欧拉函数(数论)

                     

贡献者: int256

预备知识 1 素数与合数

定义 1 欧拉函数

   欧拉函数 $\varphi(n)$ 表示 $n$ 以内的非零自然数中与 $n$ 互质的数的个数。也可以表示为, $$\varphi(n) = \sum_{1 \le d \le n, \gcd(d, n) = 1} 1 ~.$$ 其中 $\gcd$ 为求最大公约数,故可以用 $\gcd(d, n)=1$ 表示要求 $d$ 与 $n$ 互质。

   考察一个数论函数,我们经常按素数——素数幂次——非零自然数的顺序去考察。先探讨前两个的性质。

   显然对于任意素数 $p$,其欧拉函数为 $\varphi(p) = p-1$。

   对于一个素数幂次 $p^k$,可以想象在 $[1, p^k]$ 内每 $p$ 个数就有一个与 $p^k$ 不互素(有公因子 $p$)。也就是除去所有的 $p$ 的倍数,均与 $p^k$ 互质,故素数幂次的欧拉函数可以表示为 $\varphi(p^k) = p^k \left(1 - (1/p)\right)$。

推论 1 任意非零自然数 $n$ 的欧拉函数

  

\begin{equation} \varphi(n) = n \cdot \prod_{i, p_i | n} \left( 1 - \frac1{p_i}\right)~. \end{equation}

   证明:可以利用容斥原理: 不妨设 $n = \prod {p_i^{k_i}}$,$p_i$ 是 $n$ 的各素因子,$k_i$ 是其幂次。则有:

  1. 不超过 $n$ 的是某个 $p_i$ 的倍数的分别有 $n/p_i$ 个。
  2. 不超过 $n$ 的是某两 $p_i$ 的倍数的,也即是 $p_i p_j$ 的倍数($i \neq j$)的,有 $n/(p_i p_j)$ 个。在上面重复计数,需要减去。
  3. 不超过 $n$ 的是某三 $p_i$ 的倍数的,也即是 $p_i p_j p_k$ 的倍数($i, j, k$ 互不相等),有 $n/(p_i p_j p_k)$ 个。在上面被减去了,没有计数到,需要加上。
  4. 依此类推...
  5. 不超过 $n$ 的是所有 $p_i$ 的倍数的,即 $\prod p_i$ 的,有 $n/(\prod p_i)$ 个。根据 $i$ 的奇偶性决定是要加上或减去。

   我们发现这表达式可以将欧拉函数表示为: $$\varphi(n) = n - \sum(n/p_i) + \sum_{i\le j} (n/(p_i p_j)) \cdots ~, $$ 恰好与下面的展开式对应(之后默认的情况下忽略 $p_i | n$ 的条件不写): $$\varphi(n) = n \cdot \prod_i \left( 1 - \frac1{p_i}\right)~.$$ 这就是计算某任意数的欧拉函数的方法。

1. 积性函数

定理 1 

   欧拉函数是一个积性函数。

   证明: 回顾积性函数的定义,对于互质的 $n, m$,要求 $\varphi(n m ) = \varphi(n) \varphi(m)$。将 $n$、$m$ 的质因子列出,假设 $n$、$m$ 分别有质因子 $p_i$、$q_i$,则 $nm$ 的所有质因子为 $p_i, q_i$($p_i \neq q_j, \forall (i, j)$,因为 $n$ 与 $m$ 互质)。从而利用上面的推论 1 ,他们的积的欧拉函数可以表示为,

\begin{equation} \begin{aligned} \varphi(n m) &= nm \prod_i \left(1-\frac1{p_i}\right) \prod_i \left(1-\frac1{q_i}\right)\\ &= \left(n \prod_i \left(1 - \frac1{p_i}\right)\right) \left(m \prod_i \left(1 - \frac1{q_i}\right)\right)\\ &= \varphi(n) \varphi(m) ~. \end{aligned} \end{equation}
这就完成了证明。

2. 缩系

预备知识 2 同余与剩余类

   由欧拉函数的定义,我们可以立刻得知一个推论:

推论 2 

   $m$ 的缩系的元素个数是 $\varphi(m)$。

定理 2 

   若 $a_1, a_2, \dots, a_{\varphi(m)}$ 取遍 $m$ 的一个缩系,则对于一个与 $m$ 互质的整数 $k: (k, m) = 1$,则 $k a_1, k a_2, \dots, k a_{\varphi(m)}$ 也取遍 $m$ 的一个缩系。

   证明可以直接考虑模仿完全剩余系时的情形,即定理 2 的证明。可以证明 $k a_i$ 之间两两不同余,而由于 $(k, m) = 1$,各 $k a_i$ 必定都与 $m$ 互质,故他们取遍 $m$ 的一个缩系。

                     

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