干涉、光强的余弦平方分布

贡献者： Zona

未完成：巴俾涅原理，线偏振光，辐照度，远场

预备知识　电场波动方程

1. 干涉

　　光是一种电磁波，满足由麦克斯韦方程组导出的电场波动方程。它服从重要的叠加原理。简单地说，干涉就是两束或多束光波的相互作用，这种相互作用产生的总辐照度不等于各束光波的辐照度之和。今后我们将在衍射中了解到巴俾涅原理。

　　考虑多个光源产生的场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$ , $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$ , ...空间一点的总电场强度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 由下式给出：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 + \cdots~ \end{equation}

　　光扰动以大约 $ \,\mathrm{10} ^{14}$ Hz 的频率随时间飞快地变化，使得每时每刻的实际光场无法探测。另一方面，辐照度 $I$ 则可以使用各种探头直接测量。因此，研究干涉最好从辐照度的角度研究。

　　考虑由两个光源 $S_1$ 和 $S_2$ 在均匀介质（即各向同性介质）中发射同一频率的平面波。令 $S_1$ 与 $S_2$ 的间隔为 $a$，且 $ a \gg \lambda $（$\lambda$ 是光的波长），考虑简单的线偏振波：

　　 $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \omega t + \varepsilon_1\right) ~,$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \omega t + \varepsilon_2\right) ~.$$

　　则 $ $ P $ $ 点的辐照度由下式给出：

\begin{equation} I = \epsilon v \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \rangle _T ~. \end{equation}

　　 $\langle \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \rangle _T$ 的含义为电场强度的平方在一段时间内的平均值。我们只关注 $ I $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的关系，因此忽略常系数 $ \epsilon v$，便于讨论。

　　 $ P $ 点的合场强为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 $，则辐照度

\begin{equation} \begin{aligned} I &= \langle( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2) \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 )\rangle _T \\ &= \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^2 \rangle _T + \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _2^2 \rangle _T + 2\langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 \rangle _T \\ &= I_1 + I_2 + I_{12}~, \end{aligned} \end{equation}

　　其中 $ I _{12} =2 \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 \rangle _T$.

　　将 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$ 的表达式代入 $I_{12}$ 可得：

\begin{equation} I_{12} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} \cos\delta~, \end{equation}

\begin{equation} \delta = ( \boldsymbol{\mathbf{k}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \boldsymbol{\mathbf{k}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 ) + \varepsilon_1 - \varepsilon_2 s~. \end{equation}

　　称 $ I_{12} $ 为干涉项，$ \delta $ 为相差。

习题 1　

　　请读者验证上述结论。提示：$\langle \cos ^2 \omega t \rangle _T = \langle \sin ^2 \omega t \rangle _T = 1/2 $，$ \langle \cos \omega t \sin \omega t \rangle_T =0 $。或者，将电场用复数表示再代入验证。

2. 完全相长（相消）干涉

　　我们通常遇到的情况为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \parallel \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$，此时

\begin{equation} I_{12} = E_{01} E_{02}\cos\delta~. \end{equation}

　　利用 $ I = \langle \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \rangle _T = \dfrac{1}{2}E^2$，将 $ E_{ 01} = \sqrt{2I_1}$，$ E_{ 02} = \sqrt{2I_2}$ 代入上式，可以得到 $ I $ 更简洁的表达式：

\begin{equation} I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta~. \end{equation}

　　（1）当 $\delta = 0, 2\pi, 4\pi, \cdots$ 时，$\cos \delta = 1$，得到 $ I_{max} = I_1 + I_2 +2\sqrt{I_1 I_2}$，这种情况称为完全相长干涉；

　　（2）当 $\delta = -\pi, \pi, 3\pi, \cdots$ 时，$\cos \delta = 0$，得到 $ I_{min} = I_1 + I_2 $，这种情况称为完全相消干涉。

3. 场强的余弦平方分布

　　若 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \parallel \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} $ 且 $S_1$ 和 $S_2$ 发出的光场到达 $ P $ 点的振幅相同，即 $ I_1 = I_2 \equiv I_0 $，则

\begin{equation} I = 2 I_0 ( 1 + \cos\delta ) = 4 I_0 \cos ^2\dfrac { \delta } { 2 } ~. \end{equation}

　　这就是远场近似时，场强的余弦平方分布。你将在杨氏双缝实验、菲涅尔双面镜以及薄膜的干涉中多次遇见这个式子。

　　上面我们讨论了两个平面波在空间某一点的叠加产生的总场强，它在满足 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02}$ 时，服从余弦平方分布。对于更一般的球面波，上式也同样成立。

　　从 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 发出的球面波分别表示为： $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{ 01 } ( r_1 ) \exp\left[i( k r_1 - \omega t+ \varepsilon_1 )\right] ~,$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{ 02 } ( r_2 ) \exp\left[i( k r_2 - \omega t+ \varepsilon_2 )\right] ~,$$

　　其 $ r $ 是在 $ P $ 点重叠的球形波阵面的半径。电场的振幅与 $ r $ 成反比。利用叠加原理，同样可得 $I_{12} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} \cos\delta$。这时，$ \delta = k ( r_1 - r_2 ) + ( \varepsilon_1 - \varepsilon_2 )$. 请读者自行验算。

　　我们依然关注特殊的情况，比如，当 $ a \ll r $ 时，可视 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$、$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _2$ 在小区域内为常量，即 $ E_{ 01} \approx E_{02}$；若 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _{01} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{02} $ , $ I_1 = I_2 = I_0 $，同样可以得到：

\begin{equation} I = 4 I_0 \cos ^2\dfrac { \delta } { 2 }~. \end{equation}

习题 2　

　　仿照对 $ \delta$ 不同取值的讨论，请读者计算 $ I $ 取极大值和极小值时，$ r_1 - r_2 $ 需满足什么条件。

当 $ \delta = \pi m'$，$ m' = \pm 1, \pm 3, \cdots $ 时，$ I $ 取极小值，
\begin{equation} r_1 - r_2 = \dfrac{ m' \pi - ( \varepsilon _1 - \varepsilon _2)} { k }~. \end{equation}
当 $ \delta = 2 \pi m$，$ m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots $ 时，$ I $ 取极大值，
\begin{equation} r_1 - r_2 = \dfrac{ 2m \pi - ( \varepsilon _1 - \varepsilon _2)} { k }~, \end{equation}

　　初相差 $ \varepsilon_1 - \varepsilon_2 $ 的存在使式子不那么优美。若两个点光源同相出射，则可以将两个点光源的光程差所满足的规律用下式简洁地表示：

推论 1　

光强极小值
\begin{equation} r_1 - r_2 = \dfrac{ m' \lambda} { 2 } , m' = \pm 1, \pm 3, \cdots~ \end{equation}
光强极大值
\begin{equation} r_1 - r_2 = m \lambda , m = 0 , \pm 1, \pm 2,\cdots ~ \end{equation}

　　总的来说，为了数学上的简单，我们常关注特殊情况，如振幅相等，远场，同相出射。

　　在远场，发生干涉的波可以看作平面波，这里辐照度的余弦平方分布成立，可以看到一系列很直的亮暗条纹。离光源更远时，所有的图样只是原样放大而已。远场振幅可以近似相同，因为电场的微小变化对振幅造成的差异可以忽略不计。

　　接近光源时，即近场，在这里，既要考虑相位差，也要考虑振幅不同。