天津大学 2016 年考研量子力学

             

贡献者: Entanglement; addis

1. 30 分

  1. 氢原子波函数为 $\varPsi (r,\theta,\varphi)=\sqrt{\frac{1}{A}}[\varPsi_{210}(r,\theta,\varphi)+\varPsi_{100}(r,\theta,\varphi)]$,写出主量子数 n,以及角动量的平方和第三分量的可能值与相对应的几率.
  2. 不计自旋,粒子在中心势场中运动的守恒量有哪些?
  3. 有两个不对易的厄米算符,判断下列是否为厄米算符?
    (1)$BA$
    (2)$AB+BA$
    (3)$AB-BA$
    (4)$ABA$
    (5)$i(AB-BA)$

2. 30 分

   已知谐振子初态的波函数为 $\varPsi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\varPsi_{0}(x)+\varPsi_{1}(x)]$,求任意时刻体系的波函数及 $x$ 的平均值.

3. 30 分

   已知粒子在 $U= \left\{\begin{aligned} & 0, \quad 0 < x < \frac{a}{2}\\ & U_{0}, \quad \frac{a}{2} < x < a\\ & \infty, \quad x < 0,x>a \end{aligned}\right. $ 中运动,用微扰法求波函数至一级修正,能量至二级修正.

4. 30 分

   质量为 $M$ 的粒子在边长为 $a$ 的三维势阱中运动,求体系的能级和波函数,并讨论能级的简并度.

5. 30 分

  1. 由三个粒子组成的自旋体系中,哈密顿量为 $\hat {H}=a\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2+a\vec{S}_2\cdot\vec{S}_3+a\vec{S}_3\cdot\vec{S}_1$,问自旋的平方是否为守恒量,并解释其结果.
  2. 已知中子自旋为 $\frac{1}{2}$,两个中子的相互作用为 $\hat {H}=g\vec{S}_1\vec{S}_2$,求 $\hat {H}$ 的本征值与本征函数,并解释本征值的简并度.

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