泛函分析笔记 4

                     

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1. 4.1 Symmetric Operators

• Hilbert 空间 $X$ 上的线性算符 $A:D(A)\subseteq X\to X$ 是对称的当且仅当 $D(A)$ 在 $X$ 中稠密且 $(Au|u) = (u|Av)$ 对所有 $u,v\in D(A)$ 成立
• Hilbert 空间 $X$ 上的线性对称算符 $A:D(A)\subseteq X\to X$ 满足：(1) $(Au|u)$ 是实数，(2) 所有本征值为实数，(3) 不同本征值对应的本征矢正交，(4) 本征矢构成的至多可数的完备正交归一系对应的本征值包含 $A$ 的所有本征值

2. 4.2 The Hilbert-Schmidt Theory

• 令 $A:X\to X$ 为可分 Hilbert 空间中的一个非空线性对称紧算符，那么 (1) $A$ 存在本征矢构成的完备正交归一系
• 所有本征值 $\lambda$ 为实数，且每个 $\lambda\ne0$ 存在有限简并
• 不同本征值对应的本征矢正交
• 如果 $A$ 有可数个本征值（注意 $\lambda=0$ 不是本征值），那么本征值序列 $\lambda_n \to 0$