贡献者： addis
预备知识 分离变量法
，拉普拉斯方程（直角坐标），柱坐标的拉普拉斯算符
拉普拉斯方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0~.
\end{equation}
用柱坐标的
拉普拉斯算子表示为
\begin{equation}
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} = 0~.
\end{equation}
使用分离变量法，其通解可以记为
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} [A_l J_l(kr) + B_l Y_l(kr)] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m \theta} (C_l \mathrm{e} ^{lz} + C_l \mathrm{e} ^{-lz})~.
\end{equation}
其中 $A_l, B_l, C_l, D_l$ 是待定常数，所以它们中只有三个自由度。
拉普拉斯在柱坐标中分离变量后，径向方程为贝塞尔方程（式 1 ）
\begin{equation}
x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0~,
\end{equation}
其中 $x = lr$。
1. 推导
令 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R(r) \Phi(\theta) Z(z)$，代入方程得
\begin{equation}
\frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = 0~.
\end{equation}
前两项只是 $r$ 和 $\theta $ 的函数，第三项只是 $z$ 的函数，所以它们分别为常数。令
\begin{equation}
\frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = l^2~,
\end{equation}
则前两项为
\begin{equation}
\frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} = - l^2~.
\end{equation}
为了继续分离 $r$ 和 $\theta$，两边乘以 $r^2$， 则左边第二项只是关于 $\theta$ 的函数，剩下的部分只是关于 $r$ 的函数。令
\begin{equation}
\frac{1}{\Phi } \frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} = -m^2~.
\end{equation}
则剩下的部分为 $m^2$，即
\begin{equation}
r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r \frac{\mathrm{d}{R}}{\mathrm{d}{r}} \right) + (l^2 r^2 - m^2)R = 0~.
\end{equation}
令 $x = lr$， $y(x) = R(r)$ 则
\begin{equation}
x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0~.
\end{equation}
到此为止，三个变量已经完全分离，各自的微分方程为
式 6 ，
式 8 ，
式 9 。
$Z(z)$ 的通解为 $C_1 \mathrm{e} ^{lz} + C_2 \mathrm{e} ^{-lz}$， $\Phi(\theta)$ 的通解为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\theta}$。 式 9 的解不能用有限的初等函数表示，式 10 为贝塞尔方程的标准形式，两个线性无关解是贝塞尔函数 $J_l(x), Y_l(x)$。
需要注意的是，贝塞尔函数的阶数 $m$ 是角向方程 $( \mathrm{d}^{2}{\Phi}/\mathrm{d}{\theta}^{2} )/\Phi = -m^2$ 的参数，而不是径向方程的参数 $l$。参数 $l$ 被包含在自变量 $x$ 中。