贡献者： addis
Multi-channel 散射可以取 diabatic 基底（相当于 $R\to \infty$ 时的状态），在这种情况下，$R\to\infty$ 时势能矩阵就没有任何 coupling，而当 $R$ 较小时就会有 coupling。
但如果我们将势能矩阵对角化，得到的基底就叫做 adiabatic 基底。
\begin{equation}
H \Psi = E \Psi~,
\end{equation}
\begin{equation}
H = T_s + H_{ad}( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s)~.
\end{equation}
$s$ 角标代表 slow，$ad$ 下标代表 adiabatic。
\begin{equation}
H_{ad} \Phi_\nu = u_\nu ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s) \Phi_\nu ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s, \Omega_f)~,
\end{equation}
$f$ 角标代表 fast。解的时候 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s$ 是常数。$u_\nu$ 包括离散和连续。
波函数表示为
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s, \Omega_f) = \int\kern-1.4em\sum _\nu F_\nu ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s) \Phi_\nu( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s, \Omega_f)~.
\end{equation}
代入薛定谔方程得
\begin{equation}
-\frac{1}{2\mu} \left\{[ \boldsymbol\nabla _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} + \boldsymbol{\mathbf{P}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} _s)]^2 + \boldsymbol{\mathbf{u}} \right\} \boldsymbol{\mathbf{F}} = E \boldsymbol{\mathbf{F}} ~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{P}} _{i,j} = \left\langle \Phi_i \middle| \boldsymbol\nabla _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} \middle| \Phi_j \right\rangle ~,
\end{equation}
这里的积分是对 $\Omega_f$ 进行。得到的是一个矩阵，矩阵元为矢量。
为了明确起见，我们把式 5 记为分量的形式为
\begin{equation}
-\frac{1}{2\mu} \left[ \boldsymbol{\nabla}^2 _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} F_i + 2\sum_j ( P_{ij} \boldsymbol\nabla _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} F_j) + P_{i,j}^{(2)} F_j \right] = E F_j~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^{(2)}$ 矩阵定义为 $ \left\langle \Phi_i \middle| \boldsymbol{\nabla}^2 _{ \boldsymbol{\mathbf{R}} _s} \middle| \Phi_j \right\rangle $，其实就是 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 矩阵的平方。
到此为止所有公式都是精确的。