谱半径

贡献者： DTSIo

预备知识　有界算子的预解式

　　设 $X$ 是复巴拿赫空间，$T:X\to X$ 是有界线性算子。数 $$ r(T):=\sup_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda|~ $$ 称为算子 $T$ 的谱半径（spectral radius）.

　　对预解式 $(z-T)^{-1}$ 进行冯诺依曼级数展开, 可见谱集包含于圆 $|z|\leq\|T\|$ 内。所以有 $r(T)\leq\|T\|$. 更精确的定理如下：

　　极限 $\lim_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}$ 存在，并且等于 $T$ 的谱半径 $r(T)$.

　　 证明。

　　谱半径的重要意义由下述定理刻画：

　　当 $|z|>r(T)$ 时，冯诺依曼级数 $$ \frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty\frac{T^n}{z^n}~, $$ 按照算子范数收敛到 $(z-T)^{-1}$. 当 $|z|< r(T)$ 时，此冯诺依曼级数按照算子范数是发散的。

　　可见，谱半径的意义正如同数值幂级数的收敛半径，而它的计算方法正如同柯西-阿达玛公式所揭示的那样。

　　不论在 $X$ 上取什么样的等价范数，都不影响上面算子的可逆性和连续性，自然也不影响它的谱性质。由于谱半径的定义只用到了算子 $T$ 的谱的性质，所以谱半径是与 $X$ 上的范数选取无关的。