闭合轨道的条件
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比耐公式可记为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{l^2 u^2} f \left(\frac 1u \right) ~.
\end{equation}
其中 $u = 1/r$，有心力 $f$ 向外为正，$l$ 为轨道角动量。首先易得圆形轨道满足
\begin{equation}
l = - m r^3 f~.
\end{equation}
任何 $f < 0$ 的力场都支持圆形轨道，然而根据等效一维势能，$V' = V + l^2/(2mr^2)$ 必须在最低点的二阶导数大于零轨道才能稳定。在稳定情况下，令半径为 $r_0$，如果给天体一个微扰，$r$ 会呈周期性波动，我们不妨假设这个波动很小，使
\begin{equation}
f(r) = f(r_0) + f'(r_0)(r-r_0)~,
\end{equation}
则可以证明
式 1 的解为
\begin{equation}
u = u_0 + a\cos\beta\theta~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\beta^2 = 3 + \left. \frac rf \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{r}} \right\rvert _{r = r_0}~.
\end{equation}
这里 $\beta$ 的意义是天体每转过一周关于 $r_0$ 振动的次数，对于平方反比力的椭圆轨道，显然有 $\beta = 1$。所以，当 $\beta$ 为有理数（即 $\beta = n_1/n_2$）时，轨道是闭合的。
为了要求在任意距离的半径上轨道都闭合， $\beta$ 必须不能随 $r$ 变化，所以可以把式 5 看成 $f(r)$ 的微分方程，通解为
\begin{equation}
f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}~.
\end{equation}
1. Bertrand 定理
我们以上只考虑了一阶微扰的情况，如果轨道与圆形轨道偏离较大，如何找到闭合条件呢？我们可以将 $f$ 由上面的微分近似变为高阶泰勒展开，再来寻找比耐公式的解。J. Bertrand 在 1873 年证明，只有当 $\beta^2 = 1$ 或 $\beta^2 = 4$ 的时候才能满足所有可能的轨道都闭合，而这两种情况分别对应平方反比力，以及胡克定律。这个定理被称为 Bertrand 定理。