贡献者： jingyuan
1. 条件概率
对于任何两个事件 $A$ 和 $B$，在已知事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率叫做条件概率，用符号 $P(B|A)$ 来表示。
我们把事件 $A$ 和 $B$ 同时发生所构成的事件 $D$，称为事件 $A$ 与 $B$ 的 交 (或积)，记作 $D = A \cap B$ (或 $D = AB$).
一般地，我们有条件概率公式
\begin{equation}
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)},P(A)>0~.
\end{equation}
2. 事件的独立性
事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响，即
\begin{equation}
P(B|A) = P(B)~.
\end{equation}
这时，我们称两个事件 $A,B$
相互独立，并把这两个事件叫做
相互独立事件（mutually independent events）。
在实际问题中，常常通过事件本质进行分析就可知道它们是否相互独立，而不需要进行类似上面的计算去验证。
一般地，当事件 $A$ 和 $B$ 相互独立时，$A$ 与 $\overline{B}$，$\overline{A}$ 与 $B$，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也相互独立。
由条件概率公式和相互独立事件 $A$，$B$ 的定义，可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&P(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}~, \\
&P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们可以进一步推得，
\begin{equation}
P(A_1\cap A_2 \cdots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdots P(A_n)~.
\end{equation}
3. 独立重复试验
在相同的条件下，重复地做 $n$ 次试验，各次试验从的结果相互独立，那么一般就称它为 $n$ 次独立重复试验（independent repeated trials）。
一般地，事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生 $k$ 次，共有 $C_n^k$ 种情形，由试验的独立性知 $A$ 在 $k$ 次试验中发生，而在其余 $n-k$ 次试验中不发生的概率都是 $p^k(1-p)^{n-k}$，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件 $A$ 发生的概率是 $p$ 那么在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为
\begin{equation}
P_n(k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}(k=0,1,2,\cdots,n)~.
\end{equation}
这里解释一下 $p^k(1-p)^{n-k}$ 的含义，我们在一次试验全部发生事件 $A$ 的概率为 $p$，不发生的概率为 $1-p$，发生的次数为 $k$ 次，不发生的次数为 $n-k$ 次，根据分步乘法计数原理，可得 $p^k(1-p)^{n-k}$。
在式 5 中若将事件 $A$ 发生的次数设为 $X$，事件 $A$ 不发生的概率为 $q = 1 - k$，那么在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 的概率是
\begin{equation}
P(X=k) = C_n^kp^kq^{n-k}(k = 1,2,\cdots,n)~.
\end{equation}
于是得到 $X$ 的分布列
表1：分布列
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$X$ | $0$ | $1$ | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ | $n$
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$P$ | $C_n^0p^0q^n$ | $C_n^1p^1q^{n-1}$ | $\cdots$ | $C_n^kp^kq^{n-k}$ | $\cdots$ | $C_n^np^nq^0$
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由于的表 1 中的第二行恰好是二项式展开式
\begin{equation}
(q+p) = C_n^0p^0q^n + C_n^1p^1q^{n-1}+\cdots C_n^kp^kq^{n-k}+\cdots + C_n^np^nq^0~.
\end{equation}
各项对应的值，所以称这样的离散型随机变量 $X$ 服从参数 $n,p$ 的
二项分布，记作
\begin{equation}
X\sim B(n,p)~.
\end{equation}