多项式插值

                     

贡献者： addis

　　 若有 $n$ 个数据点 $x_1,\dots ,x_n$，$y_1,\dots ,y_n$（$x_i$ 互不相等），使用多项式

插值。需要用 $m-1$ 阶多项式插值，可以列出线性方程组 现在来讨论什么时候该方程有唯一解。事实上系数矩阵就是范德蒙矩阵，当 $x_i$ 互不相等时，它的秩等于 $min\{m,n\}$。所以当 $m>n$ 时，存在无穷个解；当 $n>m$ 时一般无解（见超定方程组）；当 $n=m$ 时能确保有且仅有唯一解，因为此时系数矩阵是满秩矩阵。

　　

1. 龙格现象

　　¹若点的个数较多，做多项式插值时会出现龙格现象（Runge's phenomenon），即多项式在两个端点处剧烈振动。一种解决方法是使用多个低阶多项式插值（未完成：splint interp）。另一种方法是不用插值而改为拟合，当多项式阶数 $m-1<2\sqrt{n}$ 时，就不会出现龙格现象。

---

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。