贡献者： addis
1. 可区分粒子和不可区分粒子
对于可区分粒子，从粒子的角度求和，配分函数为（dis $=$ distinguishable）
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q_{dis} & = \sum_{i_1 = 0}^\infty \sum_{i_2 = 0}^\infty \dots\sum_{i_N = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta (\varepsilon_{i_1} + \varepsilon_{i_2}\dots)} = \sum_{i_1 = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta \varepsilon_{i_1}} \sum_{i_2 = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_{i_2}}\dots \sum_{i_N = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_{i_N}}\\
& = \left(\sum_{i = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_i} \right) ^N = Q_1^N~.
\end{aligned} \end{equation}
从能级的角度求和
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q_{dis} & = \sum_{\{n_i\}} \frac{N!}{n_0! n_1!\dots} \exp\left(-\beta \sum_{i = 0}^\infty n_i \varepsilon_i\right) = \sum_{\{n_i\}} \frac{N!}{n_0! n_1!\dots} \mathrm{e} ^{-n_1\varepsilon_1\beta} \mathrm{e} ^{-n_2\varepsilon_2\beta}\dots
\end{aligned} ~\end{equation}
由
式 1 和
式 2 物理意义可知，二者相等。再从能级的角度考虑，若粒子不可区分（由于这个配分函数是最常用的，所以不写角标）
\begin{equation}
Q = \sum_{\{n_i\}} \mathrm{e} ^{-n_1\varepsilon_1\beta} \mathrm{e} ^{-n_2\varepsilon_2\beta}\dots~
\end{equation}
比较
式 2 ， 求和的每项少了一个因子 $N!/(n_0! n_1!\dots)$
理想气体条件：能级占有率极低，几乎没有两个粒子在同一个能级上，所以大部分 $n_i = 0$， $0! = 1$。 个别 $n_i = 1$， $1! = 1$。
可以近似认为
\begin{equation}
\frac{N!}{n_0! n_1!\dots} \approx N!~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
Q = \frac{1}{N!} Q_{dis} = \frac{1}{N!} Q_1^N~.
\end{equation}
那如何求 $Q_1$ 呢？
2. 对单粒子相空间积分
注意每个量子态对应的相空间体积为 $h$ 的空间维数次方。
\begin{equation}
Q_1 = \frac{1}{h^3} \int \mathrm{e} ^{-\frac{p^2}{2m\cdot kT}} \,\mathrm{d}^{3}{p} \,\mathrm{d}^{3}{x} = \frac{V}{h^3} \int \mathrm{e} ^{-\frac{p^2}{2m\cdot kT}} \,\mathrm{d}^{3}{p} = \frac{V}{\lambda^3}~.
\end{equation}
其中 $\lambda $ 叫做热力学波长，正比与粒子热运动的德布罗意波
\begin{equation}
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}~.
\end{equation}
3. 对单粒子能级密度积分
用单粒子能级密度 $a(\varepsilon)$ 对玻尔兹曼因子积分：
\begin{equation}
a(\varepsilon) = \frac{2\pi V(2m)^{3/2}}{h^3} \varepsilon^{1/2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
Q_1 = \sum_{i = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta \varepsilon_i} = \int_0^\infty a (\varepsilon) \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon} \,\mathrm{d}{\varepsilon} \\
= \frac{2\pi V(2m)^{3/2}}{h^3} \int_0^\infty \varepsilon^{1/2} \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon} \,\mathrm{d}{\varepsilon} ~.
\end{equation}
对积分换元，令 $x = \beta\varepsilon$，
\begin{equation}
\int_0^\infty \varepsilon^{1/2} \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon} \,\mathrm{d}{\varepsilon} = (kT)^{3/2} \int_0^\infty x^{1/2} \mathrm{e} ^{-x} \,\mathrm{d}{x}
= \Gamma (3/2) (kT)^{3/2}
= \frac{\sqrt\pi}{2} (kT)^{3/2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
Q_1 = \sum_{i = 0}^\infty \mathrm{e} ^{-\beta \varepsilon_i} = \int_0^\infty a (\varepsilon) \mathrm{e} ^{ - \beta \varepsilon} \,\mathrm{d}{\varepsilon} = \frac{2\pi V (2m)^{3/2}}{h^3} \frac{\sqrt \pi}{2} (kT)^{3/2} = \frac{V}{\lambda^3}~.
\end{equation}
4. 对系统的能级密度积分
现在我们试图直接求 $Q$，系统的总能级密度为
\begin{equation}
g(E) = \frac{\mathrm{d}{\Omega_0}}{\mathrm{d}{E}} = \frac{V^N}{N! h^3} \frac{(2\pi m)^{3N/2}}{(3N/2 - 1)!} \mathrm{e} ^{3N/2-1}~,
\end{equation}
\begin{equation}
Q = \int_0^\infty g(E) \mathrm{e} ^{-E\beta} \,\mathrm{d}{E} = \frac{V^N (2\pi m)^{3N/2}}{N! h^3 (3N/2 - 1)!}\int_0^\infty \mathrm{e} ^{3N/2-1} \mathrm{e} ^{-\beta E} \,\mathrm{d}{E} ~.
\end{equation}
令 $x = \beta E$ 对积分换元，
\begin{equation} \begin{aligned}
\int_0^\infty \mathrm{e} ^{3N/2-1} \mathrm{e} ^{-\beta E} \,\mathrm{d}{E} & = (kT)^{3N/2} \int_0^\infty x^{3N/2-1} \mathrm{e} ^{-x} \,\mathrm{d}{x} \\
& = (kT)^{3N/2} \Gamma (3N/2) \\
& = (kT)^{3N/2} (3N/2-1)!
\end{aligned} ~\end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \begin{aligned}
Q & = \frac{V^N (2\pi m)^{3N/2}}{N! h^3 (3N/2-1)!} (kT)^{3N/2}(3N/2 - 1)! \\
& = \frac{V^N (2\pi mkT)^{3N/2}}{N! h^3} = \frac{1}{N!} \left(\frac{V}{\lambda^3} \right) ^N \\
& = \frac{1}{N!} Q_1^N~,
\end{aligned} \end{equation}
与之前的结果都一样。
5. 热力学性质
得到系统的配分函数 $Q$ 以后，可由用亥姆霍兹自由能得到热力学的性质
\begin{equation}
F = - kT\ln Q = - kT(N\ln{Q_1} - N\ln N + N)~,
\end{equation}
\begin{equation}
S = Nk \left(\ln \frac{V}{N\lambda^3} + \frac52 \right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
P = - \left( \frac{\partial F}{\partial V} \right) _{T,N} = \frac{NkT}{V} \qquad \text{（理想气体状态方程）}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\mu = kT\ln \frac{N{\lambda ^3}}{V} = kT\ln \frac{N}{Q_1}~.
\end{equation}
在巨正则系综里，定义逸度为 $z = { \mathrm{e} ^{\mu/(kT)}}$， 则 $N = {zV}/{\lambda ^3} = z{Q_1}$。
6. 分布函数
若有 $N$ 个粒子组成理想气体，每个能级平均有多少粒子（由于理想气体的条件是能级占有率 $ \left\langle n_i \right\rangle \ll 1$， 但仍然会有分布曲线）
对任何一个粒子来说，出现在 $\varepsilon_i$ 能级（非简并）的概率是 $ \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_i}/Q_1 = \lambda^3 \mathrm{e} ^{ - \beta\varepsilon_i}/V$。 那么 $N$ 个没有相互作用的粒子在该能级的平均粒子数就为
\begin{equation}
\left\langle n_i \right\rangle = \frac{N\lambda^3}{V} \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_i}~,
\end{equation}
理想气体的化学能 $\mu = kT\ln N\lambda^3/V$， 即 $ \mathrm{e} ^{\mu/kT} = N\lambda^3/V$。 代入上式，得
\begin{equation}
\left\langle n_i \right\rangle = \mathrm{e} ^{\beta\mu} \mathrm{e} ^{-\beta\varepsilon_i} = \mathrm{e} ^{(\mu - \varepsilon_i)/(kT)}~.
\end{equation}
这就是麦克斯韦—玻尔兹曼分布。