比较定理
贡献者： 零穹
预备知识 微分方程
比较定理可以形象的描述为：若甲乙两人在一直线上跑步，在直线上每一点，甲的速度都比乙的速度慢，且在某一时刻 $t_0$，甲乙两人相遇，那么在相遇前，甲始终跑在乙前面，而在相遇后，甲则始终跑在乙的后面。
这一定理几乎是显然的，但是应该注意在某一时刻，甲的速度可能比乙快。
定理 1 比较定理
若 $v_1,v_2$ 是实轴区间 $U$ 上定义的两实连续函数，且 $v_1< v_2$。又设 $\varphi_1,\varphi_2$ 分别是微分方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=\tau}=v_1(\varphi_1(\tau)), \quad \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=\tau}=v_2(\varphi_2(\tau))~.
\end{equation}
的解。其中 $\varphi_1,\varphi_2$ 是将区间 $(a,b)\;(-\infty\leq a< b\leq+\infty)$ 映射到 $U$ 上的函数。那么
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&\varphi_1(t)\geq\varphi_2(t),\quad t\leq t_0\\
&\varphi_1(t)\leq\varphi_2(t),\quad t\geq t_0
\end{aligned}\right.~
\end{equation}
证明:
我们来证式 2 中的第一式，而第二式只需用同样的方法证明即可。设 $T$ 是对于 $\tau< t\leq t_0$ 中的一切 $t$ 使
\begin{equation}
\varphi_1(t)\geq\varphi_2(t),\quad t\leq t_0~.
\end{equation}
成立的数 $\tau$ 的集合的下确界（
上确界与下确界）。由假设知 $a\leq T\leq t_0$。
由连续性知 $\varphi_1(T)=\varphi_2(T)$，且由条件
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\varphi_1}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=T}< \frac{\mathrm{d}{\varphi_2}}{\mathrm{d}{t}} |_{t=T}~,
\end{equation}
因此对充分接近 $T$ 的一切 $t< T$ 的点，有 $\varphi_1>\varphi_2$。故若 $a< T$，则 $T$ 不能是下确界。这一矛盾表明，$T=a$。
证毕！