拉格朗日插值法

                     

贡献者: addis

预备知识 高斯消元法解线性方程组

  1给定 $(x_1, y_1), \dots, (x_N, y_N)$,可以使用一个唯一的 $N-1$ 阶多项式进行插值

\begin{equation} p(x) = c_0 + c_1x + \dots + c_{N-1}x^{N-1}~. \end{equation}
要解处系数,可以列 $N$ 元线性方程组
\begin{equation} p(x_i) = y_i \qquad (i=1,\dots,N)~. \end{equation}
方程组的系数矩阵是一个 $N\times N$ 的范德蒙矩阵、范德蒙行列式
\begin{equation} \begin{pmatrix}1 && x_1 && \dots && x_1^{N-1}\\ 1 && x_2 && \dots && x_2^{N-1}\\ \vdots && \vdots && \vdots && \vdots \\ 1 && x_N && \dots && x_N^{N-1}\end{pmatrix} ~. \end{equation}

1. 拉格朗日基底

   使用拉格朗日基底函数进行插值,可以避免解方程直接得到插值多项式。定义基底函数满足:

\begin{equation} l_i(x_j) = \left\{\begin{aligned} &1 && (j = i) \\ &0 && (j \ne i) \end{aligned}\right. \qquad (i,j=1,\dots,N)~. \end{equation}
容易看出下面的多项式满足该条件
\begin{equation} l_i(x) = \frac{x-x_1}{x_i-x_1} \frac{x-x_2}{x_i-x_2} \dots \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}} \dots \frac{x-x_N}{x_i-x_N}~. \end{equation}

   那么,对任意一组插值点,插值多项式可以表示为拉格朗日基底的线性组合

\begin{equation} p(x) = \sum_i y_i l_i(x)~. \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

                     

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