Rudin 数学分析笔记 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
贡献者: addis
本文参考 Rudin [1]。
1. Chap 1. 实数系和复数系
- 有理数(rational number)记为 $Q$,实数记为 $R$
- 虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数,但是有理数集中还是会有 “间隙”,而实数集填补了这些间隙。
- 集合(set):属于(in) $x \in A$,不属于(not in) $x \notin A$
- 空集(empty set),非空(none empty),子集(subset) $A \subseteq B$,超集(superset) $B \supseteq A$,真子集(proper subset)
- 1.4 在第 1 章,用 $Q$ 表示有理数构成的集
- 1.5 设 $S$ 是一个集。$S$ 上的序是一种关系,记作 $<$, 它有下面的两个性质:(i) 如果 $x \in S$ 并且 $y \in S$, 那么在 $x< y, \quad x=y, \quad y< x$ 三种述语之中,有且只有一种成立。(ii) 如果 $x, y, z \in S$, 又如果 $x< y$ 且 $y< z$, 那么 $x< z$. 用 $y>x$ 代替 $x< y$, 时常是方便的。记号 $x \leqslant y$ 指的是 $x< y$ 或 $x=y$, 而不细说二者之中谁能成立。换句话说,$x$ $\leqslant y$ 是 $x>y$ 的否定。
- 1.6 在集 $S$ 里定义了一种序,便是一个有序集
- 1.7 设 $S$ 是有序集,而 $E \subset S$. 如果存在 $\beta \in S$, 而每个 $x \in E$, 满足 $x \leqslant \beta$, 我们就说 $E$ 上有界, 并称 $\beta$ 为 $E$ 的一个上界.
- 1.8 1.8 设 $S$ 是有序集,$E \subset S$, 且 $E$ 上有界。设存在一个 $\alpha \in S$, 它具有以下性质:(i) $\alpha$ 是 $E$ 的上界。(ii) 如果 $\gamma<\alpha, \gamma$ 就不是 $E$ 的上界。便把 $\alpha$ 叫做 $E$ 的最小上界(least upper bound) [由 (ii) 来看,显然最多有一个这样的 $\alpha$] 或 $E$ 的上确界(supremum), 而记作 $\alpha=\sup E$. 类似地可定义下有界集 $E$ 的最大下界或下确界。述语 $\alpha=\inf E$ 表示 $\alpha$ 是 $E$ 的一个下界,而任何合于 $\beta>\alpha$ 的 $\beta$, 不能是 $E$ 的下界。
- (私货)有上界未必有最小上界。例如有理数集合中,小于 $\sqrt{2}$ 的子集不存在最小上界。
- 1.10 如果对于任意非空有上界的 $E \subset S$,都有 $\sup E \in S$,那 $S$ 就具有最小上界性(upper bound property)。
- 1.12 域(field) 集合 $F$ 定义了加法和乘法。加法满足:闭合性,交换律,结合律,存在 0 元,存在逆元。乘法满足:闭合性,交换律,结合律,存在单位元,存在倒数。加法和乘法满足分配律。
- 有理数集是一个域
- 有序域(ordered field)
- 存在一个有序域 $R$ 具有 upper bound property,且有理数集 $Q$ 是其子集。$R$ 就是实数。
- 实数的阿基米德性质:存在整数 $n$ 使 $nx > y$($x > 0$)
- $x \in R$,$x > 0$,$n$ 为整数,存在实数 $y$ 使 $y^n = x$
- 稠密(dense): 两个不同的实数间必有一个有理数
- 1.23 广义实数系(extended real number system) 是在实数集基础上加入 $\pm\infty$ 两个符号。对任何实数有 $-\infty < x < +\infty$。所有非空子集都有最小上界和最大下界。相比于无穷,实数集中的元被称为 finite。
- 复数是一对有序实数 $(a, b)$,定义了加法和乘法后,就变成了一个域。定义 $ \mathrm{i} = (0, 1)$。
- 对正整数 $k$,$R^k$ 定义为所有 $k$ 个有序实数的集合 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = (x_1, \dots, x_k)$,其中 $x_i$ 叫做坐标。
- 定义 $R^k$ 中的内积为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} = \sum_{i = 1}^k x_i y_i$
- 定义模长为 $ \left\lvert x \right\rvert = ( \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} )^{1/2}$
- 定义了内积和模长的 $R^k$ 被称为欧几里得 $k$ 空间(euclidean k-space)。这也是一个度量空间(metric space)(见下文)。通常 $R^1$ 叫做线,$R^2$ 叫做面
2. Chap 2. 基本拓扑
- 2.1 函数是两个集合 $A$,$B$ 之间的映射;定义域,值域,值。$f(A)$ 就是集合 $A$ 的 image;$f(A) \subset B$。如果 $f(A) = B$,那么 $f$ 把 $A$ 映射到(onto)$B$。$f^{-1}(E)$ inverse image。1-1 映射
- 象,逆象,一一对应(1-1 映射)
- 2.3 如果 $A$ 到 $B$ 存在 1-1 映射,记为 $A \sim B$:reflexive $A \sim A$,symmetric $A \sim B \to B \sim A$,transitive $A \sim B, B \sim C \to A \sim C$。此时称 $A$ 和 $B$ 等效,他们具有相同的基数(cardinal number)即元素个数。
- 2.4 定义 $J_n$ 为集合 $1,2,\dots, n$,定义 $J$ 为 $1, 2, \dots$
- $A \sim J_n$ 为有限(finite),不是有限就是无限(infinite),$A \sim J$ 为可数(countable)1。至多可数(at most countable) 就是有限或者可数
- 对无限集来说,“含有同样多个元素” 变得很模糊,但是 1-1 映射的定义仍然有效(只要写出一个表达式)
- 有限集不可能与其真子集等效,而无限集可以
- 2.7 数列(sequence)是 $J$ 的映射 $f(n) = x_n$,记为 $\{x_n\}$。$x_n$ 叫做一项。如果 $x_n \in A$,那该序列就叫 $A$ 中(元素)的序列。
- 2.8 可数集的无穷子集仍然是可数的
- 2.9 设 $A,\Omega$ 为集合,对每个 $\alpha\in A$ 关联一个 $\Omega$ 的子集 $E_\alpha$。元素为 $E_\alpha$ 的集合记为 $\{E_\alpha\}$。这不叫集合的集合,而是叫做 collection of sets 或 类(family of sets)。
- 并集(Union):$\bigcup\limits_{m = 1}^n E_m$,交集(intersection):$\bigcap\limits_{m = 1}^n E_m$
- 并集和交集的混合运算法则与加法和乘法差不多
- 2.12 如果 $E_n\ (n = 1, 2\dots)$(无穷多个)是可数的,那么它们的并集仍然是可数的
- 如果 $A$ 是至多可数,且对 $\alpha \in A$,$B_\alpha$ 也是至多可数,那么 $T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$ 也是至多可数
- 2.13 如果 $A$ 可数,$a_i \in A$, 而 $B_n$($n$ 为固定的正整数)是所有 $(a_1, \dots, a_n)$ 的集合,那么 $B_n$ 也是可数的
- 自然数和有理数(可以看作两个有序整数)都可数,无理数不可数
- 2.15 如果集合 $X$ 中的元素可以叫做点(point),如果一个值为实数的函数 $d(p, q), \ p \in X,\ q \in X$ 满足:当 $p = q$,$d(p, q) = 0$,当 $p \ne q$,$d(p, q) > 0$,$d(p, q) = d(q, p)$,$d(p, q) \leqslant d(p, r) + d(r, q)$,$r \in X$,我们就说这是一个度量空间(metrix space),函数 $d$ 叫做距离函数(distance function),或者度规(metric)。度读 du 第四声。
- 2.17 开区间(segment) $(a, b)$ 是所有 $a < x < b$ 的实数,闭区间(interval) $[a, b]$ 是所有 $a \leqslant x \leqslant b$ 的实数。
- 闭区间也叫 1-方格,类似地,$R^k$ 中可以定义 k-方格(k-cell),2-方格是长方形
- 类似地,$R^k$ 空间也可以定义 开/闭球(open/closed ball)
- 凸(convex):$E \subset R^k$ 对任意 $0 < \lambda < 1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in E$ 满足 $\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} + (1 - \lambda) \boldsymbol{\mathbf{y}} \in E$。例如,ball 和 k-方格都是 convex 的。
- 2.18 度量空间中,邻域(neighborhood) $N_r$:到某点距离小于 $r$ 的集合($r > 0$)
- 度量空间中,极限点(limit point) $p$:所有邻域存在一个与 $p$ 不同的点(无论半径有多小)
- 如果不是极限点,那就是 孤立点(isolated point)
- 对度量空间的子集 $E$,如果所有极限点都属于 $E$,$E$ 就是闭(closed)的。
- 对度量空间 $X$ 的子集 $E$,如果点 $p \in E$ 在 $X$ 中某个邻域是 $E$ 的子集,$p$ 就是 $E$ 的内点(interior point)
- 对度量空间的子集 $E$,如果 $E$ 中的任意一点都是内点,$E$ 就是 开(open) 的。
- 特例:在孤立点构成的度量空间中,任何子集都既开又闭。
- 注意度量空间 $X$ 的子集 $E$ 的开或闭取决于 $X$ 的选取。如果 $E$ 就是 $X$ 本身,那么 $E$ 既开又闭。
- 补集(complement)
- 如果一个闭集合中每一点都是它的极限点,那么该集合就是完全(perfect) 的
- 如果集合中任意一点都在某个 $r$ 为实数的邻域内,这个集合就是有界的(bounded)
- (私货)对一个度量空间 $X$,若存在 $r\in R$ 使任意两点 $p,q\in X$ 都满足 $d(p,q) \leqslant r$,那么 $X$ 就是有界的(bounded)
- 集合 $E$ 在集合 $X$ 上稠密(dense):$X$ 中任意一点都是 $E$ 的一个极限点或者 $E$ 中的一点。(例如有理数在实数上稠密)
- 2.19 任何邻域都是开的
- 2.20 如果 $p$ 是一个极限点,那么它的任何邻域都有无限多个点
- 有限个点的集合中没有极限点
- 2.22 $(\bigcup_\alpha E_\alpha)^c = \bigcap_\alpha (E_\alpha^c)$ 其中 $c$ 代表补集
- 2.23 集合 $E$ 是开的当且仅当它的补集是闭的。$E$ 是闭的当且仅当它的补集是开的。
- 空集和全集既开又闭
- 2.24 任意多开集合的并集仍然是开的,任意多闭集合的交集仍然是闭的;有限个开集合的交集仍然是开的,有限个闭集合的并集仍然是闭的
- 2.26 设 $X$ 是度量空间,如果 $E \subset X$,$E'$ 表示 $E$ 在 $X$ 中所有极限点组成的集。那么,把 $\bar E = E \cup E'$ 叫做 $E$ 的闭包(closure)
- 2.27 设 $X$ 是度量空间,而 $E \subset X$,那么 (a) $\bar E$ 是闭的,(b) $E = \bar E$ 当且仅当 $E$ 闭,(c) 如果闭集 $F \subset X$ 且 $E \subset F$,那么 $\bar E \subset F$。由 (a) 和 (c),$\bar E$ 是 $X$ 中包含 $E$ 的最小闭子集
- 2.28 设 $E$ 是一个非空实数集,上有界,令 $y = \sup E$,那么 $y \in \bar E$。
因此,如果 $E$ 闭,那么 $y \in E$.
- 2.30 令 $Y \subset X$,$E \subset Y$,$E$ 相对 $Y$ 是开的当且仅当 $E = Y \bigcap G$,对某个开的 $G \subset X$
- 2.31 若 $X$ 的一组开子集 $\{G_\alpha\}$ 使 $E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha$,那么 $\{G_\alpha\}$ 就是 $E$ 的开覆盖(open cover)
- 2.32 紧集(compact set):如果 $\{G_\alpha\}$ 是 $K$ 的开覆盖,那么存在有限个 $\alpha_1,\dots, \alpha_n$ 使得 $K \subset G_{\alpha_1} \bigcup \dots \bigcup G_{\alpha_n}$。即任何开覆盖都存在有限的子覆盖。紧集是分析中的非常重要概念。
- 有限集都是紧集
- 如果 $E \subset Y \subset X$,那么 $E$ 可能是 $Y$ 中的开集而不是 $X$ 的开集。闭集也同理。
- 2.33 假设 $K \subset Y \subset X$. 那么 $K$ 在 $X$ 中是紧的当且仅当它在 $Y$ 中也是紧的。
- 2.34 度量空间的紧子集是闭的
- (私货)一个例子:证明开区间 $(0,1)$ 不是一个紧集:易知它的一组无穷开覆盖为 $\bigcup_{n=0}^{\infty}((2/3)^n/3, (2/3)^n)$,且不存在有限子覆盖。反之 $[0,1]$ 则不存在类似的问题。另外注意这性质与所考虑区间的父集无关。
- (私货)度量空间的紧集都是有界的。
- 2.35 紧集的闭子集也是紧的
- 闭集和紧集的交集是紧的
- 2.36 如果 $\{K_\alpha\}$ 是度量空间 $X$ 的一组紧子集且任意有限个 $\{K_\alpha\}$ 的交集为非空,那么 $\bigcap K_\alpha$ 也是非空的
- 2.37 如果 $E$ 是紧集 $K$ 的无穷子集,那么 $E$ 在 $K$ 中存在极限点
- 2.38 如果 $\{I_n\}$ 是 $R^1$ 中的一组闭区间序列,且 $I_n \supset I_{n+1} (n = 1, 2, 3,\dots)$,那么 $\bigcap_1^\infty I_n$ 非空
- 2.40 $k$-方格是紧的
- 2.41 对 $R^k$ 中的集合 $E$,这三个条件等价:(a) $E$ 闭且有界。(b) $E$ 是紧的。(c) $E$ 中的任意无限集在 $E$ 中存在极限点
- 2.42 Weierstrass 定理:$R^k$ 中任何有界的无限集在 $R^k$ 中有(至少)一个极限点
- 2.43 令 $P$ 为 $R^k$ 内的非空完全集。那么 $P$ 是不可数的
- 2.44 Cantor 集说明 $R^1$ 中存在没有区间的完全集。
- 2.45 度量空间 $X$ 的两个子集 $A$ 和 $B$ 被称为分离的(separated) 如果 $A \cap \bar B$ 和 $\bar A \cap B$ 都是空集。
- 如果 $E \subset X$ 不是两个非空分离集的并,就说 $E$ 是连通(connected)集。
- 2.46 分离的两个集是不相交的,但不相交的集合不一定是分离的。例如 $[0,1]$ 和 $(1,2)$ 不是分离的。
- 2.47 实数集 $R^1$ 的子集 $E$ 是连通的,当且仅当:如果 $x\in E$,$y\in E$,且 $x < z < y$,那么 $z \in E$。
3. Chap 3. 数列与级数
- 3.1 度量空间 $X$ 中的序列 $\{p_n\}$ 叫做收敛的(converged),如果有一个有下述性质的点 $p\in X$:对每个 $\epsilon > 0$,有一个正整数 $N$,使得 $n \geqslant N$ 时,$d(p_n,p) < \epsilon$。这时候也说 $\{p_n\}$ 收敛于 $p$,或者说 $p$ 是 $\{p_n\}$ 的极限,写作 $p_n\to p$ 或 $\lim_{n\to \infty} p_n = p$。如果不收敛,就说它发散。
- 收敛的定义不仅依赖于数列还依赖于 $X$,例如 $\{1/n\}$ 在 $R^1$ 中收敛于 $0$,但在正实数集合中不收敛。所以要强调 “在 $X$ 中” 收敛。(这与小时百科的定义 2 不同)
- 一切点 $p_n$ 的集合是 $\{p_n\}$ 的值域(range),序列的值域可以是有限的,也可以是无限的。如果值域是有界的,就说序列是有界的。
- 3.2 度量空间 $X$ 中的序列 $\{p_n\}$:(a) $\{p_n\}$ 收敛于 $p\in X$,当且仅当 $p$ 的每个邻域,能包含除了有限项以外的一切项。(b) 如果数列同时收敛于 $p, p'$,那么 $p' = p$。(c) 数列收敛则必有界。(d) 如果 $E \subset X$,而 $p$ 是 $E$ 的极限点,那么在 $E$ 中有一个序列收敛到 $p$。
- 3.3 假定 $\{s_n\}, \{t_n\}$ 是复序列,且极限为 $s, t$ 那么 (a) $\lim_{n\to\infty} (s_n+t_n) = s+t$,(b) 对任何数 $c$,$\lim_{n\to\infty}cs_n = cs$;(c) $\lim_{n\to\infty}(s_n t_n) = st$;(d) $\lim_{n\to\infty} (c+s_n) = c+s$
- 3.4 (a) 假定 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n \in R^k$($n=1,2,...$)而 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n = (a_{1,n}, ...,a_{k,n})$ 那么序列收敛于 $(a_1,...,a_k)$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty} a_{j,n} = a_j$;(b) 假定 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n\}, \{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _n\}$ 是 $R^k$ 的序列,$\{\beta_n\}$ 是实数序列,并且 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _n\to \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} _n\to \boldsymbol{\mathbf{y}} , \beta_n\to \boldsymbol{\mathbf{\beta}} $。那么 $\lim_{n\to\infty} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} _n+ \boldsymbol{\mathbf{y}} _n) = \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{y}} $,$\lim_{n\to\infty} \boldsymbol{\mathbf{x}} _n \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} _n = \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} $,$\lim_{n\to\infty} \beta_n \boldsymbol{\mathbf{x}} _n = \beta \boldsymbol{\mathbf{x}} $。
- 3.5 有序列 $\{p_n\}$,取正整数序列 $\{n_k\}$,使 $n_1< n_2<...$ 那么序列 $\{p_{n_i}\}$ 便叫做 $\{p_n\}$ 的子序列(subsequence),如果 $\{p_{n_i}\}$ 收敛,就把它的极限叫做 $\{p_n\}$ 的部分极限(subsequential limit)。序列收敛于 $p$ 当且仅当它的任何子序列收敛于 $p$。
- 3.6 如果 $\{p_n\}$ 是紧度量空间 $X$ 中的序列,那么 $\{p_n\}$ 有某个子序列收敛到 $X$ 中的某个点。(b) $R^k$ 中的每个有界序列含有收敛的子序列。
- 3.7 度量空间 $X$ 里的序列 $\{p_n\}$ 的部分极限组成 $X$ 的闭子集。
- 3.8 度量空间 $X$ 中的序列 $\{p_n\}$ 叫做柯西序列(Cauchy),如果对于任何 $\epsilon>0$ 存在着正整数 $N$,只要 $m,n\geqslant N$ 就有 $d(p_n, p_m)<\epsilon$。
- 3.9 设 $E$ 是度量空间 $X$ 的非空子集,又设 $S$ 是一切形式为 $d(p,q)$ 的实数集,$p,q\in E$。$\sup S$ 叫做 $E$ 的直径,记为 $ \operatorname {diam} E$。
- 3.10 (a) 如果 $E$ 是度量空间 $X$ 中的集,那么闭包满足 $ \operatorname {diam}\bar E = \operatorname {diam} E$。(b) 如果 $\{K_n\}$ 是 $X$ 中的紧集的序列,且 $K_n \supseteq K_{n+1}$ 又若 $\lim_{n\to\infty} \operatorname {diam} K_n = 0$,那么 $\bigcap_1^\infty K_n$ 由一个点组成。
- 3.11 (a) 在度量空间中,收敛序列是柯西序列。(b) 如果 $X$ 是紧度量空间,并且如果 $\{p_n\}$ 是 $X$ 中的柯西序列,那么序列收敛于 $X$ 的某个点2。(c) 在 $R^k$ 中,每个柯西序列收敛。
- 3.12 如果度量空间 $X$ 的每个柯西序列都在 $X$ 中收敛,就说该空间是完备的。
- 因此所有紧度量空间以及所有欧氏空间都是完备的。还说明度量空间 $X$ 的闭子集是完备的。
- 3.13 实数序列的单调递增($s_n\leqslant s_{n+1}$)和单调递减。
- 3.14 单调序列收敛,当且仅当它是有界的。
- 3.15 $s_n\to \pm \infty$ 的定义
- 3.16 设 $\{s_n\}$ 是实数序列。$E$ 是所有可能的子序列的极限组成的集(可能含有 $\pm\infty$)。$s^* = \sup E$,$s_* = \inf E$ 这两个数叫做序列的上极限(upper limit)和下极限(lower limit)。记为 $\lim_{n\to\infty} \sup s_n = s^*$,$\lim_{n\to\infty} \inf s_n = s_*$。
- 3.17
- 3.18 例:(a) 给出一个包含一切有理数的序列,那么每个实数是它的部分极限,且 $\lim_{n\to\infty}\sup s_n = +\infty$,$\lim_{n\to\infty}\inf s_n = -\infty$。(b) 设 $s_n = (-1)^n/[1+(1/n)]$,则上下极限为 $1,-1$。(c) 实数序列的极限为 $s$ 当且仅当上下极限都等于 $s$。
- 3.19 如果 $N$ 是固定的正整数,当 $n\geqslant N$ 时 $s_n \leqslant t_n$,那么 $\lim_{n\to\infty}\inf s_n \leqslant \lim_{n\to\infty}\inf t_n$,$\lim_{n\to\infty}\sup s_n \leqslant \lim_{n\to\infty}\sup t_n$。
- 3.20 (a) $p > 0$ 时 $\lim_{n\to\infty}1/n^p = 0$。(b) $p>0$ 时 $\lim_{n\to\infty}{}\sqrt[n]{p} = 1$。(c) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$。(d) $p>0$,且 $\alpha$ 是实数时 $\lim_{n\to\infty} n^\alpha/(1+p)^n = 0$。(e) $ \left\lvert x \right\rvert <1$ 时 $\lim_{n\to\infty} x^n = 0$。
- 3.21 对序列 ${a_n}$,令 $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$ 为部分和,$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 叫做无穷级数,简称级数。如果 $s_n$ 收敛,就说级数收敛,并记为 $\sum_{n=1}^\infty a_n = s$。$s$ 叫做级数的和,是 $s_n$ 的极限。如果 $s_n$ 发散,就说级数发散。
- 柯西准则(3.11)可以重新表述为,$\sum a_n$ 收敛,当且仅当,对于任意 $\epsilon>0$,存在整数 $N$,使得 $m \geqslant n \geqslant N$ 时 $ \left\lvert \sum_{k=n}^m a_k \right\rvert \leqslant \epsilon$。特别地,当 $m=n$ 时 $ \left\lvert a_n \right\rvert \leqslant\epsilon$($n\geqslant N$)
- 3.23 如果 $\sum a_n$ 收敛,则 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
- 3.24 各项为非负的级数收敛,当且仅当其部分和构成有界数列。
- 3.25 (a) 如果 $N_0$ 是某个固定的正整数。$n \geqslant N_0$ 时 $ \left\lvert a_n \right\rvert \leqslant c_n$ 而且 $\sum c_n$ 收敛,那么 $\sum a_n$ 也收敛。(b) 如果当 $n\geqslant N_0$ 时 $a_n\geqslant d_n\geqslant 0$ 而且 $\sum d_n$ 发散,那么 $\sum a_n$ 也发散。
- 3.26 若 $0\leqslant 0< 1$,那么 $\sum_{n=0}^\infty x^n = 1/(1-x)$。若 $x\geqslant 1$,它就发散。
- 3.27 令 $a_1\geqslant a_2\geqslant \dots \geqslant 0$,那么 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛,当且仅当级数 $\sum_{n=0}^\infty 2^k a_{2^k}$ 收敛。
- 3.28 若 $p>1$,$\sum 1/n^p$ 就收敛,若 $p\leqslant 1$,它就发散。
- 3.29 若 $p>1$,$\sum_{n=2}^\infty 1/[n(\log n)^p]$ 就收敛;若 $p\leqslant 1$,它就发散。
- 3.30 定义 $ \mathrm{e} =\sum_{n=0}^\infty 1/n!$。
- 3.31 $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = \mathrm{e} $。
- 3.32 $ \mathrm{e} $ 是无理数。
- 3.33 根值审敛法 对 $\sum a_n$,令 $\alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \left\lvert a_n \right\rvert }$。那么 (a) $\alpha<1$ 时级数收敛 (b) $\alpha>1$ 时级数发散 (c) $\alpha=1$ 时不确定。
- 3.34 比值审敛法 对级数 $\sum a_n$ (a) 如果 $\limsup_{n\to\infty} \left\lvert a_{n+1}/a_n \right\rvert <1$,它就收敛。(b) 如果有某个固定的正整数 $n_0$,$n\geqslant n_0$ 时 $ \left\lvert a_{n+1}/a_n \right\rvert \geqslant 1$,它就发散。
- 3.37 对于任意正数序列 $\{c_n\}$,有 $\liminf_{n\to\infty} c_{n+1}/c_n \leqslant \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n}$,$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n}\leqslant \limsup_{n\to\infty} c_{n+1}/c_n$。
- 3.38 对复数序列 $\{c_n\}$,级数 $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ 叫做幂级数。$c_n$ 叫做这个级数的系数;$z$ 是复数。每个幂级数有一个圆,叫做收敛圆,如果 $z$ 在圆内,幂级数绝对收敛,如果在圆外就发散。(这里把平面看作半径无限大的圆的内部,把一点看作是半径为零的圆)级数在收敛圆上的性质不能简单地叙述。
- 3.39 对幂级数 $\sum c_n z^n$,令 $\alpha=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \left\lvert c_n \right\rvert }$,$R=1/\alpha$(若 $\alpha=0$,令 $R=+\infty$;若 $\alpha=+\infty$,令 $R=0$)。那么 $\sum c_n z^n$ 在 $ \left\lvert z \right\rvert < R$ 时收敛,$ \left\lvert z \right\rvert >R$ 时发散。
- 3.41 令 $A_n=\sum_{k=0}^n a_k$,$A_{-1}=0$。当 $0\leqslant p\leqslant q$ 时,有 $\sum_{n=p}^q a_n b_n = \sum_{n=p}^{q-1} A_n(b_n-b_{n+1}) + A_qb_q - A_{p-1} b_p$。
- 3.42 假设 (a) $\sum a_n$ 的部分和 $A_n$ 构成有界序列 (b) $b_0\geqslant b_1\geqslant \dots$ (c) $\lim_{n\to\infty} b_n=0$。那么 $\sum a_n b_n$ 收敛。
- 3.43 假定 (a) $ \left\lvert c_1 \right\rvert \geqslant \left\lvert c_2 \right\rvert \geqslant \dots$,(b) $c_{2m-1}\geqslant 0$,$c_{2m}\leqslant 0$ (c) $\lim_{n\to\infty} c_n=0$。那么 $\sum c_n$ 收敛。该级数叫做 “交错级数”。
- 如果 $\sum \left\lvert a_n \right\rvert $ 收敛,就说 $\sum a_n$ 绝对收敛。
- 3.44 假定 $\sum c_n z^n$ 的收敛半径是 $1$,再假定 $c_0\geqslant c_1\geqslant \dots$,$\lim_{n\to \infty}c_n=0$,那么 $\sum c_nz^n$ 在 $ \left\lvert z \right\rvert =1$ 的每个点收敛,只有 $z=1$ 这一点可能是例外。
- 3.45 绝对收敛必收敛。
- 3.47 如果 $\sum a_n=A$,$\sum b_n=B$,那么 $\sum (a_n+b_n)=A+B$,而且对于任意常数 $c$,$\sum ca_n=cA$。
- 3.48 设有 $\sum a_n$,$\sum b_n$。令 $c_n=a_0b_n+\dots+a_nb_0$ 那么就称级数 $\sum c_n$ 为两个级数的积。(私货:考虑 $\sum a_n x^n \sum b_n x^n = \sum c_n x^n$,合并同类项,再令 $x=1$)。
- 3.50 如果 $\sum a_n$ 绝对收敛,$\sum a_n$,$\sum b_n$ 收敛于 $A,B$,且 $c_n=a_0b_n+\dots+a_nb_0$,那么 $\sum c_n = AB$。
- 3.51 如果级数 $\sum a_n$,$\sum b_n$,$\sum c_n$ 分别收敛于 $A,B,C$,且 $c_n=a_0b_n+\dots+a_nb_0$,那么 $C=AB$。
- 3.52 设 $\{k_n\}$,$n=1,2,3,\dots$ 是由正整数作成的序列,每个正整数出现且仅出现一次。令 $a'_n=a_{k_n}$($n=1,2,3,\dots$)就说 $\sum a'_n$ 是 $\sum a_n$ 的重排(rearrangement)。
- 3.54 设实数级数 $\sum a_n$ 收敛但不绝对收敛。假定 $-\infty\leqslant \alpha\leqslant\beta\leqslant\infty$。那么一定存在重排 $\sum a'_n$,它的部分和 $s'_n$ 满足下极限和上极限等于 $\alpha, \beta$。
- 3.55 设 $\sum a_n$ 是绝对收敛的复数项级数,那么 $\sum a_n$ 的每个重排收敛,且都收敛于同一个和。
1. ^ 也叫 enumerable 或者 denumerable
2. ^ 闭空间中的柯西序列都收敛,度量空间的紧子集是闭的(2.34)。
[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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