拓扑不变量（综述）

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　　 在拓扑学及其相关数学领域中，拓扑性质或拓扑不变量是指在同胚下保持不变的拓扑空间的某种性质。换句话说，拓扑性质是一个在同胚映射下封闭的拓扑空间的真类。也就是说，如果某个空间 $X$ 具有某一性质，那么所有与 $X$ 同胚的空间也都具有这一性质。通俗地说，拓扑性质就是能够用开集来描述的空间性质。

　　 在拓扑学中，一个常见的问题是判断两个拓扑空间是否同胚。为了证明两个空间不是同胚，只需找到一个它们不共有的拓扑性质即可。

1.

　　 一个性质 $P$ 可以具备以下特征：

• 遗传性,若对任意拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$ 及其子集 $S \subseteq X$，其子空间 $\bigl(S, \mathcal{T}|_S\bigr)$ 也具有性质 $P$。
• 弱遗传性,若对任意拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$ 及其闭子集 $S \subseteq X$，其子空间 $\bigl(S, \mathcal{T}|_S\bigr)$ 也具有性质 $P$。

2. 常见的拓扑性质

基数函数

• 空间 $X$ 的基数 $|X|$：指空间 $X$ 中点的数量。
• 空间 $X$ 的拓扑基数 $|\tau(X)|$：指该空间拓扑（即所有开集的集合）的基数。
• 权 $w(X)$：指空间 $X$ 的拓扑基的最小基数。
• 稠密度 $d(X)$：指空间 $X$ 的一个稠密子集的最小基数，即闭包等于 $X$ 的子集所含的最少点数。

分离性

　　 在较早的数学文献中，这些术语的定义有所不同；参见 “分离公理的历史”。

• $T_0$ 空间（Kolmogorov 空间）.若空间中任意两个不同的点 $x$ 和 $y$，至少存在一个开集包含其中一个点但不包含另一个点，则该空间是 Kolmogorov 空间。
• $T_1$ 空间（Fréchet 空间）.若空间中任意两个不同的点 $x$ 和 $y$，总可以找到一个开集包含 $x$ 但不包含 $y$（注意与 $T_0$ 空间的区别，这里可以指定是哪一个点位于开集中）。 等价地，若空间中每个单点集都是闭集，则该空间是 $T_1$ 空间。 所有 $T_1$ 空间都必然是 $T_0$ 空间。
• 清醒空间（Sober 空间）.若空间中的每个不可约闭集 $C$ 都有一个唯一的*泛点 $p$，则该空间是 Sober 空间。换句话说，如果闭集 $C$ 不能表示为两个非空闭集的并集（可以相交），那么必定存在某个点 $p$，使得 $\{p\}$ 的闭包正好是 $C$，且只有这个点 $p$ 具有这种性质。
• $T_2$ 空间（Hausdorff 空间）.若空间中任意两个不同的点都有**互不相交的邻域**，则该空间是 Hausdorff 空间。所有 $T_2$ 空间都必然是 $T_1$ 空间。
• $T_{2\frac{1}{2}}$ 空间（Urysohn 空间）.若空间中任意两个不同的点都有**互不相交的闭邻域**，则该空间是 Urysohn 空间。所有 $T_{2\frac{1}{2}}$ 空间都必然是 $T_2$ 空间。
• 完全 $T_2$ 空间（完全 Hausdorff 空间）.若空间中任意两个不同的点可以被某个函数分离，则该空间是完全 Hausdorff 空间。所有完全 Hausdorff 空间都是 Urysohn 空间。
• 正规空间（Regular 空间）.若空间中任意一个闭集 $C$ 和不在 $C$ 中的点 $p$，都存在互不相交的邻域分别包含 $C$ 和 $p$，则该空间是正规空间。
• $T_3$ 空间（正规 Hausdorff 空间，Regular Hausdorff）.如果一个空间既是正规空间又 $T_0$ 空间，那么它就是正规 Hausdorff 空间。（因为正规空间若且唯若是 $T_0$ 空间时才是 Hausdorff 空间，所以这种命名是一致的。）
• 完全正规空间. 如果对于任意闭集 $C$ 和一个不在 $C$ 中的点 $p$，存在某个函数能够分离 $C$ 和 $\{p\}$，则该空间是完全正规空间。
• $T_{3\frac{1}{2}}$ 空间（Tychonoff 空间，完全正规 Hausdorff 空间，Completely $T_3$ 空间）.如果一个空间既是完全正规空间又是 $T_0$ 空间，则该空间是 Tychonoff 空间。（因为完全正规空间若且唯若是 $T_0$ 空间时才是 Hausdorff 空间，所以这种命名是一致的。）所有 Tychonoff 空间都是正规 Hausdorff 空间。
• 正规空间.如果任意两个互不相交的闭集都有互不相交的邻域，则该空间是正规空间。正规空间允许进行单位分解。
• $T_4$ 空间（正规 Hausdorff 空间，Normal Hausdorff space）.一个正规空间若且唯若是 $T_1$ 空间时才是 Hausdorff 空间。所有正规 Hausdorff 空间必然是 Tychonoff 空间。
• 完全正规空间如果任意两个分离的集合都有互不相交的邻域，则该空间是**完全正规空间。
• $T_5$ 空间（完全正规 Hausdorff 空间，Completely normal Hausdorff space）.一个完全正规空间若且唯若是 $T_1$ 空间时才是 Hausdorff 空间。所有完全正规 Hausdorff 空间都是正规 Hausdorff 空间。
• 完全正规化空间.如果任意两个互不相交的闭集都能被某个函数精确分离**，则该空间是**完全正规化空间。完全正规化空间也必然是完全正规空间。
• $T_6$ 空间（完全正规 Hausdorff 空间，Perfectly normal Hausdorff space 或 完全 $T_4$ 空间）.果一个空间既是完全正规化空间又是 $T_1$ 空间，则它是完全正规 Hausdorff 空间。所有完全正规 Hausdorff 空间也必然是完全正规 Hausdorff 空间。
• 离散空间.如果空间中的每一个点都是完全孤立的，也就是说空间的任意子集都是开集，则该空间是离散空间。
• 孤立点的数量.指拓扑空间中孤立点的总数量。

可数性条件

• 可分空间.如果一个空间存在一个可数的稠密子集，则该空间是可分空间。
• 第一可数空间.如果空间中每个点都有一个可数的局部基，则该空间是第一可数空间。
• 第二可数空间.如果空间的拓扑存在一个可数的基，则该空间是第二可数空间。第二可数空间总是可分的、第一可数的，并且是 Lindelöf 空间。
• Lindelöf 空间.如果空间的任意开覆盖都有一个可数的子覆盖，则该空间是 Lindelöf 空间。
• σ-紧空间.如果一个空间可以表示为可数多个紧子空间的并集，则该空间是σ-紧空间。

连通性

• 连通空间.如果一个空间不能表示为两个不相交的非空开集的并集，则它是连通的。等价地，若空间中唯一既开又闭的子集（clopen 集）只有空集和空间本身，则该空间是连通的。 局部连通空间.如果空间中每个点都有一个由连通集组成的局部基，则该空间是局部连通的。
• 全不连通空间.如果一个空间没有包含多于一个点的连通子集，则该空间是全不连通的。
• 极端不连通空间.如果空间中的每个开集的闭包仍然是开集，则该空间是极端不连通的。
• 路径连通空间.若空间 $X$ 中任意两点 $x, y$ 之间都存在一条路径 $p$，即一个连续映射 $p: [0, 1] \to X,\quad p(0) = x,\; p(1) = y$ 则该空间是路径连通的。路径连通空间总是连通的。
• 局部路径连通空间.如果空间中每个点都有一个由路径连通集组成的局部基，则该空间是局部路径连通的。在局部路径连通空间中，连通性与路径连通性是等价的。
• 弧连通空间.若空间 $X$ 中任意两点 $x, y$ 之间都存在一条弧 $f$，即一个单射连续映射 $f: [0, 1] \to X,\quad f(0) = x,\; f(1) = y$ 则该空间是弧连通的。所有弧连通空间都是路径连通的。
• 单连通空间.如果空间 $X$ 是路径连通的，并且从单位圆 $S^1$ 到 $X$ 的任意连续映射 $f: S^1 \to X$ 都与常值映射同伦，则 $X$ 是单连通的。
• 局部单连通空间.如果空间 $X$ 中的每个点 $x$ 都有一个单连通的邻域基，则 $X$ 是局部单连通的。
• 半局部单连通空间.如果空间 $X$ 中每个点都有一个邻域基 $U$，使得 $U$ 内的任意闭合曲线在整个空间 $X$ 中是可缩的，则 $X$ 是半局部单连通的。半局部单连通性比局部单连通性更弱，但它是存在通用覆盖空间的必要条件。
• 可缩空间.如果空间 $X$ 上的恒等映射与某个常值映射是同伦的，则 $X$ 是可缩的。所有可缩空间都是单连通的。
• 超连通空间.如果空间中不存在两个互不相交的非空开集，则该空间是超连通的。所有超连通空间都是连通的。
• 极连通空间.如果空间中不存在两个互不相交的非空闭集，则该空间是极连通的。所有极连通空间都是路径连通的。
• 不分化空间或平凡拓扑空间.如果空间中唯一的开集只有空集和空间本身，则该空间是不分化空间，也称具有平凡拓扑的空间。

紧致性

• 紧致空间.如果一个空间的任意开覆盖都有有限子覆盖，则该空间是紧致的。一些作者称这种空间为 “准紧致”，并将 “紧致” 专用于 Hausdorff 空间中每个开覆盖都有有限子覆盖的情形。紧致空间总是 Lindelöf 且仿紧的，因此紧致 Hausdorff 空间必然是正规的。
• 序列紧致空间.如果空间中的每个序列都有一个收敛子列，则该空间是序列紧致的。
• 可数紧致空间.如果空间中的任意可数开覆盖都有一个有限子覆盖，则该空间是可数紧致的。
• 伪紧致空间.如果空间上的任意连续实值函数都是有界的，则该空间是伪紧致的。
• σ-紧空间.如果一个空间可以表示为可数多个紧致子集的并集，则该空间是σ-紧的。
• Lindelöf 空间.如果空间中的任意开覆盖都有一个可数的子覆盖，则该空间是 Lindelöf 空间。
• 仿紧空间.如果空间的任意开覆盖都有一个局部有限的开细化，则该空间是仿紧的。仿紧 Hausdorff 空间必然是正规的。
• 局部紧致空间.如果空间中的每个点都有一个由紧邻域组成的局部基，则该空间是局部紧致的。也有一些稍有不同的定义。局部紧致 Hausdorff 空间总是 Tychonoff 空间。
• 超连通紧致空间.在一个超连通紧致空间 $X$ 中，每个开覆盖都必须包含整个 $X$。非空的超连通紧致空间有一个称为单块的最大真开子集。

度量化

• 可度量化空间.如果一个空间同胚于某个度量空间，则该空间是可度量化的。可度量化空间总是 Hausdorff、仿紧（因此也是正规且 Tychonoff）、并且第一可数的。更具体地说，拓扑空间 $(X, T)$ 是可度量化的，当且仅当存在一个度量，使得由该度量生成的拓扑 $T(d)$ 与 $T$ 相同。
• Polish 空间.如果一个空间是可度量化的，并且其度量是可分且完备的，则该空间是 Polish 空间。
• 局部可度量化空间.如果空间中的每个点都有一个可度量化的邻域，则该空间是局部可度量化的。

杂项

• Baire 空间.空间 $X$ 若不是稀疏的，则称 $X$ 是 Baire 空间。等价地，若可数个稠密开集的交集仍然是稠密的，则 $X$ 是 Baire 空间。
• 门空间.如果一个拓扑空间的任意子集要么是开集，要么是闭集（或两者都是），则该空间是门空间。
• 拓扑齐性.空间 $X$ 若对任意两点 $x, y \in X$，存在一个同胚映射 $f: X \to X,\quad f(x) = y$ 则 $X$ 是齐性的。直观地说，这意味着空间在每个点看起来都是一样的。所有拓扑群都是齐性空间。
• 有限生成空间 / 亚历山德罗夫空间.空间 $X$ 若任意开集的交集仍然是开集（等价地，任意闭集的并仍然是闭集），则称为亚历山德罗夫空间。这些空间恰好是拓扑空间范畴中有限生成的对象。
• 零维空间.空间若有一个由既开又闭集组成的基，则是零维空间。这类空间的小归纳维数为 0。
• 几乎离散空间.空间若每个开集都是闭集（即 clopen），则是几乎离散空间。这类空间恰好是有限生成的零维空间。
• 布尔空间空间若是零维、紧致、Hausdorff 的（或等价地，全不连通、紧致 Hausdorff 的），则称为布尔空间。这类空间恰好是布尔代数的 Stone 空间的同胚对象。
• $\kappa$-可分解空间.空间若包含 $\kappa$ 个稠密子集，且这些子集两两不交（或 “几乎不交”，即仅在稠密度为零的理想下不交），则称该空间是 $\kappa$-可分解的。若空间不是 $\kappa$-可分解的，则称为 $\kappa$-不可分解的。
• 最大可分解空间空间 $X$ 若是 $\Delta(X)$-可分解的，则称 $X$ 是最大可分解空间。其中：$\Delta(X) = \min\{\,|G| : G \neq \varnothing, \, G \text{ 是开集}\,\}$,$\Delta(X)$ 被称为空间 $X$ 的弥散特征。
• 强离散集,若集合 $D \subseteq X$ 中的点可以由两两不交的邻域分开，则 $D$ 是强离散子集。如果空间 $X$ 中的每一个非孤立点都是某个强离散集的聚点，则该空间称为强离散空间。

3. 非拓扑性质

　　 有许多度量空间等结构上的性质并不是拓扑性质。要证明某个性质 $P$ 不是拓扑性质，只需找到两个同胚的拓扑空间 $X \cong Y$ 使得 $X$ 具有性质 $P$，而 $Y$ 不具有性质 $P$。

　　 例如，度量空间的有界性和完备性就不是拓扑性质。令：$X = \mathbb{R}$，$Y = \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$，二者都带有标准度量。通过同胚映射 $ \arctan: X \to Y$ 可知 $X \cong Y$。然而：$X$ 是完备的但不有界；$Y$ 是有界的但不完备。

4. 参见

• 特征类 – 将上同调类关联到主丛的结构
• 特征数 – 将上同调类关联到主丛的数值不变量
• 陈类 – 向量丛的特征类
• 欧拉示性数– 数学中的一种拓扑不变量
• 不动点性质– 一种数学性质
• 同调与上同调
• 同伦群与余同伦群
• 结不变量 – 对等价结取相同值的函数
• 链数– 描述三维空间中两条闭曲线相互缠绕程度的数值不变量
• 拓扑列表 – 各种具体拓扑与拓扑空间的列表
• 量子不变量 – 数学结理论中的一个概念
• 拓扑量子数 – 因拓扑量子效应而取离散值的物理量
• 绕数 – 平面上一条曲线绕某点的次数

5. 引文

1. Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). “Resolvability and monotone normality”. Israel Journal of Mathematics. 166 (1): 1–16. arXiv\:math/0609092. doi:10.1007/s11856-008-1017-y. ISSN 0021-2172. S2CID 14743623.

6. 参考文献

• Willard, Stephen (1970). *General topology*. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN 9780486434797.
• Munkres, James R. (2000). *Topology*. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  [2]Simon Moulieras, Maciej Lewenstein, and Graciana Puentes (2013). *Entanglement engineering and topological protection by discrete-time quantum walks*. *Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics* **46** (10), 104005. [https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf](https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf)