贡献者： 叶月2_
1. 哈密顿方程
在理论力学里，我们已经知道，若粒子体系能量守恒，以 $\{p_i\},\{q_i\}$ 为独立变量的哈密顿函数满足正则方程：
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\dot{q}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \\
\dot{p}_{i} = -\frac{\partial H}{\partial q_{i}},
\end{array} \quad i = 1,2, \cdots, s,\right.
\end{array}
\end{equation}
反过来，也可以通过正则方程来得到系统能量守恒的结论。以一维运动的粒子为例，设粒子的哈密顿函数为 $H(x(t),p(t);t)$，则有：
\begin{equation}
\frac{\mathrm {d}H}{\mathrm {d}t}=\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\mathrm {d}p}{\mathrm {d}t}+\frac{\partial H}{\partial x}\frac{\mathrm {d}x}{\mathrm {d}t}~.
\end{equation}
在相空间里观察粒子的轨迹，能量守恒意味着取哈密顿函数的一条等值线，哈密顿正则方程的不对称性保证了式 2 为 0，即态点的速度 $(x,p)$ 与哈密顿函数的梯度垂直。若无初值条件的约束，只知道粒子的 “速度”，其实际运动轨迹，即积分曲线依然是无限多的。在下文里，我们将看到，态点的“速度场”是哈密顿函数 1 形式 $\mathrm dH$ 的对偶。推广开来，在我们给定一个光滑函数后，总可以得到一个余切向量场（1 形式），再利用辛形式，可以把余切向量场对偶为原流形上的一个切向量场。对于哈密顿函数，该切向量场正是速度场，我们称积分得到的曲线族为哈密顿相流（Hamiltonian flow）。
2. 辛流形
粒子的相空间总是 $2n$ 维的线性空间，将切空间的 basis 排列为 $\{A_1,B_1,A_2,B_2...A_n,B_n\}(A_i=\frac{\partial}{\partial x^i},B^i=\frac{\partial}{\partial p^i})$。余切空间的基为 $\{\mathrm {d} x^1,\mathrm {d}p^1...\}$，生成 Grassmann 代数后取一个 2 形式为：
\begin{equation}
\omega=\sum\limits^{n}_{i=1}\mathrm {d}x^i\wedge\mathrm {d}p^i~.
\end{equation}
容易验证，该 2 形式满足：
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\omega\left(A_{i}, B_{j}\right)=-\omega\left(B_{j}, A_{i}\right)=\delta_{i j}, \\
\omega\left(A_{i}, A_{j}\right)=\omega\left(B_{i}, B_{j}\right)=0 .
\end{array}
\end{equation}
这是一个非退化的闭形式，“闭” 意味着 $d\omega=0$，定义使得这个条件天然满足。“非退化” 则意味着除非输入两个零向量，不然输出的数字不为 0。我们称一个非退化的，闭的 2 形式为辛形式，这是定义在切空间上的广义内积（辛空间必须配套的反对称双线性型），输入任意两个切向量，得到一个数字，但结果显然是不对称的。用 $\omega_{ij}$ 表示该张量的元。如果要用矩阵运算表示这个切向量的 “内积”，对于 $\omega$ 的矩阵表示，我们依次排列切空间的基为 $\{A_1,A_2...A_n,B_1,B_2...B_n\}$，令 $A_i$ 行 $B_j$ 列的元素为 $\omega(A_i,B_j)$，于是得到 $\omega$ 的矩阵形式为：
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
0&I_n \\
-I_n&0
\end{pmatrix}
\end{equation}
设 $x,y$ 是任意两个切向量，则 $\omega(x,y) =x^T\omega y$，反对称的特点使得行向量，列向量互换角色的结果互为相反数，满足我们的 2 形式特性。
2 形式作为反对称张量是双线性的。矩阵形式具有逆也意味着我们可以导出切丛和余切丛的同构。回忆一下，我们以前利用黎曼度量 $g(X(p),*)$ 将 $X$ 同构到唯一确定的余切场，$\omega(X(p),*)$ 亦然如此。
用 $\omega^{ij}$ 表示张量逆的元，则 $\omega^{ij}\omega_{jk}=\delta^i_k$。矩阵形式为
\begin{equation}
\omega^{-1}=\begin{pmatrix}
0&-I_n \\
I_n&0
\end{pmatrix}
\end{equation}
余切空间的基需要排列为 $\{\mathrm dp^1,\mathrm dp^2...\mathrm dp^n,\mathrm dx^1,\mathrm dx^2...\mathrm dx^n\}$，这样才能满足：
\begin{equation}
\omega^{-1}(\mathrm dx^i,\mathrm dp^j)=\delta^{ij}~,
\end{equation}
这从而符合我们的朴素直觉，两个切向量的 “内积” 和对偶的余切向量 “内积” 结果相同。
张量的反对称性延伸到矩阵形式上，就还是一个反对称矩阵。$\omega_{ia}=-\omega_{ai}$（唔这样应该好区分坐标和动量分量），或表示为 $\omega^{-1}(\mathrm dp^i,\mathrm dx^j)=-\delta_{ij}$。
若光滑流形能配备一个辛形式，我们就称对应的流形为辛流形。因此粒子的相空间是天然的一个辛流形。
设 $f$ 为任意光滑函数，它的 1 形式为光滑余切场，表示为 $\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm dx^i+\frac{\partial f}{\partial p^i}\mathrm dp^i$，现在用辛形式的逆来导出与 $\mathrm df$ 对偶的切场。
用 $X^{\mu}$ 来表示对偶的切场分量。那么我们有:
\begin{equation}
\begin{aligned}
X^{i}&=\omega^{ia}\partial_{a}f\\
X^{a}&=\omega^{aj}\partial_{j}f
~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以验证，如果 $f$ 为哈密顿函数，则上式正是哈密顿正则方程导出的速度场。
设 $f,g$ 都是辛流形上的光滑函数，那么计算得到：
\begin{equation}
\omega^{-1}(df,dg)=\sum\limits^{n}_{a,i=1}\partial_if\partial_ag-\partial_af\partial_ig~.
\end{equation}
巧不巧，这竟然就是我们在经典力学里见过的泊松符号定义式 $\{f,g\}$。也就是说，
光滑函数的泊松括号是其 1 形式的内积。
我们也可以用对偶表示这个 “内积”。也就是用 $\omega(*,dg)$ 导出与 $dg$ 同构的切场，然后再做类似 $g^{-1}(\xi,\tau)=\xi\widetilde g(\tau)=\xi_ig^{ij}\tau_{j}$ 的运算。
\begin{equation}
\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)=\mathrm df(X_g)=X_g(f)~.
\end{equation}
可以看到，$X_g(f)$ 展开后正是
式 9 。
光滑函数的演化可以用泊松括号来表示，即：
\begin{equation}
\frac{\mathrm df}{\mathrm dt}=\{f,H\}~,
\end{equation}
那么由
式 10 得：
\begin{equation}
\frac{\mathrm df}{\mathrm dt}=\mathrm df(X_H)=X_Hf=\mathcal L_{X_H}(f)~,
\end{equation}
也就是说，沿着哈密顿相流的李导数对光滑函数作用，可以得到光滑函数随时间演化的方程。