贡献者： JierPeter; addis; 叶月2_; Giacomo
1. 子代数与理想
和抽象代数中的子群、子环等类比，李代数也可以有次级结构，即子代数。
设 $\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$ 是李代数 $\mathfrak{g}$ 的非空子集，定义子集间的运算为 $\mathfrak{m}+\mathfrak{n}=\{M+N|M\in\mathfrak{m}, N\in\mathfrak{n}\}$，以及 $[\mathfrak{m}, \mathfrak{n}]=\{[M, N]|M\in\mathfrak{m}, N\in\mathfrak{n}\}$。那么如果 $\mathfrak{m}, \mathfrak{n}$ 和 $\mathfrak{p}$ 都是 $\mathfrak{g}$ 作为线性空间的子空间，我们容易证明以下性质：
- $[\mathfrak{m}+\mathfrak{n}, \mathfrak{p}]\subseteq[\mathfrak{m}, \mathfrak{p}]+[\mathfrak{n}, \mathfrak{p}]$；
- $[\mathfrak{m},\mathfrak{n}]=[\mathfrak{n}, \mathfrak{m}]$；
- $[\mathfrak{m}, [\mathfrak{n}, \mathfrak{p}]]\subseteq[\mathfrak{n}, [\mathfrak{m}, \mathfrak{p}]]+[\mathfrak{p}, [\mathfrak{n}, \mathfrak{m}]]$。
定义 1 李代数的子代数
若 $\mathfrak{g}$ 是李代数，$\mathfrak{h}$ 是它作为线性空间的子空间，且有 $[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}]\subseteq\mathfrak{h}$，那么称 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的子代数（sub (Lie) algebra）。
尽管李代数并不成环，但是我们也可以仿照环的理想的定义，用吸收律来定义李代数的理想：
定义 2 李代数的理想
若 $\mathfrak{g}$ 是李代数，$\mathfrak{h}$ 是它作为线性空间的子空间，且有 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}]=\mathfrak{h}$，那么称 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想（ideal）。
显然，$\mathfrak{g}$ 和 $\{0\}$ 都是 $\mathfrak{g}$ 的理想，称为平凡理想（trivial ideal）。
我们通常把定义中 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}]=\mathfrak{h}$ 这一条，称为 “吸收性” 或者说 “吸收律”，方便记忆。从定义可以看到，李代数的理想必为其子代数。进一步，理想和子代数还满足以下性质：
- 如果 $\mathfrak{h}_i$ 是子代数，那么 $\mathfrak{h}_1\cap\mathfrak{h}_2$ 也是子代数。
- 如果 $\mathfrak{h}_1$ 是子代数而 $\mathfrak{h}_2$ 是理想，那么 $\mathfrak{h}_1+\mathfrak{h}_2$ 是子代数。
- 如果 $\mathfrak{h}_i$ 是理想，那么 $\mathfrak{h}_1+\mathfrak{h}_2$、$\mathfrak{h}_1\cap\mathfrak{h}_2$ 和 $[\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2]$ 都是理想，并且有如下包含关系：
\begin{equation}
[\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2]\subseteq\mathfrak{h}_1\cap\mathfrak{h}_2\subseteq\mathfrak{h}_i\subseteq\mathfrak{h}_1+\mathfrak{h}_2~.
\end{equation}
证明是很简单的，留作练习。注意最后的包含关系里的符号区别，其中一共三个子集符号。
例 1 理想的例子
域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵的集合 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，构成一个李代数。考虑到对于任意矩阵 $A, B\in \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$，我们有 $ \operatorname {trace}(AB)= \operatorname {trace}(BA)$，因此必有 $ \operatorname {trace}([A, B])=0$。这就提示我们去考虑迹为 $0$ 的全体 $n$ 阶方阵的集合，记为 $\mathfrak{t}$，容易验证它就是 $ \operatorname {gl}(n, \mathbb{F})$ 的一个理想。
习题 1 李代数的中心
证明对于李代数 $\mathfrak{g}$，其中心（定义 3 ）$C(\mathfrak{g})$ 构成一个理想。
2. 子李代数的直和
未完成：如果单独开新词条的话应该加上外直和
，和内外半直和
定义 3 李代数的内直和
若 $\mathfrak{g}$ 是李代数，$\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2$ 是它的理想，并且满足 $\mathfrak{h}_1 \cap \mathfrak{h}_2 = \{0\}$，那么称 $\mathfrak{h}_1 + \mathfrak{h}_2$ 构成一个新子李代数，记作 $\mathfrak{h}_1 \oplus \mathfrak{h}_2$。并有：$[\mathfrak{h}_1, \mathfrak{h}_2] = \{0\}$
注意，作为向量空间的直和和李代数的内直积符号是一样的，需要根据语境来理解。
3. 半单李代数
和单群类似，我们可以定义单李代数：
定义 4 单李代数
给定非交换非平凡李代数 $\mathfrak{g}$，如果它没有非平凡理想，即除了 $\{0\}$ 和 $\mathfrak{g}$ 自身外没有别的理想，那么我们称它为一个单李代数（simple Lie algebra）。
正如平凡群不是单群，交换李代数（$[\cdot, \cdot] = 0$）在一定程度上也很 “平凡”，我们也不把它定义成单李代数。
定义 5 半单李代数
如果李代数 $\mathfrak{g}$ 能被表示成它的单子代数的直和，我们就称之为半单李代数（semi-simple Lie algebra），
特别的，我们有
定理 1 半单李代数的中心
半单李代数的中心是平凡的。