Rudin 数学分析笔记 2

贡献者： addis

　　本文参考 Rudin [1]。

1. Chap 4. 连续性

4.1 函数的极限：令 $f : E \subset X \to Y$ ， $X, Y$ 为度量空间，且 $p$ 是 $E$ 的极限点。凡是我们写当 $x \to p$ 时 $f (x) \to q$ ，或 $lim_{x \to p} f (x) = q$ ，就是存在 $q \in Y$ 具有以下性质：对每个 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使 $d_{Y} (f (x), q) < ϵ$ 对满足 $0 < d_{X} (x, p) < δ$ 的一切点 $x \in E$ 成立。
4.2 $lim_{x \to p} f (x) = q$ 当且仅当 $lim_{n \to \infty} f (p_{n}) = q$ 对 $E$ 中满足 $p_{n} \neq p$ ， $lim_{n \to \infty} p_{n} = p$ 的每个序列 ${p_{n}}$ 成立。
如果 $f$ 在 $p$ 有极限，那么它是唯一的
4.4 $lim_{x \to p} f (x) = A$ ， $lim_{x \to p} g (x) = B$ ，那么 (a) $lim_{x \to p} (f + g) (x) = A + B$ ，(b) $lim_{x \to p} (f g) (x) = A B$ ，(c) $lim_{x \to p} (f / g) (x) = A / B$ （若 $B \neq 0$ ）。
4.6 连续性： $lim_{x \to p} f (x) = f (p)$ 。
4.7 $h (x) = g (f (x))$ 。如果 $f$ 在点 $p$ 连续，且 $g$ 在点 $f (p)$ 连续，那么 $h$ 在点 $p$ 连续。
4.8 定理：度量空间 $X, Y$ 的函数 $f : X \to Y$ 连续，当且仅当对 $Y$ 的每个开集 $V$ ， $f^{- 1} (V)$ 是 $X$ 中的开集。这是连续性的一个极有用的特征。
推论：度量空间 $X, Y$ 的函数 $f : X \to Y$ 连续，当且仅当对 $Y$ 的每个闭集 $C$ ， $f^{- 1} (C)$ 是 $X$ 中的闭集。
4.9 设 $f, g$ 是度量空间 $X$ 上的复连续函数，那么 $f + g$ ， $f g$ 与 $f / g$ 在 $X$ 上连续。在最后一个中，假定对一切 $x \in X$ ， $g (x) \neq 0$ 。
(a) 度量空间上的 $f : X \to R^{k}$ 连续当且仅当每个分量函数都连续。(b) 如果 $f, g : X \to R^{k}$ 连续，那么 $f + g$ 与 $f \cdot g$ 都在 $X$ 上连续。
4.13 有界： $| f (x) | ⩽ M$ 。
4.14 若紧度量空间 $X$ 到度量空间 $Y$ 的函数 $f : X \to Y$ 是连续的，那么 $f (X)$ 是紧的。
4.15 如果 $f$ 是把紧度量空间 $X$ 映入 $R^{k}$ 内的连续映射，那么 $f (X)$ 是闭的和有界的。因此 $f$ 是有界的。
4.16 如果 $f$ 是紧度量空间 $X$ 上的连续实函数，且 $M = sup_{p \in X} f (p)$ ， $m = inf_{p \in X} f (p)$ ，那么一定存在 $r, s \in X$ 使 $f (r) = M$ 以及 $f (x) = m$ 。
4.17 设 $f$ 是把紧度量空间 $X$ 映满度量空间 $Y$ 的连续 1-1 映射，那么逆映射 $f^{- 1}$ 是 $Y$ 映满 $X$ 的连续映射。
4.18 对度量空间 $X, Y$ 的函数 $f : X \to Y$ ，称 $f$ 在 $X$ 上一致连续，若对每个 $ϵ > 0$ 总存在 $δ > 0$ 对一切满足 $d_{X} (p, q) < δ$ 的 $p, q \in X$ 都能使 $d_{γ} (f (p), f (q)) < ϵ$ 。
4.19 设 $f$ 是把紧度量空间 $X$ 映入度量空间 $Y$ 的连续映射。那么 $f$ 在 $X$ 上一致连续。
4.20 设 $E$ 是 $R^{1}$ 中的非紧集，那么 (a) 有在 $E$ 上连续却无界的函数。(b) 有在 $E$ 上连续且有界，却没有最大值的函数。(c) 如果 $E$ 是有界的，有在 $E$ 上连续却不一致连续的函数。
4.22 设 $f$ 是把连通的度量空间 $X$ 映入度量空间 $Y$ 内的连续映射， $E$ 是 $X$ 的连通子集，那么 $f (E)$ 是连通的。
4.25 设 $f$ 定义在 $(a, b)$ 上，定义一点的左极限和右极限……显然极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等。如果函数在一点不连续，就说在这点间断（discontinuous）。
4.26 设 $f$ 定义在 $(a, b)$ 上，如果 $f$ 在一点 $x$ 间断，并且如果 $f (x +)$ 和 $f (x -)$ 都存在，就说 $f$ 在 $x$ 发生了第一类间断。其他间断称为第二类间断。
4.28 设 $f : (a, b) \to R$ ，若 $a < x < y < b$ 时有 $f (x) ⩽ f (y)$ ，就说 $f$ 在 $(a, b)$ 上单调递增；若有 $f (x) ⩾ f (y)$ 就是单调递减。二者统称为单调函数。
4.30 设 $f$ 在 $(a, b)$ 上单调，那么 $(a, b)$ 中使 $f$ 间断的点最多是可数的。
4.31 间断点不一定是孤立点。
4.32 对任意 $c \in R$ ，集合 $x | x > c$ 叫做 $+ \infty$ 的一个邻域，记为 $(c, + \infty)$ 。类似地， $(- \infty, c)$ 是 $- \infty$ 的一个邻域。
4.33 把函数的极限用领域的语言拓展到了广义实数系。

2. Chap 5. 微分法

5.1 导数（导函数）：定义在 $[a, b]$ 上的实值函数，…… $f^{'} (x) = lim_{t \to x} [f (t) - f (x)] / (t - x)$ 。
如果 $f^{'}$ 在点 $x$ 有定义，就说 $f$ 在 $x$ 点可微或可导。如果在 $E \subset [a, b]$ 的每一点有定义，就说 $f$ 在 $E$ 上可微。
5.2……若 $f$ 在 $x \in [a, b]$ 可微（可导），那么它在 $x$ 点连续。
5.5…… $h^{'} (x) = g^{'} (f (x)) f^{'} (x)$ 。
设 $f$ 是定义在度量空间 $X$ 上的实函数，说 $f$ 在点 $p \in X$ 取得局部极大值，如果存在 $δ > 0$ ，对任意 $q \in X$ 且 $d (p, q) < δ$ 有 $f (q) ⩽ f (p)$ 。局部极小值的定义类似。
5.8 设 $f$ 定义在 $[a, b]$ 上； $x \in [a, b]$ ，如果 $f$ 在点 $x$ 取得局部极大值而且 $f^{'} (x)$ 存在，那么 $f^{'} (x) = 0$ 。
5.9 设 $f, g$ 是 $[a, b]$ 上的连续实函数，他们在 $(a, b)$ 内可微，那么就有一点 $x \in (a, b)$ ，使 $[f (b) - f (a)] g^{'} (x) = [g (b) - g (a)] f^{'} (x)$
5.10 一般中值定理：设 $f$ 是定义在 $[a, b]$ 的连续实函数，在 $(a, b)$ 内可微，那么一定有一点 $x \in (a, b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = (b - a) f^{'} (x)$ 。
5.12 设 $f$ 是 $[a, b]$ 上实值可微函数，设 $f^{'} (a) < λ < f^{'} (b)$ ，那么必有一点 $x \in (a, b)$ 使 $f^{'} (x) = λ$ 。
推论：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上可微，那么 $f^{'}$ 在 $[a, b]$ 上不能有简单间断。但 $f^{'}$ 可能有第二类间断。
5.13 洛必达（L'Hospital）法则：假设实函数 $f, g$ 在 $(a, b)$ 内可微，而且对所有 $x \in (a, b)$ ， $g^{'} (x) \neq 0$ 。这里 $- \infty ⩽ a < b ⩽ + \infty$ 。已知 $lim_{x \to a} f^{'} (x) / g^{'} (x) = A$ ，如果 $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ ，或 $lim_{x \to a} g (x) = + \infty$ ，那么 $lim_{x \to a} f (x) / g (x) = A$ 。
5.14 如果 $f$ 在一个区间由导数 $f^{'}$ ，而 $f^{'}$ 自身又是可微的，把 $f^{'}$ 的导数记为 $f^{″}$ ，叫做二阶导数。这样继续下去得到 $f, f^{'}, f^{″}, f^{(3)}, \dots, f^{(n)}$ ，其中 $f^{(n)}$ 叫做 $n$ 阶导数。
5.15 Taylor 定理：设 $f$ 是 $[a, b]$ 上的实函数， $n$ 是正整数， $f^{(n - 1)}$ 在 $[a, b]$ 上连续， $f^{(n)} (t)$ 对每个 $t \in (a, b)$ 存在。设 $α, β$ 是 $[a, b]$ 中的不同的两点，再规定 $P (t) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k)} (α)}{k!} (t - α)^{k}$ . 那么，在 $α$ 与 $β$ 之间一定存在着一点， $x$ , 使得 $f (β) = P (β) + \frac{f^{(n)} (x)}{n!} (β - α)^{n}$ .
5.19 设 $f$ 是把 $[a, b]$ 映人 $R^{k}$ 内的连续映射，并且 $f$ 在 $(a, b)$ 内可微，那么，必有 $x \in (a, b)$ , 使得 $| f (b) - f (a) | ⩽ (b - a) | f^{'} (x) |$ .

3. Chap 6. Riemann-Stieltjes 积分

6.1 设 $[a, b]$ 是给定的区间。 $[a, b]$ 的分法 $P$ 指的是有限点集 $x_{0}$ , $x_{1}, \dots, x_{n}$ , 其中 $a = x_{0} ⩽ x_{1} ⩽ \dots ⩽ x_{n - 1} ⩽ x_{n} = b$ . 把这里每个数减去它的前邻数的差记作 $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1} (i = 1, \dots, n)$ . 现在假设 $f$ 是定义在 $[a, b]$ 上的有界实函数。对应于 $[a, b]$ 的每个分法 $P$ , 令 $M_{i} = sup f (x) (x_{i - 1} ⩽ x ⩽ x_{i})$ , $m_{i} = inf f (x) (x_{i - 1} ⩽ x ⩽ x_{i})$ , $U (P, f) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} Δ x_{i}$ , $L (P, f) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} Δ x_{i}$ 最后置 $\overset{―}{\int_{a}^{b}} f d x = inf U (P, f)$ , $\underset{―}{\int_{a}^{b}} f d x = sup L (P, f)$ . 其中最大下界与最小上界是对 $[a, b]$ 的所有分法而取的。两式左端分别称为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 上积分与下积分.
如果上积分与下积分相等，就说 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，记作 $f \in R$ (即是 $R$ 表示 Riemann 可积函数的集合). 并且用 $\int_{a}^{b} f d x$ 或 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 上下积分的共同值。这就是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的 Riemann 积分.
因为 $f$ 是有界的，对于每个 $P$ , $m (b - a) ⩽ L (P, f) ⩽ U (P, f) ⩽ M (b - a)$ , 从而数 $L (P, f)$ 和 $U (P, f)$ 组成一个有界集。这说明，对于每个有界函数 $f$ , 上秎分与下积分都有定义。关于它们是否相等的问题，即是 $f$ 的可积性问题，是更为细致的问题。我们将不去孤立地研究 Riemann 积分，而马上去考虑更一般的情形。
6.2 设 $α$ 是 $[a, b]$ 上的一个单调递增函数（因 $α (a)$ 和 $α (b)$ 有限，从而 $α$ 在 $[a, b]$ 上有界). 对应于 $[a, b]$ 的每个分法 $P$ , 记 $Δ α_{i} = α (x_{i}) - α (x_{i - 1})$ 显然 $Δ α_{i} ⩾ 0$ . 对于 $[a, b]$ 上任意的有界实函数 $f$ , 令 $U (P, f, α) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} Δ α_{i}$ , $L (P, f, α) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} Δ α_{i}$ . 这里 $M_{i}, m_{i}$ 与 6.1 中的含义相同，并且定义 $\overset{―}{\int_{a}^{b}} f d α = infU (P, f, α)$ , $\underset{―}{\int_{a}^{b}} f d α = sup L (P, f, α)$ . 其中的 $inf$ 及 $sup$ 都是对所有分法而取的。如果两式左端相等，我们就用 $\int_{a}^{b} f d α$ 有时也用 $\int_{a}^{b} f (x) d α (x)$ 表示它们的共同值。这就是 $[a, b]$ 上 $f$ 关于 $α$ 的 Riemann-Stieltjes 积分（或简称为 Stieltjes 积分）, 我们就说 $f$ 关于 $α$ 在 Riemann 意义上可积，并记作 $f \in R (α)$ . 取 $α (x) = x$ , 可见 Riemann 积分是 Riemann-Stieltjes 积分的特殊情形。在一般情形， $α$ 甚至不一定是连续的。
6.3 我们称分法 $P^{*}$ 是 $P$ 的加细，如果 $P^{*} \supset P ($ 即 $P$ 的每个点都是 $P^{*}$ 的点). 设有两个分法 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ , 如果 $P^{*} = P_{1} \cup P_{2}$ , 便称 $P^{*}$ 是它们的共同加细。
6.4 如果 $P^{*}$ 是 $P$ 的加细，那么 $L (P, f, α) ⩽ L (P^{*}, f, α)$ 而且 $U (P^{*}, f, α) ⩽ U (P, f, α)$
6.5 $\underset{―}{\int_{a}^{b}} f d α ⩽ \overset{―}{\int_{a}^{b}} f d α .$
6.6 在 $[a, b]$ 上 $f \in R (α)$ 当且仅当对任意的 $ϵ > 0$ ，存在一个分法 $P$ 使 $U (P, f, α) - L (P, f, α) < ϵ$ 。
6.8 如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么在 $[a, b]$ 上 $f \in R (α)$ 。
6.9 如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调， $α$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么 $f \in R (α)$ 。
6.10 假设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，只有有限个间断点。 $α$ 在 $f$ 的每个间断点上连续，那么 $f \in R (α)$ 。
6.11 假设在 $[a, b]$ 上 $f \in R (α)$ ， $m ⩽ f ⩽ M$ 。 $ϕ$ 在 $[m, M]$ 上连续，并且在 $[a, b]$ 上 $h (x) = ϕ (f (x))$ 。那么在 $[a, b]$ 上 $h \in R (α)$ 。
6.12 (a) 如果在 $f_{1}, f_{2} \in R (α)$ ，那么 $f_{1} + f_{2} \in R (α)$ 。对任意常数 $c$ ， $c f \in R (α)$ ，并且 $\int_{a}^{b} (f_{1} + f_{2}) d α = \int_{a}^{b} f_{1} d α + \int_{a}^{b} f_{2} d α$ 。 $\int_{a}^{b} c f d α = c \int_{a}^{b} f d α$ 。
6.12 (b) 如果在 $[a, b]$ 上 $f_{1} ⩽ f_{2}$ ，那么 $\int_{a}^{b} f_{1} d α ⩽ \int_{a}^{b} f_{2} d α$ 。
6.12 (c) 如果在 $[a, b]$ 上 $f \in R (α)$ ，并且 $a < c < b$ ，那么在 $[a, c]$ 及 $[c, b]$ 上 $f \in R (α)$ ，并且 $\int_{a}^{c} f d α + \int_{c}^{b} f d α = \int_{a}^{b} f d α$
6.12（d) 如果在 $[a, b]$ 上 $f \in R (α)$ 并且 $[a, b]$ 上 $| f (x) | ⩽ M$ ，那么 $| \int_{a}^{b} f d α | ⩽ M [α (b) - α (a)]$ 。
6.12 (e) 如果 $f \in R (α_{1})$ 并且 $f \in R (α_{2})$ ，那么 $f \in R (α_{1} + α_{2})$ 并且 $\int_{a}^{b} f d (α_{1} + α_{2}) = \int_{a}^{b} f d α_{1} + \int_{a}^{b} f d α_{2}$ 。如果 $f \in R (α)$ 且 $c$ 是正常数，那么 $f \in R (c α)$ 而且 $\int_{a}^{b} f d (c α) = c \int_{a}^{b} f d α$
如果在 $[a, b]$ 上 $f, g \in R (α)$ 那么 (a) $f g \in R (α)$ ；(b) $| f | \in R (α)$ 而且 $| \int_{a}^{b} f d α | ⩽ \int_{a}^{b} | f | d α$
6.17 $\int_{a}^{b} f d α = \int_{a}^{b} f (x) α^{'} (x) d x$ 。
6.20 设在 $[a, b]$ 上 $f \in R$ ，对于 $a ⩽ x ⩽ b$ ，令 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 。那么 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续；如果 $f$ 又在 $[a, b]$ 的 $x_{0}$ 点连续，那么 $F$ 在 $x_{0}$ 可微，并且 $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ 。
6.21 微积分基本定理：如果在 $[a, b]$ 上 $f \in R$ 。在 $[a, b]$ 上又有可微函数 $F$ 满足 $F^{'} = f$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ 。
6.22 分部积分：假定 $F$ 和 $G$ 都是 $[a, b]$ 上的可微函数。 $F^{'} = f \in R$ , $G^{'} = g \in R$ . 那么 $\int_{a}^{b} F (x) g (x) d x = F (b) G (b) - F (a) G (a) - \int_{a}^{b} f (x) G (x) d x$ .
6.23 设 $f_{1}, \dots, f_{k}$ 是 $[a, b]$ 上的实函数，并设 $f = (f_{1}, \dots, f_{k})$ 是将 $[a, b]$ 映人 $R^{k}$ 内的映射。如果 $α$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，那么说 $f \in R (α)$ , 指的就是对于 $j = 1, 2, \dots, k$ ， $f_{j} \in R (α)$ . 果真如此的话，就定义 $\int_{a}^{b} f d α = (\int_{a}^{b} f_{1} d α, \dots, \int_{a}^{b} f_{k} d α)$ . 换句话说， $\int f d α$ 是 $R^{k}$ 中的点，而 $\int f_{j} d α$ 是它的第 $j$ 个坐标。
6.24 设 $f$ 及 $F$ 是把 $[a, b]$ 映入 $R^{k}$ 的映射， $f$ 在 $[a, b]$ 上 $\in R$ 并且 $F^{'} = f$ , 那么 $\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a)$
6.25 如果 $f$ 是把 $[a, b]$ 映入 $R^{k}$ 内的映射，并且对于 $[a, b]$ 上的某个单调递增函数 $α$ , $f \in R (α)$ , 那么 $| f | \in R (α)$ , 而且 $| \int_{a}^{b} f d α | ⩽ \int_{a}^{b} | f | d α$ .
6.26 将闭区间 $[a, b]$ 映人 $R^{k}$ 的映射 $γ$ 叫做 $R^{k}$ 里的曲线。也可以说 $γ$ 是 $[a, b]$ 上的曲线。假如 $γ$ 是一对一的， $γ$ 就称作弧. 假如 $γ (a) = γ (b)$ ; 就说 $γ$ 是闭曲线. 结合着 $R^{k}$ 里的每个曲线 $γ$ , 总有 $R^{k}$ 的一个子集，即是 $γ$ 的值域，但是不同的曲线可以有相同的值域。我们给 $[a, b]$ 的每个分法 $P = {x_{0}, \dots, x_{n}}$ 和 $[a, b]$ 上的每个曲线 $γ$ , 配置一个数 $Λ (P, γ) = \sum_{i = 1}^{n} | γ (x_{i}) - γ (x_{i - 1}) |$ . 我们把 $Λ (γ) = sup Λ (P, γ)$ 定义作 $γ$ 之长; 这里的 sup 是对 $[a, b]$ 的一切分法来取的。假若 $Λ (γ) < \infty$ , 就说 $γ$ 是可求长的。
6.27 假如 $γ^{'}$ 在 $[a, b]$ 上连续， $γ$ 便是可求长的，而且 $Λ (γ) = \int_{a}^{b} | γ^{'} (t) | d t$

4. Chap 7. 函数序列与函数项级数

7.1 假设 $n = 1, 2, . . .$ ， ${f_{n}}$ 是一个定义在集 $E$ 上的函数序列，再假设数列 ${f_{n} (x)}$ 对每个 $x \in E$ 收敛。我们便可以由 $f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ （ $x \in E$ ）确定一个函数 $f$ 。这时我们说 ${f_{n}}$ 在 $E$ 上收敛。 $f$ 是 ${f_{n}}$ 的极限或极限函数。
类似地，如果对每个 $x \in E$ ， $\sum f_{n} (x)$ 收敛，如果定义 $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ （ $x \in E$ ），就说函数 $f$ 是级数 $\sum f_{n}$ 的和。
……所以，积分的极限和极限的积分，即使两者都是有限的，也未必相等。
7.7 如果对每一个 $ϵ > 0$ ，有一个整数 $N$ ，使得 $n ⩾ N$ 时，对一切 $x \in E$ ，有 $| f_{n} (x) - f (x) | ⩽ ϵ$ ，我们就说函数序列在 $E$ 上一致收敛于函数 $f$ 。一致收敛必定逐点收敛。
7.8 $E$ 上的函数序列 ${f_{n}}$ 在 $E$ 上一致收敛，当且仅当对每个 $ε > 0$ ，存在一个整数 $N$ 使得 $m, n ⩾ N$ 和 $x \in E$ 时， $| f_{n} (x) - f_{m} (x) | ⩽ ε$ 。
7.9 假设 $lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$ （ $x \in E$ ）。令 $M_{n} = sup_{x \in E} | f_{n} (x) - f (x) |$ 。那么在 $E$ 上 $f_{n} \to f$ 是一致的，当且仅当 $n \to \infty$ 时， $M_{n} \to 0$ 。
7.10 假设 ${f_{n}}$ 是定义在 $E$ 上的函数序列。并且，假设 $| f_{n} (x) | ⩽ M_{n} (x \in E, n = 1, 2, 3, \dots)$ 如果 $Σ M_{n}$ 收敛，那么， $Σ f_{n}$ 便在 $E$ 上一致收敛。
7.11 假设在度量空间内的集 $E$ 上 $f_{n}$ 一致收敛于 $f$ . 设 $x$ 是 $E$ 的极限点，那么 $lim_{t \to x} lim_{n \to \infty} f_{n} (t) = lim_{n \to \infty} lim_{t \to x} f_{n} (t)$
7.12 如果 ${f_{n}}$ 是 $E$ 上的连续函数序列。并且在 $E$ 上 $f_{n}$ 一致收敛于 $f$ 。那么， $f$ 在 $E$ 上连续。
7.13 假定 $K$ 是紧集。并且 (a) ${f_{n}}$ 是 $K$ 上的连续函数序列，(b) ${f_{n}}$ 在 $K$ 上逐点收敛于连续函数 $f$ , (c) 对于一切 $x \in K$ 和 $n = 1, 2, 3, \dots, f_{n} (x) ⩾ f_{n + 1} (x)$ . 那么在 $K$ 上 $f_{n} \to f$ 是一致的。
7.14 如果 $X$ 是度量空间， $C (X)$ 就表示以 $X$ 为定义域的复值连续有界函数的集。给每个 $f \in C (X)$ 配置上确范数 $‖ f ‖ = sup_{x \in X} | f (x) |$ 。因为 $f$ 有界，所以 $‖ f ‖ < \infty$ 。只有当 $f (x) = 0$ 时才有 $‖ f ‖ = 0$ 。如果 $h = f + g$ ，那么对一切 $x \in X$ 有 $| h (x) | ⩽ | f (x) | + | g (x) | ⩽ ‖ f ‖ + ‖ g ‖$ 。所以 $‖ f + g ‖ ⩽ ‖ f ‖ + ‖ g ‖$ 。定义 $f, g \in C (X)$ 之间的距离为 $‖ f - g ‖$ 。于是 $C (X)$ 变为度量空间。
复述 7.9：对于 $C (X)$ 度量来说，序列 ${f_{n}}$ 收敛于 $f$ 当且仅当 $f_{n}$ 在 $X$ 上一致收敛于 $f$ 。
7.15 以上度量使 $C (X)$ 成为完备度量空间。
7.16 设函数 $α$ 在 $[a, b]$ 上单调递增。假定在 $[a, b]$ 上 $f_{n} \in R (α)$ ， $n = 1, 2, \dots$ 。再假设 $[a, b]$ 上 $f_{n} \to f$ 是一致的，那么 $[a, b]$ 上 $f \in R$ ，而且 $\int_{a}^{b} f d α = lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} d α$ 。
7.17 设 ${f_{n}}$ 是 $[a, b]$ 上的可微函数序列，且 $[a, b]$ 上有某点 $x_{0}$ 使 ${f_{n} (x_{0})}$ 收敛。如果 ${f_{n}^{'}}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，那么 ${f_{n}}$ 就在 $[a, b]$ 上一致收敛于某函数 $f$ ；且 $f^{'} (x) = lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x)$ （ $a ⩽ x ⩽ b$ ）。
7.18 实轴上有处处不可微的实连续函数。
7.19 令 ${f_{n}}$ 为集合 $E$ 上的函数序列。说 ${f_{n}}$ 在 $E$ 上逐点有界，如果对每个 $x \in E$ ，序列 ${f_{n}}$ 是有界的。也就是说：如果存在一个定义在 $E$ 上的有限值函数 $ϕ$ ，使 $| f_{n} (x) | < ϕ (x)$ （ $x \in E$ ， $n = 1, 2, \dots$ ）。我们说 ${f_{n}}$ 在 $E$ 上一致有界，如果存在一个数 $M$ ，使 $| f_{n} (x) | < M$ （ $x \in E$ ， $n = 1, 2, \dots$ ）。
7.22 $f$ 是定义在度量空间 $X$ 的子集 $E$ 上的函数， $F$ 是 $f$ 的族。说 $F$ 在 $E$ 上等度连续（equicontinuous），就是对每个 $ε > 0$ 存在一个 $δ > 0$ ，只要 $d (x, y) < δ$ ， $x, y \in E$ 以及 $f \in F$ 就能使 $| f (x) - f (y) | < ε$ 。
7.23 假若 ${f_{n}}$ 是在可数集 $E$ 上逐点有界的复值函数序列，那么 ${f_{n}}$ 便有子序列 ${f_{n_{k}}}$ , 使得 ${f_{n_{k}} (x)}$ 对于每个 $x \in E$ 收敛。
7.24 若 $K$ 是紧度量空间， $f_{n} \in C (K)$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，而且 ${f_{n}}$ 在 $K$ 上一致收敛，那么 ${f_{n}}$ 在 $K$ 上等度连续。
7.25 若 $K$ 是紧集， $f_{n} \in C (K)$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，而且 ${f_{n}}$ 在 $K$ 上逐点有界又等度连续，那么 (a) ${f_{n}}$ 在 $K$ 上一致有界，(b) ${f_{n}}$ 含有一致收敛的子序列。
7.26 Stone-Weierstrass 定理：如果 $f$ 是 $[a, b]$ 上的一个连续复函数，那么就有多项式 $P_{n}$ 的序列，使得 $lim_{n \to \infty} P_{n} (x) = f (x)$ 在 $[a, b]$ 上一致成立。如果 $f$ 是实函数， $P_{n}$ 可以是实多项式。
7.27 在每个闭区间 $[- a, a]$ 上，必有实多项式 $P_{n}$ 的序列，满足 $P_{n} (0) = 0$ 且 $lim_{n \to \infty} P_{n} (x) = | x |$ 一致地成立。
7.28 定义在 $E$ 上的复函数族 $A$ 为代数，若对于一切 $f, g \in A$ 来说，(i) $f + g \in A$ ，(ii) $f g \in A$ ，(iii) 对一切复常数 $c$ ， $c f \in A$ 。也就是说，加法、乘法、数乘是封闭的。
如果 $A$ 满足，只要 $f_{n} \in A$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），且在 $E$ 上 $f_{n} \to f$ 一致成立，就有 $f \in A$ 。就说 $A$ 是一致闭的。
设 $B$ 是由 $A$ 中所有一致收敛函数序列的及先函数组成的集，就说 $B$ 是 $A$ 的一致闭包。
Weierstrass 定理可以叙述为： $[a, b]$ 上连续函数的集合是 $[a, b]$ 上的多项式集的一致闭包。
7.29 设 $B$ 是有界函数的代数 $A$ 的一致闭包。那么 $B$ 是一致闭的代数。
7.30 设 $A$ 是集合 $E$ 上的函数族。说 $A$ 能分离 $E$ 的点，就是说对不同的 $x_{1}, x_{2} \in E$ ，总有函数 $f \in A$ ，使 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ 。

5. Chap 8. 一些特殊函数

幂级数 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ 或更一般地 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n}$ ，都称为解析函数。我们限制 $x$ 取实数。
8.1 假设对 $| x | < R$ ，级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ 收敛，并规定 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ （ $| x | < R$ ）。那么无论选取怎样的 $ε > 0$ ，级数在 $[- R + ϵ, R - ϵ]$ 上一致收敛，函数 $f$ 在 $(- R, R)$ 内连续、可微，且 $f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} x^{n - 1}$ （ $| x | < R$ ）
在 8.1 中， $f$ 在 $(- R, R)$ 内有任意阶导数。他们是……
8.3 设有双重序列 ${a_{i j}}$ ， $i, j = 1, 2, 3 \dots$ 。假设 $\sum_{j = 1}^{\infty} = b_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots$ ）并且 $\sum b_{i}$ 收敛，那么 $\sum_{i = 1}^{\infty} \sum_{j = 1}^{\infty} a_{i j} = \sum_{j = 1}^{\infty} \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i j}$
8.4 设 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ ，这级数在 $| x | < R$ 内收敛。若 $- R < a < R$ ， $f$ 就可以在 $x = a$ 附近展开为幂级数，这幂级数在 $| x - a | < R - | a |$ 中收敛，且有泰勒公式……
定义 $E (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} / n!$ 为指数函数，有加法公式 $E (z + w) = E (z) E (w)$ 。…… 对一切实数 $x$ ， $E (x) = e^{x}$ 。
定义 $C (x) = [E (i x) + E (- i x)] / 2$ ， $S (x) = [E (i x) - E (- i x)] / (2 i)$ 。
8.9 三角多项式是形如 $f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{N} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)$ （ $x \in R$ ）的有限和。其中系数都是复数。也可以记为 $f (x) = \sum_{- N}^{N} c_{n} e^{i n x}$ （ $x \in R$ ）。每个三角多项式以 $2 π$ 为周期。 $c_{m} = (1 / 2 π) \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i m x} d x$ 。 $f$ 是实函数当且仅当 $c_{- n} = {\bar{c}}_{n}$ ， $n = 0, \dots, N$ 。定义三角级数为 $\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}$ 。
8.10 ${ϕ_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ 是 $[a, b]$ 上合于 $\int_{a}^{b} ϕ_{n} (x) \overset{―}{ϕ_{m} (x)} d x = 0 (n \neq m)$ 的复值函数序列。那么， ${ϕ_{n}}$ 叫做 $[a, b]$ 上的函数的正交系。此外，若是对于一切 $n$ ， $\int_{a}^{b} {| ϕ_{n} (x) |}^{2} d x = 1$ ， ${ϕ_{n}}$ 便叫作正规正交系（orthonormal）.
假若 ${ϕ_{n}}$ 是 $[a, b]$ 上的正规正交系，而且 $c_{n} = \int_{a}^{b} f (t) \overset{―}{ϕ_{n} (t)} d t (n = 1, 2, 3, \dots)$ , 我们便说 $c_{n}$ 是 $f$ 关于 ${ϕ_{n}}$ 的第 $n$ 个 Fourier 系数。我们写作 $f (x) \sim \sum_{1}^{\infty} c_{n} ϕ_{n} (x)$ 。这并不意味着任何关于级数收敛性的事实。
8.11 设 ${ϕ_{n}}$ 是 $[a, b]$ 上的正规正交系。令 $s_{n} (x) = \sum_{m = 1}^{n} c_{m} ϕ_{m} (x)$ 是 $f$ 的 Fouricr 级数的第 $n$ 个部分和。又假定 $t_{n} (x) = \sum_{m = 1}^{n} γ_{m} ϕ_{m} (x) .$ 那么 $\int_{a}^{b} {| f - s_{n} |}^{2} d x ⩽ \int_{a}^{b} {| f - t_{n} |}^{2} d x$ 并且，当且仅当 $γ_{m} = c_{m} (m = 1, \dots, n)$ 时才能使等式成立。
8.12 若 ${ϕ_{n}}$ 是 $[a, b]$ 上的正规正交系，又若 $f (x) \sim \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} ϕ_{n} (x)$ ，那么 $\sum_{n = 1}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} ⩽ \int_{a}^{b} | f (x) |^{2} d x$ . 特别地， $lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ . 这即是所谓 Bessel 不等式.
8.13 将要考虑的函数都以 $2 π$ 为周期，都在 $[- π, π]$ 上 Riemann 可积。那么 $s_{N} (x) = s_{N} (f; x) = \sum_{- N}^{N} c_{n} e^{i n x}$ 是 $f$ 的 Fourier 级数的第 $N$ 个部分和。 $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} {| s_{N} (x) |}^{2} d x = \sum_{- N}^{N} {| c_{n} |}^{2} ⩽ \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | f (x) |^{2} d x$ . 定义 Dirichlet 核 $D_{N} (x) = \sum_{n = - N}^{N} e^{i n x} = \frac{\sin (N + \frac{1}{2}) x}{\sin (\frac{x}{2})}$ 这里第一个等式是 $D_{N} (x)$ 的定义; 于是 $s_{N} (f; x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) \sum_{- N}^{N} e^{i n (x - t)} d t$ 。 $s_{N} (f; x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (t) D_{N} (x - t) d t = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x - t) D_{N} (t) d t$
8.14 如果对于某一点 $x$ , 有两个常数 $δ > 0$ 和 $M < \infty$ , 对所有的 $t \in (- δ, δ)$ , 使得 $| f (x + t) - f (x) | ⩽ M | t |$ 便一定有 $lim_{N \to \infty} s_{N} (f; x) = f (x)$
8.15 如果 $f$ 连续（以 $2 π$ 为周期）, 并且 $ε > 0$ , 那么便有一个三角多项式 $P$ , 对于一切实数 $x$ ， $| P (x) - f (x) | < ε$
8.16 Parseval 定理：假定 $f$ 与 $g$ 都是 Riemann 可积而且周期为 $2 π$ 的函数。 $f (x) \sim \sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}, g (x) \sim \sum_{- \infty}^{\infty} γ_{n} e^{i n x}$ 那么 $lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- x}^{π} {| f (x) - S_{N} (f; x) |}^{2} d x = 0$ ； $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) \overset{―}{g (x)} d x = \sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} {\bar{γ}}_{n}$ ； $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | f (x) |^{2} d x = \sum_{- \infty}^{\infty} {| c_{n} |}^{2}$
8.17 当 $0 < x < \infty$ 时 $Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ 对于这些 $x$ , 这积分收敛。(当 $x < 1$ 时，0 与 $\infty$ 都必须检查。)
8.18 (a) 如果 $0 < x < \infty$ , 函数方程 $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ 成立。(b) $Γ (n + 1) = n!, n = 1, 2, 3, \dots$ . (c) $\log Γ$ 在 $(0, \infty)$ 上是凸的。
8.19 如果 $f$ 在 $(0, \infty)$ 上是正值函数，合于 (a) $f (x + 1) = x f (x)$ , (b) $f (1) = 1$ , (c) $\log f$ 是凸的，那么 $f (x) = Γ (x)$ .
8.20 如果 $x > 0$ , 又 $y > 0$ , 那么 $\int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}$ 这积分是所谓的 $B$ 函数 $B (x, y)$ .
8.21 $Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}$ ， $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- s^{2}} d s = \sqrt{π}$
8.22 当 $x$ 很大时，这给 $Γ (x + 1)$ 提供了一个简单的近似表达式（当 $n$ 很大时，就是 $n!$ 的近似表达式）. 这公式是 $lim_{x \to \infty} \frac{Γ (x + 1)}{(x / e)^{x} \sqrt{2 π x}} = 1$

[1] ^ Walter Rudin. Principle of Mathematical Analysis