克莱因-戈登传播子
贡献者： zhousiyi; addis; _Eden_
相对论的因果性要求：对于任意两个类空间隔的时空点 $x,y$，在两处进行的任何物理测量都是没有相互影响的。对于 Klein-Gordon 场，我们要求在类空间隔的两个点上 $\phi(x)$ 和 $\phi(y)$ 对易，即原则上是可以同时测量的。
\begin{equation}
[\phi(x),\phi(y)]=0,\forall x,y:(x-y)^2<0~.
\end{equation}
\begin{equation}
[\phi(x),\phi(y)]=\int \frac{ \,\mathrm{d}{} ^3 \boldsymbol{\mathbf{p}} }{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}
\left( e^{-ip(x-y)}-e^{ip(x-y)}\right)~.
\end{equation}
我们现在来看 $[\phi(x),\phi(y)]$ 这个量。因为这个量是一个 c 数，所以我们有
\begin{equation}
[\phi(x),\phi(y)] = \langle 0 | [\phi(x),\phi(y)] | 0 \rangle~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \langle 0|[\phi(x), \phi(y)]| 0\rangle\\
=&\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}}\left(e^{-i p \cdot(x-y)}-e^{i p \cdot(x-y)}\right) \\
=& \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}}\left\{\left.\frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)}\right|_{p^{0}=E_{\mathbf{p}}}+\left.\frac{1}{-2 E_{\mathbf{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)}\right|_{p^{0}=-E_{\mathbf{p}}}\right\} \\
=& \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \int \frac{d p^{0}}{2 \pi i} \frac{-1}{p^{2}-m^{2}} e^{-i p \cdot(x-y)} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
图 1：在最后一步中，$p^0$ 的积分围道如图所示。
对于 $x^0>y^0$ 我们从下面闭合围道，包围两个极点。对于 $x^0< y^0$ 我们从上面闭合围道，结果是 0。因此式 4 的的最后一行以及闭合围道的办法可以用下式表示
\begin{equation}
D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle 0 | [\phi(x),\phi(y)]|0 \rangle~.
\end{equation}
\begin{equation}
(\partial^2+m^2)D_R(x-y) = -i \delta^{(4)}(x-y)~.
\end{equation}
\begin{equation}
D_R(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} e^{-ip(x-y)} \tilde D_R (p)~.
\end{equation}
\begin{equation}
(-p^2+m^2) \tilde D_R(p) = -i~,
\end{equation}
\begin{equation}
D_R (x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot(x-y)}~,
\end{equation}
\begin{equation}
D_F(x-y) \equiv \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon} e^{-ip\cdot(x-y)}~,
\end{equation}
图 2：Feynmann prescription 的积分围道。
费曼传播子的定义是
\begin{equation}
\begin{aligned}
D_{F}(x-y) &= \begin{cases}D(x-y) & \text { for } x^{0}>y^{0} \\
D(y-x) & \text { for } x^{0}< y^{0}\end{cases} \\
&=\theta\left(x^{0}-y^{0}\right)\langle 0|\phi(x) \phi(y)| 0\rangle+\theta\left(y^{0}-x^{0}\right)\langle 0|\phi(y) \phi(x)| 0\rangle \\
& \equiv\langle 0|T \phi(x) \phi(y)| 0\rangle~,
\end{aligned}
\end{equation}