宇宙学的基本方程

贡献者：叶月2_

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

1. 弗里德曼方程和加速度方程

　　 弗里德曼方程（Friedmann Equation）是爱因斯坦方程的时间部分，即：

\begin{matrix} (1) & G_{00} + Λ g_{00} = 8 π G T_{00} \Rightarrow {(\frac{\dot{a}}{a})}^{2} = H^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ + \frac{Λ}{3} - \frac{k}{a^{2}}, \end{matrix}

可见，如果宇宙常数项足够大，

\dot{a}

将永不为 0，宇宙将一直膨胀。而如果宇宙常数项很小，或者为负值，宇宙则有可能在将来经历停止膨胀，然后收缩的命运（比之如今的宇宙热历史理论，该方程是时间反演不变的。收缩可看作膨胀的反演过程）¹

　　对上式进行求导，便得到加速度方程（acceleration equation）：

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow \frac{\ddot{a}}{a} - \frac{Λ}{3} = - \frac{4 π G}{3} (ρ + 3 P), \end{matrix}

又称作雷乔杜里方程（Raychaudhuri equation）。丛该方程上看，

ρ, P

的作用是使膨胀减速，可以理解为引力作用；宇宙常数项则能促进宇宙膨胀。

2. 连续性方程

　　由爱因斯坦方程一节可知，我们可以把宇宙的一切组成成分看作没有粘度和热传递的理想流体，所遵循的四动量守恒方程在弯曲流形的拓展为

\begin{matrix} (3) & \nabla_{i} T^{i j} = 0 . \end{matrix}

用 Christoffel 符号表示其协变微分，便是

\begin{matrix} (4) & \nabla_{i} T^{i j} = \partial_{i} T^{i j} + Γ_{i k}^{i} T^{k j} + Γ_{i k}^{j} T^{i k} = 0 . \end{matrix}

代入具体联络的具体数值：

\begin{matrix} (5) & Γ_{00}^{0} = 0; Γ_{01}^{1} = Γ_{02}^{2} = Γ_{03}^{3} = \frac{\dot{a}}{a}, \end{matrix}

令

ν = 0

，便得到连续性方程（continuity function）——

\begin{matrix} (6) & \dot{ρ} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (ρ + \frac{p}{c^{2}}) = 0 . \end{matrix}

辐射与物质

　　在把宇宙物质看作理想流体后，把体现压强与密度关系的 $P (ρ)$ 称作状态方程（state function）。在宇宙学里，我们常用的关系为 $p = k ρ, k \in R$ 。应用到两种典型的理想流体上，便得到辐射主导（radiation-dominated）与物质主导(matter-dominated)两种情况。为了得到尺度因子的函数关系，现假设 $k = Λ = 0$ 。

　　所谓物质主导即宇宙成分这一集合可视作尘埃云，满足 $p = 0$ ²，代入式 6 得：

\begin{matrix} (7) & \dot{ρ} + 3 \frac{\dot{a}}{a} ρ = 0 ⟹ \frac{1}{a^{3}} \frac{d (ρ a^{3})}{d t} = 0 ⟹ \frac{d (ρ a^{3})}{d t} = 0, \end{matrix}

显然，此时

ρ \propto 1 / a^{3}

，这是只考虑三维体积膨胀效应的结果。

　　定义现今密度 $ρ_{0} = ρ (t_{0})$ ，物质密度为 $ρ_{m}$ ，则

\begin{matrix} (8) & ρ_{m} = \frac{ρ_{0}}{a^{3}}, . \end{matrix}

　　代入式 1 得：

\begin{matrix} (9) & {\dot{a}}^{2} = \frac{8 π G ρ_{0}}{3} \frac{1}{a} . \end{matrix}

令

a = t^{k}

，解得

\begin{matrix} (10) & a (t) = {(\frac{t}{t_{0}})}^{2 / 3}; ρ (t) = \frac{ρ_{0}}{a^{3}} = \frac{ρ_{0} t_{0}^{2}}{t^{2}} . \end{matrix}

所谓辐射主导则指宇宙的成分集合以相对论性的粒子为主，此时

p = ρ / 3

，代入式 6 后可解得：

\begin{matrix} (11) & \dot{ρ} + 4 \frac{\dot{a}}{a} ρ = 0 ⟹ \frac{1}{a^{4}} \frac{d (ρ a^{4})}{d t} = 0 ⟹ \frac{d (ρ a^{4})}{d t} = 0, \end{matrix}

显然可知，此时

ρ \propto 1 / a^{4}

，这是空间膨胀效应和光子红移的共同结果。

　　同理解得这个阶段尺度因子的函数关系：

\begin{matrix} (12) & a (t) = {(\frac{t}{t_{0}})}^{1 / 2}; ρ_{r} (t) = \frac{ρ_{0}}{a^{4}} = \frac{ρ_{0} t_{0}^{2}}{t^{2}} . \end{matrix}

　　比较这两个阶段，可以看到，宇宙都是随时间增大而膨胀，且其成分总密度随着膨胀而稀释的速度是一致的。然而辐射主导阶段的宇宙膨胀得更慢。从加速度方程式 2 里我们可以看到，这是因为压强起着减缓膨胀速度的作用。

混合

　　混合指的是宇宙包含两种流体，辐射流体和物质流体各对应着连续性方程。尽管它们相互独立，但弗里德曼方程里用到的总密度却使得我们很难得到一个一以概之的尺度因子关系。因此，在这我们仅作比较简单的定性分析，依旧假设 $k = Λ = 0$ ，且有一种流体占据了主要地位。

$ρ_{r} ≫ ρ_{m}$
$\begin{matrix} (13) & a (t) \propto t^{1 / 2}; ρ_{r} \propto \frac{1}{t^{2}} ⟹ ρ_{m} \propto \frac{1}{a^{3}} \propto \frac{1}{t^{3 / 2}} . \end{matrix}$
$ρ_{m} ≫ ρ_{r}$
$\begin{matrix} (14) & a (t) \propto t^{2 / 3}; ρ_{m} \propto \frac{1}{t^{2}} ⟹ ρ_{r} \propto \frac{1}{a^{4}} \propto \frac{1}{t^{8 / 3}} . \end{matrix}$

　　比较这两个阶段的密度会发现，辐射阶段是不稳定的，因为辐射粒子的密度下降快于物质粒子，所以辐射阶段会过渡到物质阶段。在物质阶段内，物质密度会一直远远大于 $ρ_{m}$ ，因此是稳定的。

1. ^ 有一个理论是宇宙常数并非 “常数”，而是缓慢变化的，称这种可能性为 quintessence。
2. ^ 在宇宙学中，“物质” 常是 “非相对论粒子” 的简称，把宇宙视作一个集合后，尘埃云可应用于集合元素为星系的情况，因为星系间只有引力而无其他作用力，又或者对应于已冷却宇宙的原子。