柱坐标系中的拉普拉斯方程

                     

贡献者: addis

预备知识 分离变量法,拉普拉斯方程(直角坐标),柱坐标的拉普拉斯算符

   拉普拉斯方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0~. \end{equation}
用柱坐标的拉普拉斯算子表示为
\begin{equation} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} = 0~. \end{equation}

   使用分离变量法,其通解可以记为

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} [A_l J_l(kr) + B_l Y_l(kr)] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m \theta} (C_l \mathrm{e} ^{lz} + C_l \mathrm{e} ^{-lz})~. \end{equation}
其中 $A_l, B_l, C_l, D_l$ 是待定常数,所以它们中只有三个自由度。

   拉普拉斯在柱坐标中分离变量后,径向方程为贝塞尔方程(式 1

\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0~, \end{equation}
其中 $x = lr$。

1. 推导

   令 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R(r) \Phi(\theta) Z(z)$,代入方程得

\begin{equation} \frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = 0~. \end{equation}
前两项只是 $r$ 和 $\theta $ 的函数,第三项只是 $z$ 的函数,所以它们分别为常数。令
\begin{equation} \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = l^2~, \end{equation}
则前两项为
\begin{equation} \frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} = - l^2~. \end{equation}
为了继续分离 $r$ 和 $\theta$,两边乘以 $r^2$, 则左边第二项只是关于 $\theta$ 的函数,剩下的部分只是关于 $r$ 的函数。令
\begin{equation} \frac{1}{\Phi } \frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} = -m^2~. \end{equation}
则剩下的部分为 $m^2$,即
\begin{equation} r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r \frac{\mathrm{d}{R}}{\mathrm{d}{r}} \right) + (l^2 r^2 - m^2)R = 0~. \end{equation}

   令 $x = lr$, $y(x) = R(r)$ 则

\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0~. \end{equation}
到此为止,三个变量已经完全分离,各自的微分方程为式 6 式 8 式 9

   $Z(z)$ 的通解为 $C_1 \mathrm{e} ^{lz} + C_2 \mathrm{e} ^{-lz}$, $\Phi(\theta)$ 的通解为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\theta}$。 式 9 的解不能用有限的初等函数表示,式 10 为贝塞尔方程的标准形式,两个线性无关解是贝塞尔函数 $J_l(x), Y_l(x)$。

   需要注意的是,贝塞尔函数的阶数 $m$ 是角向方程 $( \mathrm{d}^{2}{\Phi}/\mathrm{d}{\theta}^{2} )/\Phi = -m^2$ 的参数,而不是径向方程的参数 $l$。参数 $l$ 被包含在自变量 $x$ 中。

                     

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