天津大学 2017 年考研量子力学

贡献者： Entanglement; addis

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1. 30 分

1. 氢原子处于基态 $\Psi (\gamma ,\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-\frac{r}{a_0}}$（10 分）
   (1)求势能 $-\frac{e^2}{\gamma }$ 的平均值。
   (2)求最概然半径。
   
2. 为何康普顿散射验证了光的粒子性。（10 分）
   
3. 三维空间转子的哈密顿量 $H=\frac{{\hat{L}}^2}{2I}$，其能级和相应的简并度是多少？平面转子的能级和简并度是多少？（10 分）
   

2. 30 分

　　 证明：

1. $\mathbf{r}\times \mathbf{L}+\mathbf{L}\times \mathbf{r}=2i\hslash \mathbf{r}$
2. $\mathbf{p}\times \mathbf{L}+\mathbf{L}\times \mathbf{p}=2i\hslash \mathbf{p}$

3. 30 分

　　 质量为 M 的粒子在如下势场中运动：当 $0<x<\frac{a}{2}$ 时，$V_{(x)}=0$；当 $\frac{a}{2}<x<a$ 时，$V_{(x)}=x$；当 $x\le 0$ 或 $x\ge a$ 时，$V_{(x)}=\mathrm{\infty }$，用微扰论求波函数到一级修正，能量至二级修正。

4. 30 分

　　 质量都是 $m$ 的两质点被一弹性系数为 $k$，原长为 $l_0$ 的轻质弹簧连在一起，整个系统可在一维空间自由运动，求这一系统的能级和波函数。

5. 30 分

　　 两粒子自旋都是 $\frac{1}{2}$，自旋算符分别为 ${\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}$，${\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}$，两粒子组成一个系统，哈密顿量 $H=a{S}_{1x}{S}_{2x}+a{S}_{1y}{S}_{2y}+b{S}_{1z}{S}_{2z}$。
(1)求体系的能级和波函数。
(2)若开始时第一个粒子自旋向上，第二个粒子自旋向下，求体系的状态。