贡献者： JierPeter; Giacomo
三维欧几里得空间是我们最为熟悉的空间，其性质也非常好，易于研究。本节讨论的是三维空间中的 $C^2$ 参数曲线 $f: I = (a, b) \to \mathbb{R}^3$ 的性质，介绍了 Frenet 向量组以及该组中向量之间的关系，并引入了曲率、挠率等概念。
1. Frenet 向量组
图 1：Frenet 向量组示意图。途中三个蓝色向量就是红色曲线在某一点处的 Frenet 向量组，分别是单位切向量 $T$、单位主法向量 $N$ 和单位副法向量 $B$。
Frenet 向量组是三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中特有的概念，是刻画可微曲线性质的优良工具。
Frenet 向量组中的第一个向量，是单位切向量。关于 $t$ 对曲线 $f(t)$ 求导就能得到切向量，如果把 $t$ 看作时间，那么切向量 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t)$ 也可以看成是曲线上一点的切速度。单位切向量就是方向与切速度相同，但长度为 $1$ 的向量。
为了得到单位切向量，我们可以用切速度除以切速度的大小来获得：$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t)/ \left\lvert \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t) \right\rvert $。但更简单的方法是，令切速度的大小恒为 $1$，或者说只讨论切速度大小恒为 $1$ 的情况，即弧长参数曲线定义 4 ；我们将用字母 $s$ 来表示弧长参数。
定义 1 单位切向量
使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$，记 $T(s)=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }f(s)$，称为曲线在参数为 $s$ 处的单位切向量（unit tangent vector）。
Frenet 向量组中的第二个向量，是单位主法向量。对于处处可微的曲线，切向量总是存在的，但是主法向量不一定存在。主法向量的定义如下：
定义 2 主法向量
使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$，其单位切向量为 $T(s)$。如果 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)$ 不为零，则称 $\kappa(s) N(s)=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)$ 为曲线在 $s$ 处的主法向量（normal vector）。其中 $N(s)$ 是单位向量，$\kappa$ 是一个正数，称作曲线在这一点处的曲率（curvature）。
由于使用弧长参数以后，单位切向量的大小不变，因此 $N(s)$ 恒与 $T(s)$ 垂直。$N(s)$ 就是那第二个成员，单位主法向量。
Frenet 向量组中的最后一个成员，是单位副法向量，是用前两个向量叉乘而来的。
定义 3 副法向量
条件设定如定义 1 和定义 2 ，称 $B(s)=T(s)\times N(s)$ 为曲线在 $s$ 处的单位副法向量（unit binormal vector）。
以上定义的副法向量必然是单位向量，因为 $T$ 和 $N$ 都是单位向量且正交。
Frenet 向量组可以用于构成所谓的Frenet 坐标架，也称活动坐标架。相比预先规定的自然坐标系，活动坐标架忽略了曲线在空间中的具体位置，更简洁和方便地表示了曲线本身的局部性质。
定义 4 密切平面
条件设定如定义 1 和定义 2 ，由 $T(s)$ 和 $N(s)$ 两向量在点 $f(s)$ 处所张成的二维空间，称为曲线在这一点处的密切平面（osculating plane）。
对于平面曲线，即整体都在一个平面上的曲线，其所在的平面就是每个点的密切平面。
2. 曲率和扭率
曲率已经在定义 2 中定义清楚了，是表征单位切向量旋转速率的数字。要说明的是，如果单位切向量在某点处不变化，那么主法向量的概念就不复存在，也就没有 Frenet 向量组的后两位成员了。在这种情况下，我们说曲线在这一点处的曲率为 $0$。更一致的曲率定义方法如下：
定义 5 曲率
使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$，其单位切向量为 $T(s)$。称 $\kappa(s)= \left\lvert \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s) \right\rvert $ 为曲线在 $s$ 处的曲率（curvature）。
当 Frenet 向量组存在时，还有一个重要的概念叫扭率或挠率，在有的文献中也会被称为第二曲率。
在定义扭率之前，我们要先讨论副法向量的一个性质：$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 和 $N(s)$ 平行。首先，因为单位副法向量的长度不变，故有 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 和 $B(s)$ 垂直。由于 $B=T\times N$，故
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)&=[\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)]\times N(s)+T(s)\times\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)\\&=T(s)\times\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)~,
\end{aligned}
\end{equation}
进而可知 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 垂直于 $T(s)$。因此，$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)$ 垂直于 $T$ 和 $B$，必然和 $N$ 在一条线上了。
定义 6 扭率
使用弧长参数来描述可微曲线 $f(s)$，令其 Frenet 向量组为 $T(s), N(s), B(S)$。令实数 $\tau$ 满足 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)=-\tau N(s)$，那么称实数 $\tau$ 为曲线在 $s$ 处的扭率（torsion）。
曲率描述了曲线单位切向量方向变化的速率，越快则曲线弯曲程度越强。扭率则描述了曲线偏离平面曲线的程度，也就是其扭曲程度；也可以理解为，扭率描述了密切平面旋转的速率。
3. Frenet-Serret 公式
三维欧几里得空间中的可微曲线 $f(s)$，如果处处有非零曲率 $\kappa(s)$，且其扭率为 $\tau(s)$（可以为零），则它一定有 Frenet 向量组。$T$，$N$ 和 $B$ 具有如下关系：
定理 1 Frenet-Serret 公式
对于曲线的 Frenet 向量组 $\{T(s), N(s), B(s)\}$，我们有如下关系：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }T(s)=\kappa N(s)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }N(s)=-\kappa(s) T(s)+\tau(s) B(s)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }B(s)=-\tau(s) N(s)~.
\end{equation}
用矩阵的形式可以更简洁地表示为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}T'\\N'\\B'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
矩阵表示也更好记忆。
证明：
- 根据 $N$ 的定义，直接可得式 2 。
- 根据扭率的定义，直接可得式 4 。
- 考虑到三个向量的方向关系，以及它们都是单位向量的事实，我们可以得到 $N=B\times T$。因此，$\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{s} }N=\frac{ \,\mathrm{d}{B} }{ \,\mathrm{d}{s} }\times T+B\times\frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{s} }=-\tau N\times T+B\times\kappa N=\tau B-\kappa T$。
证毕。
