量
\begin{equation}
\bar{h}_{\mu\nu} \equiv h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h~
\end{equation}
来化简，并且用横线代表对其它对称张量采取同样的操作，例如
\begin{align}
G_{\mu\nu} &= \bar{R}_{\mu\nu} = R_{\mu\nu}- \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}R~,\\
\bar{\bar{h}}_{\mu\nu} &= \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h} = \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} (\eta^{\alpha\beta}h_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\eta^{\alpha\beta}\eta_{\alpha\beta}h)= h_{\mu\nu}~,\\
h_{\mu\nu} &= \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} \bar{h}~.
\end{align}
因此可以得到线性引力场方程为
\begin{equation}
-\Box{\bar{h}_{\mu \nu}}-\eta_{\mu \nu} \bar{h}_{\alpha \beta,}{ }^{\alpha \beta} + \bar{h}^{\alpha}{ }_{\mu,\alpha\nu} + \bar{h}^{\alpha}{ }_{\nu,\alpha\mu}=16 \pi T_{\mu \nu}~.
\end{equation}
其中，第一项为通常我们所熟知的平直时空的
达朗贝尔算符（d'Alembrtian）
$$
\Box \equiv \partial^\mu\partial_\mu = - \partial_t^2 + \partial_x^2 +\partial_y^2 + \partial_z^2~.
$$
剩下的项数仅仅是为了保证方程的规范不变性，进一步我们可以选定不同的规规范条件（gauge conditions），若采用洛伦兹规范（Lorentz gauge）：
\begin{equation}
\bar{h}^{\mu\alpha}{ }_{,\alpha}=0~.
\end{equation}
于是场方程最终就变成了
\begin{equation}
\Box\bar{h}_{\mu\nu} = -16\pi T_{\mu\nu}~
\end{equation}
与度规
\begin{equation}
g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu} + \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu} \bar{h}~
\end{equation}
便构成了洛伦兹规范下的线性引力理论的基本方程。
4. 史瓦西时空
我们可以将史瓦西时空看作对于平直闵氏时空的微扰。
5. 规范不变性
6. 推广到一般时空
背景时空的选择其实是任意的，我们同样可以对其进行线性微扰。
1. ^ 在广义相对论中，常常采用几何单位制，也即是 $c=G=k_B=1$
2. ^ 以下计算同样均保留到一阶项。