三门问题

贡献者： Siegfried

1. 问题

　　三门问题，又叫蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）其衍生过许多版本，写进过高中数学教科书思考题，在网上讨论也颇多，但目前看到的结论多数不赞同，或者是被限制了条件。下面来看一下这个悖论的原始版本：

　　 Monty Hall 是美国一个电视游戏节目的主持人，你是参赛者。你面对三扇门 A, B, C (或者是 1 号，2 号，3 号)，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门后面是山羊，你的目标是赢得汽车。你随机选择一扇门(假设你选择了 A)，这时主持人打开了 C，C 后面是一只山羊，并给你一次重新选择的机会。现在汽车只可能在 A 和 B 中，你该不该换门，汽车在 A 和 B 后面的概率各是多少？

图 1：选 1 号还是选 2 号？

2. 思考

　　不同的人有不同的思考方式，主要集中在以下几种：

佛性思考法：只剩下两个门了，那么这时候汽车在 A 或 B 后面的概率应该是平等的，换不换无所谓。
反选法：三个门选一个获奖率是 1/3，但如果让你同时选两个门就是 2/3 这是毫无疑问的。你动起小脑筋，心里选了 B+C，嘴上对主持人说选 A，之后不管她从 B 或 C 打开哪一个门(后面是羊)，都相当于为你排除了多数中的错误答案，你间接选择了 B+C，所以换门的概率更大，为 2/3，不换的概率 1/3，这是网上最常见的答案，证明方式各有不同，但事实真如此吗？
经验法：祖先告诉了我们经验的重要性，你在不知是否换门之际，掏出手机 google 了 Monty Hall，发现了她的黑历史，原来，她只在参赛者第一次选对时，才故意打开另一扇门迷惑参赛者。之前所有和你一样参加这个节目的人，凡是第二次换门，最后都空手而归，看到这里后你还坚持换门吗？

3. 为什么会有悖论？

　　除了问题描述本身，还有一个关键之处：Monty Hall 打开另一扇门的动机。这个问题实际是一个缺少先验概率的条件概率问题。不妨我们给它补上：Monty Hall 在你选对的情况下打开另一扇门的概率是 $x$，在你选错的情况下打开另一扇门的概率是 $y$，这道题才能计算正确答案！现在我们来算一算，当 $x$, $y$ 符合什么情况该换门，什么情况不该换。

　　先考虑极端情况：

$x = 1$, $y = 1$: 应该换！参考反选法。
$x = 1$, $y = 0$: 不能换！参考经验法。
$x = 0$, $y = 1$: 请问这个福利节目现在还有么。
$x = 0$, $y = 0$: 会导致不存在打开另一扇门的情况，不合理。

　　根据贝叶斯公式：

\begin{align} \nonumber P(\text{汽车在 A}|\text{打开 C 是羊})&=\frac{P(\text{汽车在 A})P(\text{打开 C 是羊}|\text{汽车在 A})}{P(\text{打开 C 是羊})}\\ \nonumber &=\frac{P(\text{汽车在 A})P(\text{打开 C 是羊}|\text{汽车在 A})}{P(\text{打开 C 是羊}|\text{汽车在 A})P(\text{汽车在 A})+P(\text{打开 C 是羊}|\text{汽车不在 A})P(\text{汽车不在 A})}\\ \nonumber &=\frac{\frac{1}{3}\cdot x\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot y\cdot \frac{1}{2}}\\ \nonumber &=\frac{1}{1+\frac{2y}{x}}~. \end{align}

　　可见，不换门赢得汽车的概率，只与 $y$ 与 $x$ 的比例有关，下面是 $x$, $y$ 在[0,1]范围内的热度图像

图 2：$x$ 轴为第一次选对主持人打开另一扇门的概率，$y$ 轴为第一次选错主持人打开另一扇门的概率，绿色表示更容易赢得汽车

　　所以暂时的结论是：

$y/x$ 越小，越靠近绿色，汽车在 A 的概率越接近 1，不应该换；
$y/x$ 越大，越靠近红色，汽车在 A 的概率越接近 0，应该换；
在图中的黑线 $y=0.5x$ 上，换与不换概率均为 0.5

4. Python 验证

　　利用 random（伪）随机数，制造出随机的五组 $x$, $y$ 计算在每次都选 A 门，提供了换门机会，且不换门赢得汽车的理论概率，并模拟汽车真实在 A 门后面几率

import random
random.seed(0)

def monty_hall_problem(max_trial, x, y):
    done = False
    total_car_in_A = 0
    total_trial = 0
    #Monty Hall 问题大量发生，每一次都选A且不换门
    while not done:
        #用1，2，3表示汽车在A，B，C
        car_behind_door = random.randint(1,3)
        if car_behind_door == 1:
            #有x概率开另一扇门，此时不换会赢得汽车
            if random.random() < x:
                total_car_in_A += 1
                total_trial += 1
            #否则不开门，不符合假设
            else:
                continue
        #有y概率开另一扇门，此时不换赢不到
        elif random.random() < y:
            total_trial += 1
        #同样，不符合假设
        else:
            continue
        if total_trial >= max_trial:
            done = True
    return total_car_in_A / total_trial

if __name__ == "__main__":
    for i in range(5):
        #随机选5组随机数
        x = random.random()
        y = random.random()
        #理论值
        p0 = x /(x + 2 * y)
        #实际值
        p = monty_hall_problem(10**6, x, y)
        print("第{0}次随机x = {1:.2%}, y = {2:.2%}，理论概率 x/(x + 2y)：{3:.2%}"
              .format(i+1, x, y, p0))
        print("  百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：{0:.2%}，相对误差为{1:.2%}"
              .format(i+1, p, (p - p0)/ p0))

　　上述代码执行后的结果如下：

第1次随机x = 84.44%, y = 75.80%，理论概率 x/(x + 2y)：35.78%
  百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：35.71%，相对误差为-0.17%
第2次随机x = 76.87%, y = 1.68%，理论概率 x/(x + 2y)：95.82%
  百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：95.82%，相对误差为0.01%
第3次随机x = 35.97%, y = 80.81%，理论概率 x/(x + 2y)：18.20%
  百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：18.17%，相对误差为-0.21%
第4次随机x = 80.72%, y = 63.39%，理论概率 x/(x + 2y)：38.90%
  百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：38.94%，相对误差为0.09%
第5次随机x = 19.08%, y = 86.08%，理论概率 x/(x + 2y)：9.98%
  百万数量模拟下，汽车在A门后的几率为：10.01%，相对误差为0.31%

5. 这就结束了？

　　看到这里，你根据节目历史，估算出了 $x$，$y$，之后通过计算比较了换与不换的概率的大小，去参加节目，是否必有超过一半概率赢回汽车？

　　答案：当然不是！因为这是一个条件概率问题，你不能保证你去参加节目一定会达成条件。很可能你第一次选错直接 GAME OVER 了。

　　既然这样计算上面概率还有什么意义呢？我们已经得出这个结论了不是：如果 Monty Hall 打开另一扇门，给我们一次换门的机会，$x>2y$ 时选择不换，否则选择换。所以，还需一步就可以推导不含条件的全概率公式：

　　 $$ \begin{aligned} &P(\text{赢得汽车})=\\ & \left\{\begin{aligned} &\frac{1}{3}(\overbrace{1-x}^{\text{1-$x$ 概率直接赢}}+\overbrace{x\cdot \frac{x}{x+2y}}^{\text{$x$ 概率开门，乘以不换门赢的概率}})+\frac{2}{3}(\overbrace{y\cdot \frac{x}{x+2y}}^{\text{$y$ 概率开门，乘以不换门赢的概率}}) && \text{ ①}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{if } x\ge2y \ \ \text{（给机会也不换）}\\ &\frac{1}{3}[1-x+\underbrace{x\cdot(1- \frac{x}{x+2y}}_{\text{这里替换成换门赢的概率，其他同上}})]+\frac{2}{3}[y\cdot(1- \frac{x}{x+2y})]& \text{ ②}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{if } x<2y \ \ \text{（给机会就换）}~. \end{aligned}\right. \end{aligned} $$

　　化简①式，结果为：1/3, 化简②式，结果为：$(1+2y-x)/3$。

　　下面是全概率下的热度图像

图 3：还是有必要解释一下，这个图片是参加比赛之前根据 $x$，$y$，计算得到最可能赢得汽车的概率；举个例子，$x=0$, $y=0.25$，如果提供了换门机会，那换门胜率将是 100$\%$，因为你若第一次选对主持人根本不会开另一扇门！但你无法在比赛前确定会有换门机会，所以综合胜率是 50$\%$

　　这个结果是符合常理的，仅当 $x=0$，$y=1$ 情况，参赛者必赢（要么第一次选对直接赢得汽车，要么第一次选错 100%开门，第二次换门赢得汽车），其他情况下，根据不同的 $x$, $y$，赢得汽车的概率在 1/3 和 1 之间

6. 结论

　　如果你是参赛者，并且希望赢走汽车，为了提高成功率一定要提前知道 Monty Hall 的策略（根据节目历史估算 $x$, $y$）

　　如果你不知道该不该参加节目，可以通过 汽车价格 × 上面的概率 计算 期望值，如果期望值大于入场门票价格，那么，大量参加节目是稳赚不赔的（当然在 Monty Hall 不会针对你多次参加竞猜而改变策略前提下）。事实上，2005 年 2 月，美国的某一个彩票品种由于设计不周，真的出现过稳赚不赔的情况，被麻省理工一名学生发现并通过反复购买赚到了 300 万美元。链接

　　那么转换思维，如果你是 Monty Hall 呢，你当然不希望参赛者轻松的赢走门后的汽车，应该怎么做？

　　短期做法：

如果对方坚持 “必换” 原则，那么，恭喜你，要么他第一次选错，要么他第二次选错。
如果对方坚持 “不换” 原则，那么也恭喜你，他最多有 1/3 的概率赢得汽车，如果一次选中，试试能不能说动他换一扇门吧。
如果对方相当聪明，或者他看完了这篇文章，并通过统计知道了你的习惯，那么他将很有可能赢得汽车。
如果他的小聪明被你看出，那么针对这一次采取相反策略吧。
如果他也看出了你这一次要用相反策略，那…剩下时间留给脑补。

　　长期做法：

保持 $x\ge 2y$，即参赛者第一次选对下打开另一扇门，提供换门机会的概率，要大于等于选错情况下提供换门机会的 2 倍（保持 2 倍关系即可，相差再大不会影响效果，反而可能会被诟病）。这种情况下任凭参赛者再聪明，也无法奈何，只有 1/3 的概率赢走汽车。

　　本文完，原创文章，作者最早曾发布于个人博客并于 2023 年加入小时百科创作，如需转载，请注明来源。