天津大学 2016 年考研量子力学

贡献者： Entanglement; addis

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1. 30 分

1. 氢原子波函数为 $\displaystyle \varPsi (r,\theta,\varphi)=\sqrt{\frac{1}{A}}[\varPsi_{210}(r,\theta,\varphi)+\varPsi_{100}(r,\theta,\varphi)]$，写出主量子数 n，以及角动量的平方和第三分量的可能值与相对应的几率。
2. 不计自旋，粒子在中心势场中运动的守恒量有哪些？
3. 有两个不对易的厄米算符，判断下列是否为厄米算符？
   (1)$BA$
   (2)$AB+BA$
   (3)$AB-BA$
   (4)$ABA$
   (5)$i(AB-BA)$

2. 30 分

　　 已知谐振子初态的波函数为 $\displaystyle \varPsi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\varPsi_{0}(x)+\varPsi_{1}(x)]$，求任意时刻体系的波函数及 $x$ 的平均值。

3. 30 分

　　 已知粒子在 $U= \left\{\begin{aligned} & 0, \quad 0< x< \frac{a}{2}\\ & U_{0}, \quad \frac{a}{2}< x< a\\ & \infty, \quad x<0,x>a \end{aligned}\right. $ 中运动，用微扰法求波函数至一级修正，能量至二级修正。

4. 30 分

　　 质量为 $M$ 的粒子在边长为 $a$ 的三维势阱中运动，求体系的能级和波函数，并讨论能级的简并度。

5. 30 分

1. 由三个粒子组成的自旋体系中，哈密顿量为 $\hat {H}=a \boldsymbol{\mathbf{S}} _1\cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} _2+a \boldsymbol{\mathbf{S}} _2\cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} _3+a \boldsymbol{\mathbf{S}} _3\cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} _1$，问自旋的平方是否为守恒量，并解释其结果。
2. 已知中子自旋为 $\frac{1}{2}$，两个中子的相互作用为 $\hat {H}=g \boldsymbol{\mathbf{S}} _1 \boldsymbol{\mathbf{S}} _2$，求 $\hat {H}$ 的本征值与本征函数，并解释本征值的简并度。