图

Feshbach 共振

   相互作用 Hamiltonian,我们考虑一个坐标表象张量积一个 open-closed 的 channel 表象. 这种情况下,可以写为:

\begin{equation} \hat{H} = -\frac{\hbar^2\nabla^2}{m}\otimes I_2+V_{2\times2} \end{equation}
其中因为约化所以 $2m\to m$. 此外,
\begin{equation} V_{2\times2} = \begin{cases} \left(\begin{matrix} -V_{\text{open}} & W\\ W & -V_{\text{close}} \end{matrix}\right) & r < r_0\\ \left(\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & +\infty \end{matrix}\right) & r > r_0 \end{cases} \end{equation}
这其实就是对我们之前的物理要求:在远处 close 通道有一个远高于能标的渐进值,近处有一个相互作用($W$)但是很小. 它是由超精细结构提供的,比 $|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$ 小几个量级.

   在很前面的时候,我们知道,$E\to0$ 的情况下,波函数可以写为 $\Psi=\frac{r-a_s}{r}|\text{open}\rangle$.

   在近处,我们考虑相互作用部分的本征态 $|\pm\rangle$:

\begin{equation} |+\rangle = \left(\begin{matrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{matrix}\right),\quad |-\rangle = \left(\begin{matrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{matrix}\right) \end{equation}
其中,$\tan2\theta = 2W/|V_{\text{open}}-V_{\text{close}}|$,本征值可以近似认为是 $V_{\text{open}}$ 和 $V_{\text{close}}$. 可以用未归一的波函数来描述这两个本征态各自独立的情况:
\begin{equation} |\Psi\rangle\propto\frac{1}{r}\left[\sinRound{q_+r}|+\rangle + A\sinRound{q_-r}|-\rangle\right] \end{equation}
其中,$q_+,q_-$ 为该能量下的波矢, $A$ 是一个系数. 由于整体 $E\to0$ 为零能散射,所以 $\hbar^2q^2/m$ 就应该等于负的相互作用本征值,也就是有
\begin{equation} \frac{\hbar^2q_{+/-}^2}{m} = V_{\text{open}}/V_{\text{close}} \end{equation}

   考虑在 $r\ge r_0$ 的位置,体系波函数就不再会包含 close 成分,也就是说, $\langle\text{close}|\Psi\rangle(r_0) = 0$,从而告诉我们这个系数 $A$ 满足

\begin{equation} A=-\tan\theta\frac{\sinRound{q_+r_0}}{\sinRound{q_-r_0}} \end{equation}
此外,open 态在 $r_0$ 处要连续,不仅是波函数还有其导数. 利用之前得到的关系,可以有
\begin{equation} \left.\frac{L'}{L}\right|_{r=r_0} = \left.\frac{(r-a_s)'}{r-a_s}\right|_{r=r_0} \end{equation}
其中
\begin{equation} L = \sinRound{q_+r}\cos\theta - \frac{\sinRound{q_+r_0}}{\sinRound{q_-r_0}} \sinRound{q_-r}\tan\theta \end{equation}
经过化简我们得到
\begin{equation} \frac{q_+\cos^2\theta}{\tanRound{q_+r_0}}+\frac{q_-\sin^2\theta}{\tanRound{q_-r_0}} = \frac{1}{r_0-a_s} \end{equation}

   可以看到,因为 $\theta\to0$,主要成分有 $q_+$ 贡献. 在没有相互作用的时候,我们有

\begin{equation} \frac{1}{r_0-a_{\text{bg}}} = \frac{q_+}{\tanRound{q_+r_0}} \end{equation}
只有在 $\tanRound{q_-r_0}\to0$ 的时候,第二项才有贡献. 考虑一个体系的束缚态,能量 $E_c$,其满足
\begin{equation} \left.\sinRound{qr}\right|_{r=0,r_0} = 0,\quad q = \sqrt{\frac{m(V_c+E_c)}{\hbar^2}} \end{equation}
在 $E_c\to0$ 的时候, $q_-\sim q$,从而
\begin{equation} \tanRound{q_-r_0}\sim (q_- -q) r_0 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{m}(\sqrt{V_c}-\sqrt{V_c+E_c}) =-\frac{mE_c}{2\hbar^2 q_-} \end{equation}
也就是说,第二项约为
\begin{equation} -\frac{2\hbar^2q_-^2\theta^2}{mr_0}\frac{1}{E_c} = -\gamma\frac{1}{E_c}, \gamma\equiv\frac{2\hbar^2q_-^2\theta^2}{mr_0} \end{equation}
此时,
\begin{equation} \frac{a_s-r_0}{a_{\text{bg}}-r_0} = 1-\frac{\Delta B}{B-B_{\text{res}}} \end{equation}
其中, $B$ 为施加的磁场,而我们的 $E_c$ 则由磁场调控(因为磁矩不一样): $E_c\to E_c+\delta\mu B$,而 $\Delta B = \frac{\hbar^2}{\delta\mu m}\gamma(a_{\text{bg}}-r_0)$, $B_{\text{res}} = -{E_c}/{\delta\mu}+\Delta B$,都是一些以 $B$ 参数的东西.

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