斯托克斯定理（综述）

                     

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　　 本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。

　　 斯托克斯定理（Stokes' theorem），[1] 也称为开尔文–斯托克斯定理（Kelvin–Stokes theorem），以开尔文勋爵和乔治·斯托克斯命名，[2][3] 或称为旋度的基本定理（the fundamental theorem for curls）或简单地称为旋度定理（the curl theorem），[4] 是矢量微积分中在三维欧几里得空间（\(\mathbb{R}^3\)）中的一个定理。对于给定的一个向量场，该定理将向量场旋度在某个曲面上的积分与向量场在该曲面边界上的线积分联系起来。斯托克斯定理的经典形式可以用一句话表述为：

　　 一个向量场沿闭合曲线的线积分等于该曲线所包围的曲面上的旋度的曲面积分。

　　 斯托克斯定理是广义斯托克斯定理的一个特例。[5][6] 特别是，在三维空间（\(\mathbb{R}^3\)）中的一个向量场可以视为一个 1-形式（1-form），在这种情况下，其旋度是其外微分（exterior derivative），即一个 2-形式（2-form）。

1. 定理

图
图 1：斯托克斯定理的示意图，包括曲面 \(\Sigma\)、其边界 \(\partial\Sigma\) 和法向量 \(n\)。边界曲线 \(\partial\Sigma\) 的正向循环方向与曲面 \(\Sigma\) 的正向通量方向 \(n\) 通过右手定则相联系（即，右手的手指沿 \(\partial\Sigma\) 的循环方向，拇指指向 \(n\) 的方向）。

　　 设 \(\Sigma\) 是三维欧几里得空间 (\(\mathbb{R}^3\)) 中的一个光滑有向曲面，其边界为 \(\partial \Sigma \equiv \Gamma\)。如果在包含 \(\Sigma\) 的区域内定义了一个向量场 \[ \mathbf{F}(x, y, z) = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z)),~ \] 并且该向量场的一阶偏导数是连续的，那么： \[ \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Gamma}.~ \] 更明确地，这个等式可以表示为： \[ \iint_{\Sigma} \left( \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \right) = \oint_{\partial \Sigma} \left( F_x \, \mathrm{d}x + F_y \, \mathrm{d}y + F_z \, \mathrm{d}z \right).~ \] 例如，像科赫雪花（Koch snowflake）这样的曲面，是众所周知的无法展现出黎曼可积的边界，而在勒贝格理论中，非 Lipschitz 曲面无法定义曲面积的概念。一种（高级）方法是采用弱形式化，并应用几何测度论的工具；有关这种方法，请参阅共面积公式（coarea formula）。在本文中，我们采用更基础的定义，这基于这样的事实：对于 \(\mathbb{R}^2\) 中全维度子集，可以明确识别其边界。

　　 一个更详细的描述将在后续讨论中给出。设 \(\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^2\) 是一个分段光滑的约旦平面曲线。约旦曲线定理表明，\(\gamma\) 将 \(\mathbb{R}^2\) 分成两个部分，一个是紧致的，另一个是非紧致的。设 \(D\) 表示紧致部分，则 \(D\) 的边界为 \(\gamma\)。现在，我们需要将这种边界的概念通过一个连续映射转移到三维欧几里得空间 (\(\mathbb{R}^3\)) 的曲面上。而这种映射已经存在：\(\Sigma\) 的参数化。

　　 假设 \(\psi : D \to \mathbb{R}^3\) 是在 \(D\) 的邻域中分段光滑的，且 \(\Sigma = \psi(D)\)。如果 \(\Gamma\) 是由以下方式定义的空间曲线：\(\Gamma(t) = \psi(\gamma(t))\) 那么我们称 \(\Gamma\) 为 \(\Sigma\) 的边界，记作 \(\partial \Sigma\)。

　　 根据上述记号，如果 \(\mathbf{F}\) 是三维欧几里得空间 (\(\mathbb{R}^3\)) 中的任意光滑向量场，那么[7][8]： \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Gamma} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma}.~ \] 其中，符号 “\(\cdot\)” 表示 \(\mathbb{R}^3\) 中的点积。

更一般定理的特殊情况

　　 斯托克斯定理可以看作以下恒等式的一个特殊情况：[9] \[ \oint_{\partial \Sigma} (\mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Gamma}) \, \mathbf{g} = \iint_{\Sigma} \left[ \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{F} - \mathbf{F} \times \nabla \right) \right] \mathbf{g},~ \] 其中，\(\mathbf{g}\) 是三维欧几里得空间 (\(\mathbb{R}^3\)) 中的任意光滑向量场或标量场。当 \(\mathbf{g}\) 是一个均匀的标量场时，标准的斯托克斯定理就得到了恢复。

2. 证明

　　 该定理的证明分为四个步骤。我们假设格林定理成立，因此所关注的是如何将三维的复杂问题（斯托克斯定理）简化为二维的基本问题（格林定理）。[10] 在证明该定理时，数学家通常将其作为一个更一般结果的特殊情况进行推导，该一般结果使用微分形式表述，并通过更复杂的数学工具证明。虽然这些技术非常强大，但它们需要较高的背景知识，因此以下的证明避开了这些复杂方法，不要求超出基础向量微积分和线性代数的知识。[8]

　　 在本节最后，还给出了斯托克斯定理的一个简短的替代证明，作为广义斯托克斯定理的推论。

初等证明

　　 第一步：积分的参数化

　　 如 “§ 定理” 部分中所述，通过对曲面使用自然参数化，我们将问题的维度降低。设 \(\psi\) 和 \(\gamma\) 如前所述，并注意到通过变量替换： \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Gamma} = \oint_{\gamma} \mathbf{F}(\psi(\gamma)) \cdot \mathrm{d} \psi(\gamma) = \oint_{\gamma} \mathbf{F}(\psi(\mathbf{y})) \cdot J_{\mathbf{y}}(\psi) \, \mathrm{d} \gamma,~ \] 其中 \(J_{\mathbf{y}}(\psi)\) 表示 \(\psi\) 在 \(\mathbf{y} = \gamma(t)\) 处的雅可比矩阵。

　　 现在，设 \(\{ \mathbf{e}_u, \mathbf{e}_v \}\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 坐标方向上的一个正交归一基。[注 3]

　　 注意到 \(J_{\mathbf{y}}(\psi)\) 的列恰好是 \(\psi\) 在 \(\mathbf{y}\) 处的偏导数，可以将上述方程在坐标形式下展开为：

　　 \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Gamma} = \oint_{\gamma} \mathbf{F}(\psi(\mathbf{y})) J_{\mathbf{y}}(\psi) \mathbf{e}_u (\mathbf{e}_u \cdot \mathrm{d} \mathbf{y}) + \mathbf{F}(\psi(\mathbf{y})) J_{\mathbf{y}}(\psi) \mathbf{e}_v (\mathbf{e}_v \cdot \mathrm{d} \mathbf{y}),~ \] \[ =\oint_{\gamma} \left( \left( \mathbf{F}(\psi(\mathbf{y})) \cdot \frac{\partial \psi}{\partial u}(\mathbf{y}) \right) \mathbf{e}_u + \left( \mathbf{F}(\psi(\mathbf{y})) \cdot \frac{\partial \psi}{\partial v}(\mathbf{y}) \right) \mathbf{e}_v \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{y}.~ \] 初等证明的第二步（定义拉回）

　　 前一步建议我们定义以下函数：

　　 \[ \mathbf{P}(u, v) = \left( \mathbf{F}(\psi(u, v)) \cdot \frac{\partial {\psi}}{\partial u}(u, v) \right) \mathbf{e}_u + \left( \mathbf{F}(\psi(u, v)) \cdot \frac{\partial \psi}{\partial v}(u, v) \right) \mathbf{e}_v~ \] 现在，如果标量函数 \(P_u\) 和 \(P_v\) 定义如下： \[ P_u(u, v) = \left( \mathbf{F}(\psi(u, v)) \cdot \frac{\partial \psi}{\partial u}(u, v) \right),~ \] \[ P_v(u, v) = \left( \mathbf{F}(\psi(u, v)) \cdot \frac{\partial \psi}{\partial v}(u, v) \right),~ \] 那么： \[ \mathbf{P}(u, v) = P_u(u, v) \mathbf{e}_u + P_v(u, v) \mathbf{e}_v.~ \] 这是沿着参数化映射 \(\psi\) 对 \(\mathbf{F}\) 的拉回（pullback）。根据上述关系，它满足以下等式： \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \oint_{\gamma} \mathbf{P}(\mathbf{y}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \oint_{\gamma} \left( P_u(u, v) \mathbf{e}_u + P_v(u, v) \mathbf{e}_v \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}.~ \] 我们已经成功地将斯托克斯定理的一边简化为一个二维公式；接下来我们处理定理的另一边。

　　 初等证明的第三步（第二个方程）

　　 首先，利用乘积法则计算出出现在格林定理中的偏导数： \[ \frac{\partial P_u}{\partial v} = \frac{\partial (\mathbf{F} \circ \psi)}{\partial v} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial u} + (\mathbf{F} \circ \psi) \cdot \frac{\partial^2 \psi}{\partial v \partial u},~ \] \[ \frac{\partial P_v}{\partial u} = \frac{\partial (\mathbf{F} \circ \psi)}{\partial u} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial v} + (\mathbf{F} \circ \psi) \cdot \frac{\partial^2 \psi}{\partial u \partial v}.~ \] 巧妙地，第二项在差分中消失了，这是因为混合偏导数相等。因此：[注 4] \[ \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} = \frac{\partial (\mathbf{F} \circ \psi)}{\partial u} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial v} - \frac{\partial (\mathbf{F} \circ \psi)}{\partial v} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial u}~ \] \[ = \frac{\partial \psi}{\partial v} \cdot (J_{\psi(u, v)} \mathbf{F}) \frac{\partial \psi}{\partial u} - \frac{\partial \psi}{\partial u} \cdot (J_{\psi(u, v)} \mathbf{F}) \frac{\partial \psi}{\partial v} \quad \text{（链式法则）}~ \] \[ = \frac{\partial \psi}{\partial v} \cdot \left( J_{\psi(u, v)} \mathbf{F} - (J_{\psi(u, v)} \mathbf{F})^{\mathsf{T}} \right) \frac{\partial \psi}{\partial u}.~ \] 但是现在考虑这个二次形式中的矩阵，即：\(J_{\\psi(u, v)} \mathbf{F} - (J_{\psi(u, v)} \mathbf{F})^{\mathsf{T}}\).我们声称，这个矩阵实际上描述了一个叉乘（cross product）。这里，上标 \({}^{\mathsf{T}}\) 表示矩阵的转置。

　　 更具体地，设 \(A = (A_{ij})_{ij}\) 是一个任意的 \(3 \times 3\) 矩阵，并设 \[ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{32} - A_{23} \\ A_{13} - A_{31} \\ A_{21} - A_{12} \end{bmatrix}.~ \] 注意到映射 \(x \mapsto \mathbf{a} \times x\) 是线性的，因此可以通过其在基向量上的作用来唯一确定。通过直接计算可以得到： \[ (A - A^{\mathsf{T}}) \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ a_3 \\ -a_2 \end{bmatrix} = \mathbf{a} \times \mathbf{e}_1,~ \] \[ (A - A^{\mathsf{T}}) \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} -a_3 \\ 0 \\ a_1 \end{bmatrix} = \mathbf{a} \times \mathbf{e}_2,~ \] \[ (A - A^{\mathsf{T}}) \mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} a_2 \\ -a_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{a} \times \mathbf{e}_3.~ \] 这里，\(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}\) 表示 \(\mathbb{R}^3\) 中坐标方向上的一个正交归一基。[注 5]

　　 因此，对于任意的 \(\mathbf{x}\)，都有：\((A - A^{\mathsf{T}}) \mathbf{x} = \mathbf{a} \times \mathbf{x}.\)

　　 将 \((J_{\psi(u, v)} \mathbf{F})\) 替换为 \(A\)，我们得到： \[ \left( (J_{\psi(u, v)} \mathbf{F}) - (J_{\psi(u, v)} \mathbf{F})^{\mathsf{T}} \right) \mathbf{x} = (\nabla \times \mathbf{F}) \times \mathbf{x}, \quad \text{对于所有 } \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3.~ \] 现在我们可以将偏导数的差识别为一个（标量）三重积： \[ \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} = \frac{\partial \psi}{\partial v} \cdot \left( (\nabla \times \mathbf{F}) \times \frac{\partial \psi}{\partial u} \right) = (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \left( \frac{\partial \psi}{\partial u} \times \frac{\partial \psi}{\partial v} \right).~ \] 另一方面，曲面积分的定义也包括了一个三重积——完全相同的三重积： \[ \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} = \iint_{D} \left[ (\nabla \times \mathbf{F})(\psi(u, v)) \cdot \left( \frac{\partial \psi}{\partial u}(u, v) \times \frac{\partial \psi}{\partial v}(u, v) \right) \right] \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v.~ \] 因此，我们得到： \[ \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} = \iint_{D} \left( \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} \right) \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v.~ \]

　　 初等证明的第四步（化归到格林定理）

　　 结合第二步和第三步的结论，然后应用格林定理即可完成证明。格林定理表明：对于由约旦闭曲线 \(\gamma\) 所围的任意区域 \(D\)，以及定义在 \(D\) 上的两个标量值光滑函数 \(P_u(u, v)\) 和 \(P_v(u, v)\)，有以下关系：

　　 \[ \oint_{\gamma} \left( P_u(u, v) \mathbf{e}_u + P_v(u, v) \mathbf{e}_v \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \iint_{D} \left( \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} \right) \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v.~ \]

通过微分形式的证明

　　 函数 \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) 可以通过以下映射与 \(\mathbb{R}^3\) 上的微分 1-形式对应： \[ F_x \mathbf{e}_1 + F_y \mathbf{e}_2 + F_z \mathbf{e}_3 \mapsto F_x \, \mathrm{d}x + F_y \, \mathrm{d}y + F_z \, \mathrm{d}z~ \]

　　 将与函数 \(\mathbf{F}\) 相关联的微分 1-形式记作 \(\omega_{\mathbf{F}}\)。然后可以计算出： \[ \star \omega_{\nabla \times \mathbf{F}} = \mathrm{d} \omega_{\mathbf{F}}~ \] 其中 \(\star\) 是 Hodge 星算子，\(\mathrm{d}\) 是外微分算子。因此，根据广义斯托克斯定理，[11] \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\gamma} = \oint_{\partial \Sigma} \omega_{\mathbf{F}} = \int_{\Sigma} \mathrm{d} \omega_{\mathbf{F}} = \int_{\Sigma} \star \omega_{\nabla \times \mathbf{F}} = \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma}~ \]

3. 应用

无旋场

　　 在本节中，我们将基于斯托克斯定理讨论无旋场（也称为层流向量场）。

　　 定义 2-1（无旋场）在一个开集 \(U \subseteq \mathbb{R}^3\) 上的光滑向量场 \(\mathbf{F}\) 是无旋的（即层流向量场），如果 \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\)。

　　 这一概念在力学中非常基础；正如我们稍后将证明的，如果 \(\mathbf{F}\) 是无旋场，并且 \(\mathbf{F}\) 的定义域是单连通的，那么 \(\mathbf{F}\) 是一个保守向量场。

亥姆霍兹定理

　　 在本节中，我们将介绍一个从斯托克斯定理推导而来的定理，该定理描述了无涡向量场的特性。在经典力学和流体动力学中，这一定理被称为亥姆霍兹定理。

　　 定理 2-1（流体动力学中的亥姆霍兹定理） [5][3]: 142 设 \(U \subseteq \mathbb{R}^3\) 是一个开集，且其中的向量场 \(\mathbf{F}\) 是无旋场（即层流向量场）。设 \(c_0, c_1: [0, 1] \to U\) 是分段光滑的闭合曲线。如果存在一个函数 \(H: [0, 1] \times [0, 1] \to U\) 满足以下条件：

　　 那么： \[ \int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0 = \int_{c_1} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_1~ \] 一些教材（如 Lawrence [5]）将定理 2-1 中 \(c_0\) 和 \(c_1\) 之间的关系称为 “同伦”（homotopic），并将函数 \(H: [0, 1] \times [0, 1] \to U\) 称为 “\(c_0\) 和 \(c_1\) 之间的同伦”（homotopy between \(c_0\) and \(c_1\)）。然而，这里提到的 “同伦” 或 “同伦函数” 比典型定义的 “同伦” 或 “同伦函数” 更强，后者省略了条件 [TLH3]。因此，从现在起，我们将定理 2-1 中的 “同伦” 称为 “管状同伦”（tubular homotopy），并将其对应的 “同伦” 曲线称为 “管状同伦曲线”（tubular-homotopic）。[注 6]

　　 亥姆霍兹定理的证明

　　 在接下来的内容中，我们稍作符号滥用，用符号 \(\oplus\) 表示基本群体中的路径连接，用符号 \(\ominus\) 表示路径方向的反转。

　　 令 \(D = [0, 1] \times [0, 1]\)，并将其边界 \(\partial D\) 分为四段线段 \(\gamma_i\)： \[ \begin{aligned} \gamma_1: [0, 1] \to D; &\quad \gamma_1(t) = (t, 0), \\ \gamma_2: [0, 1] \to D; &\quad \gamma_2(s) = (1, s), \\ \gamma_3: [0, 1] \to D; &\quad \gamma_3(t) = (1 - t, 1), \\ \gamma_4: [0, 1] \to D; &\quad \gamma_4(s) = (0, 1 - s), \end{aligned}~ \] 使得： \[ \partial D = \gamma_1 \oplus \gamma_2 \oplus \gamma_3 \oplus \gamma_4~ \] 根据假设 \(c_0\) 和 \(c_1\) 是分段光滑同伦的，存在一个分段光滑的同伦映射 \(H: D \to M\)，使得：

　　 \[ \Gamma_i(t) = H(\gamma_i(t)), \quad i = 1, 2, 3, 4,~ \] \[ \Gamma(t) = H(\gamma(t)) = (\Gamma_1 \oplus \Gamma_2 \oplus \Gamma_3 \oplus \Gamma_4)(t)~ \] 令 \(S\) 是 \(D\) 在 \(H\) 映射下的像。根据斯托克斯定理，有： \[ \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \, \mathrm{d}S = \oint_\Gamma \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma~ \] 因为 \(\mathbf{F}\) 是层流向量场（无旋场），所以左侧为零，即： \[ 0 = \oint_\Gamma \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma = \sum_{i=1}^{4} \oint_{\Gamma_i} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma~ \] 由于 \(H\) 是管状同伦（满足 [TLH3]），我们有： \[ \Gamma_2 = \ominus \Gamma_4,~ \] 因此，沿 \(\Gamma_2(s)\) 和 \(\Gamma_4(s)\) 的线积分相互抵消，剩下： \[ 0 = \oint_{\Gamma_1} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma + \oint_{\Gamma_3} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma~ \] 另一方面，由于 \(c_1 = \Gamma_1\)，且 \(c_0 = \ominus \Gamma_3\)，所需的等式几乎立即得出。

保守力

　　 上述亥姆霍兹定理解释了为什么保守力在改变物体位置时所做的功是路径无关的。首先，我们引入引理 2-2，这是亥姆霍兹定理的推论和一个特殊情况。

　　 引理 2-2 [5][6]设 \(U \subseteq \mathbb{R}^3\) 是一个开子集，\(\mathbf{F}\) 是 \(U\) 上的一个层流向量场（无旋场），且 \(c_0: [0, 1] \to U\) 是一个分段光滑的闭合路径。固定一点 \(p \in U\)，如果存在一个同伦 \(H: [0, 1] \times [0, 1] \to U\)，满足以下条件：

　　 那么： \[ \int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0 = 0~ \] 上述引理 2-2 可以从定理 2-1 推导而来。在引理 2-2 中，存在满足 [SC0] 到 [SC3] 的 \(H\) 是关键问题；问题是对于任意的闭合路径是否都能找到这样的同伦。如果 \(U\) 是单连通的，那么这样的 \(H\) 存在。单连通空间的定义如下：

　　 定义 2-2（单连通空间）[5][6] 设 \(M \subseteq \mathbb{R}^n\) 是非空且路径连通的。如果对于 \(M\) 中的任意连续闭合路径 \(c: [0, 1] \to M\)，存在一个从 \(c\) 到某个固定点 \(p \in c\) 的连续管状同伦 \(H: [0, 1] \times [0, 1] \to M\)，并且满足以下条件：

　　 那么 \(M\) 被称为单连通的。

　　 “对于保守力，改变物体位置所做的功与路径无关” 这一结论，似乎可以直接从 \(M\) 是单连通的这一条件推导出来。然而，需要注意的是，单连通性只保证存在满足 [SC1–3] 的连续同伦；我们实际上需要一个分段光滑同伦来满足这些条件。

　　 幸运的是，这种正则性的问题可以通过惠特尼逼近定理（Whitney's Approximation Theorem）解决。[6]: 136, 421 [12]。换句话说，高等数学的引入消除了找到连续同伦但无法在其上进行积分的可能性。因此，我们可以得到以下定理：

　　 定理 2-2[5][6]设 \(U \subseteq \mathbb{R}^3\) 是开集且单连通的，且向量场 \(\mathbf{F}\) 是无旋的（即层流向量场）。对于 \(U\) 中的所有分段光滑闭合路径 \(c: [0, 1] \to U\)，有： \[ \int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0 = 0~ \]

麦克斯韦方程组

　　 在电磁学物理学中，斯托克斯定理为麦克斯韦-法拉第方程和麦克斯韦-安培方程的微分形式与积分形式的等价性提供了理论依据。

　　 对于法拉第定律，斯托克斯定理应用于电场 \(\mathbf{E}\)： \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} l = \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}.~ \] 对于安培定律，斯托克斯定理应用于磁场 \(\mathbf{B}\)： \[ \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} l = \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}.~ \]

4. 注释

  1. \(\Sigma = \psi(D)\) 表示 \(\psi\) 映射下集合 \(D\) 的像。
  2. 如果路径 \(\gamma\) 与映射 \(\psi\) 不够匹配，则 \(\Gamma\) 可能不是一个 Jordan 曲线。然而，\(\Gamma\) 始终是一个闭合路径，并且从拓扑学角度来看，它是可数多个 Jordan 曲线的连通和，因此积分是良定义的。
  3. 在本文中： \[ \mathbf{e}_u = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_v = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}~ \] 请注意，在某些向量分析教材中，这些符号可能指代不同的对象。例如，在某些教材中，\(\{\mathbf{e}_u, \mathbf{e}_v\}\) 分别表示 \(\{\mathbf{t}_u, \mathbf{t}_v\}\)。然而，在本文中，这两个概念是完全不同的。
  4. 对于本文： \[ \mathbf{t}_u = \frac{1}{h_u} \frac{\partial \varphi}{\partial u}, \quad \mathbf{t}_v = \frac{1}{h_v} \frac{\partial \varphi}{\partial v},~ \] 其中： \[ h_u = \left\| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \right\|, \quad h_v = \left\| \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right\|,~ \] 并且符号 \(\|\cdot\|\) 表示欧几里得范数。
  5. 对于所有 \(\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\)，对于所有 \(A; n \times n\) 的方阵：\(\mathbf{a} \cdot A \mathbf{b} = \mathbf{a}^\mathsf{T} A \mathbf{b}\) 因此：\(\mathbf{a} \cdot A \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot A^\mathsf{T} \mathbf{a}\)
  6. 在本文中： \[ \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}~ \] 请注意，在某些向量分析教材中，这些符号可能指代不同的对象。
  7. 确实存在一些教材在定理 2-1 的意义上使用 “同伦”（homotopy）和 “同伦的”（homotopic）的术语。[5] 这种用法在讨论保守力的特定问题时非常方便。然而，这两种同伦的用法都足够常见，因此需要某种术语来消除歧义。本文中采用的术语 “管状同伦”（tubular homotopy）很好地达到了这一目的。

5. 参考文献

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