从集合论角度看随机事件

                     

贡献者： jiangnan

预备知识　离散型随机变量（高中），条件概率

　　 在概率论问题中，我们通常要处理各种各样的时间。比如，我们要问，当掷出一个骰子时，点数大于四的概率是多少？或者当掷出两个骰子，一个点数大于二，另一个点数小于三的概率是多少？在这里我们将处理各种事件的想法与集合论中集合的运算相对应，来看待如何从集合运算视角处理概率论中的问题。

1. 样本空间

　　 我们定义在随机试验过程中，每次获得的一个数据称为一个样本，或称一个样本点，获得样本点的过程我们称为随机抽样。所有可能的样本点所构成的集合称为样本空间

\begin{equation} S = \{e_1,e_2,...,e_n\}~. \end{equation}

定义 1　事件

　　 事件 A 是一个由样本点组成的集合 $A = \{e_1,e_2,e_3...\}$,在这里当 $A=\emptyset$ 时，我们称 $A$ 为不可能事件。当 $A=S$ 时，我们称 $A$ 为必然事件。如果 $A$ 中只包含一个样本，我们称 $A$ 为基本事件。

　　 在这里我们多说几句这个定义的一些想法，我们在进行随机试验时，得到的总是一个个样本，但是我们通常需要根据样本的性质对各种采样结果分类。比如，掷出两个骰子点数如果总和大于 6 点的时候我们说这个结果是大。这样所谓"大"的结果作为一个事件，就将包含多个可能的样本点，所以我们将事件定义为样本点的集合。这样，如果一个事件不包含任何样本，那它就不会在抽样中发生。相应地，如果一个事件包含所有样本，则这个事件就必然发生。

2. 事件的关系与运算

　　 当我们有了集合论的视角后，我们来看不同事件之间的关系。

  1. 如果 $A\subseteq B$，则事件 A 的发生一定导致事件 B 的发生。
  2. 如果 $A \cap B = \emptyset$,则 $A$ 事件发生时 $B$ 事件必定不会发生，反之亦然。即 $A$ 事件与 $B$ 事件是互斥事件。

　　 进而我们可以利用集合之间的运算，利用一些事件构造新的事件。例如

推论 1　事件的构造

  1. 设 A,B 是事件，则 $C = A \cap B$,$C$ 事件可以被解释为 $A$ 事件与 $B$ 事件同时发生。
  2. $C = A \cup B$,$C$ 事件可以被解释为 $A$ 事件与 $B$ 事件中至少一个发生了。
  3. 设 $A$ 的补集为 $\bar{A}$，则 $\bar{A}$ 就被解释为 $A$ 事件未发生，我们记为 $\bar{A}=S-A$。
  4. $C = A \cap \bar{B}$，$C$ 事件可以被解释为 $A$ 事件发生而 $B$ 事件不发生。
  5. 以及多个事件的运算，$\cup_i A_i$，$A_i$ 中至少一个事件发生,$\cap_i A_i$,$A_i$ 中所有事件都发生。

　　 更多类似的事件之间的运算与解释读者可自行进行构造。在这里我们再回顾一下集合间运算的一些规则，这里也直接对应事件构造的规则

  1. 交换律：$A \cup B = B \cup A$, $A \cap B = B \cap A$.
  2. 结合律：$(A \cup B)\cup C = A \cup (B \cup C)$, $(A \cap B)\cap C = A \cap (B\cap C)$
  3. 分配律：$(A\cup B)\cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$, $(A\cap B) \cup C = (A \cup C)\cap (B \cup C)$
  4. De Morgan 定律：$\bar{\cup_i A_i} = \cap_i \bar{A}_i$, $\bar{\cap_i A_i} = \cup_i \bar{A}_i$

3. 概率

　　 现在我们从集合论的视角澄清了事件之间的关系，接下来我们引入概率的概念。概率是指每个事件发生的几率，按照我们对概率一般的理解，我们将概率定义为一个从集合 $A$ 映射到实数的一个函数 $P$，这个函数应该满足如下几个性质

  1. 非负性：对于任意一个事件 $A$,都有 $P(A)\leq 0$
  2. 归一条件：对于样本空间 $S$,有 $P(S) = 1$，对于空集 $P(\emptyset) = 0$
  3. 可加性: 对于两个事件 $A_1,A_2$,如果有 $A_1 \cap A_2 = \emptyset$,则有 $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1)+P(A_2)$

　　 我们很快可以知道对于任意一个事件（除不可能事件外），这个事件发生的概率等于其把它分割成基本事件后，所有基本事件的和。在实际运算中，事件构造经常会使用省略记号，如

\begin{align} A\cup B \rightarrow A+B\\~ A \cap B \rightarrow AB\\~ B \cap \bar{A} \rightarrow B-A~ \end{align}

                     

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