等差与等比数列总结(初等数学)

                     

贡献者: ACertainUser

预备知识 等差数列(高中),等比数列(高中)
表1:等差与等比数列
等差数列 等比数列
例子 $$1,2,3,4,5,...~$$ $$1,2,4,8,16,...~$$
通项公式 ($n=1,2,3,...$) $$a_n = a_1 + (n-1)d~$$ $$a_n = a_1 q^{n-1}~$$ $$q\ne0~$$
递推公式 $$a_{n+1} = a_n + d~$$ $$a_{n+1} = a_n \cdot q~$$
项数 $$n = \frac{a_n-a_1}{d} + 1~$$ $$n = \frac{\ln{\frac{a_n}{a_1}}}{\ln{q}} + 1 = \log_q \frac{a_n}{a_1}+1~$$
前 $n$ 项和 $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ $$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}~$$ $$S_n = \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q}~$$ $$(q\ne 1)~$$
一个小结论 $$p+q=m+r \Rightarrow a_p+a_q = a_m + a_r~$$ $$p+q=m+r \Rightarrow a_p \cdot a_q = a_m \cdot a_r~$$

   本文中,$n$ 代表序号 $n=1,2,3,...$,$a_n$ 代表数列中的第 $n$ 项,$d$ 代表等差数列的公差,$q$ 代表等比数列的公比。

例 1 

   求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$

   我们发现这是一个公比为 $1/2$ 的等比数列。尽管有无穷个数字相加,但累和结果似乎是一个有限的数: $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{2} (1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} =1 ~$$ 所谓 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,反过来说,把万世中取得的这些棰加起来,也不过一尺。

   这个结论可以很方便地推广至所有 $0< q<1$ 的等比数列,在高数中这个结论非常有用: $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} \qquad 0< q<1~$$ 然而另一个看起来十分相似的式子(调和级数)就没有这么幸运,主流理论认为他是发散的: $$S = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\to+\infty~$$

                     

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