贡献者： zhousiyi; addis
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- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
引力的作用量分为爱因斯坦作用量和物质的作用量 $S=S_E+S_M$ 其中
\begin{equation}
S_E = \frac{c^3}{16\pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} R~.
\end{equation}
能量动量张量的定义如下
\begin{equation}
\delta S_M = \frac{1}{2 c} \int d^4 x \sqrt{-g} T^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} ~.
\end{equation}
对作用量求变分，我们得到了如下的爱因斯坦方程
\begin{equation}
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ~.
\end{equation}
广义相对论在很大的对称群下都是不变的，比如下面的坐标变换
\begin{equation}
x^\mu \rightarrow x'^\mu (x) ~.
\end{equation}
在上面的坐标变换下，度规按照如下规则变换
\begin{equation}
g_{\mu\nu} (x) \rightarrow g'_{\mu\nu} = \frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\mu} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu} g_{\rho\sigma} (x) ~.
\end{equation}
我们把这种对称性叫做广义相对论的规范对称性。现在我们把度规按照如下的方式展开
\begin{equation}
g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}~, \quad |h_{\mu\nu}| \ll 1 ~.
\end{equation}
考虑如下的平移坐标变换
\begin{equation}
x^\mu \rightarrow x'^\mu = x^\mu + \xi^\mu (x) ~.
\end{equation}
在这样的坐标变换下，$h_{\mu\nu}$ 按照如下规则变换
\begin{equation}
h_{\mu\nu} (x) \rightarrow h'_{\mu\nu} (x) - (\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu \xi_\mu) ~.
\end{equation}
现在考虑如下的洛伦兹变换
\begin{equation}
x^\mu \rightarrow \Lambda^\mu_\nu x^\nu ~.
\end{equation}
矩阵 $\Lambda^\mu_\nu$ 满足
\begin{equation}
\Lambda^\rho_\mu\Lambda^\sigma_\nu \eta_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\nu} ~.
\end{equation}
在洛伦兹变换下，矩阵 $g_{\mu\nu}$ 的变换如下
\begin{equation}
\begin{aligned}
g_{\mu\nu} \rightarrow g'_{\mu\nu} (x') & = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\mu g_{\rho\sigma} (x) \\
& = \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu [\eta_{\rho\sigma} + h_{\rho\sigma}(x)] \\
& = \eta_{\mu\nu} + \Lambda^\rho_\mu \Lambda^\sigma_\nu h_{\rho\sigma} (x) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，在洛伦兹变换下，$h_{\mu\nu}$ 的变换规则如下
\begin{equation}
h_{\mu\nu}'(x) = \Lambda^\rho_\mu\Lambda^\sigma_\nu h_{\rho\sigma} (x) ~.
\end{equation}
这说明 $h_{\mu\nu}$ 在洛伦兹变换下是张量。转动变换无论如何不会破坏 $|h_{\mu\nu}|\ll 1$ 这个条件。但是对于 boost 我们必须只做总是使得 $h_{\mu\nu}\ll 1$ 能够满足的 boost 的变换。这样的理论叫做线性理论。
另外，值得注意的有以下几点
- $h_{\mu\nu}$ 在有限的平移变换 $x^\mu\rightarrow x'^\mu = x^\mu + a^\mu$ 和洛伦兹变换 $x^\mu\rightarrow \Lambda^\mu_\nu x^\nu$ 下不变。
- $h_{\mu\nu}$ 在无穷小的局域变换 $x^\mu \rightarrow x'^\mu = x^\mu + \xi^\mu (x)$ 下不变。
与此形成鲜明对比的是，广义相对论没有庞加莱对称性。这是因为在广义相对论的框架下，平坦空间并没有什么特殊性，而庞加莱对称群是平坦空间里面的对称群。但是，广义相对论拥有全部的坐标变换的不变性，而不仅仅是无穷小的坐标变换的不变性。
在线性阶，黎曼张量是
\begin{equation}
R_{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{1}{2} (\partial_\nu\partial_\rho h_{\mu\sigma} + \partial_\mu\partial_\sigma h_{\nu\rho} - \partial_\mu\partial_\rho h_{\nu\sigma} - \partial_\nu\partial_\sigma h_{\mu\rho} ) ~.
\end{equation}
在我们感兴趣的物理情形下，总是存在一个参考系使得
式 6 成立。我们定义如下的两个量
\begin{equation}
h = \eta^{\mu\nu} h_{\mu\nu} ~, \quad \bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h~.
\end{equation}
同样的，我们可以定义另外一个量
\begin{equation}
\bar h \equiv \eta^{\mu\nu} \bar h_{\mu\nu} = h - 2 h = -h~.
\end{equation}
我们可以反解出 $h_{\mu\nu}$ 关于 $\bar h_{\mu\nu}$ 的表达式。
\begin{equation}
h_{\mu\nu} = \bar h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} \bar h ~.
\end{equation}
线性化的爱因斯坦方程如下
\begin{equation}
\Box \bar h_{\mu\nu} + \eta_{\mu\nu} \partial^\rho \partial^\sigma \bar h_{\rho\sigma} - \partial^\rho \partial_\nu \bar h_{\mu\rho} - \partial^\rho\partial_\mu \bar h_{\nu\rho} = - \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ~.
\end{equation}
现在我们选取如下的洛伦兹规范（也叫做希尔伯特规范，谐振子规范，或者是 De Donder 规范）
\begin{equation}
\partial^\nu \bar h_{\mu\nu} = 0 ~.
\end{equation}
在 $x^\mu\rightarrow x'^\mu+\xi^\mu(x)$ 变换下，$\bar h_{\mu\nu}$ 的变换如下
\begin{equation}
\bar h_{\mu\nu} \rightarrow \bar h'_{\mu\nu} = \bar h_{\mu\nu} - (\partial_\mu\xi_\nu+ \partial_\nu\xi_\mu - \eta_{\mu\nu} \partial_\rho\xi^\rho )~.
\end{equation}
$\partial^\nu h_{\mu\nu}$ 的变换如下
\begin{equation}
\partial^\nu \bar h_{\mu\nu} \rightarrow (\partial^\nu \bar h_{\mu\nu})' = \partial^\nu \bar h_{\mu\nu} - \Box \xi_\mu ~,
\end{equation}
如果我们需要让 $\partial^\nu \bar h_{\mu\nu} = 0$, 假设初始的场满足 $\partial^\nu \bar h_{\mu\nu} = f_\mu (x)$. 那我们必须选择满足下面条件的 $\xi_\mu$
\begin{equation}
\Box \xi_\mu = f_\mu (x) ~.
\end{equation}
这个方程总是有解的。如果我们用 $G(x)$ 来表示达朗贝尔算符的格林函数，那么它将满足
\begin{equation}
\Box G(x-y) = \delta^4 (x-y) ~.
\end{equation}
$\xi_\mu(x)$ 的解为
\begin{equation}
\xi_\mu(x) = \int d^4 x G(x-y) f_\mu(y) ~.
\end{equation}
在这样的规范条件下，
式 17 的左边最后三项都为零。我们得到了一个简单的波动方程
\begin{equation}
\Box \bar h_{\mu\nu} = - \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ~.
\end{equation}
综合
式 18 和
式 24 我们得到如下的方程
\begin{equation}
\partial^\nu T_{\mu\nu} = 0~.
\end{equation}
这个方程就是线性理论的能动量守恒方程。完整的爱因斯坦理论里面的能动量守恒方程是
\begin{equation}
D^\nu T_{\mu\nu} = 0 ~.
\end{equation}
线性理论里面的假设有：作为引力波源的物体一般都被近似为在平坦空间里面运动。比如互相绕转的双星系统，他们的背景被看作 $\eta_{\mu\nu}$。这说明我们在用牛顿引力来描述这个系统，而不是完整的爱因斯坦理论。