泡利矩阵（综述）

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　　本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。

图 1：沃尔夫冈·泡利（1900–1958），约摄于 1924 年。泡利因提出泡利不相容原理而在 1945 年获颁诺贝尔物理学奖，提名人是阿尔伯特·爱因斯坦。

　　在数学物理和数学中，泡利矩阵是一组三个 $2\times2$ 的复矩阵，它们具有迹为零、厄米特、自反和酉的性质。这些矩阵通常用希腊字母 $\sigma$（σ）表示，在涉及同位旋对称性时，有时也用 $\tau$（τ）表示。 $$ \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.~ $$ 这些矩阵因物理学家沃尔夫冈·泡利而得名。在量子力学中，它们出现在泡利方程中，用于描述粒子的自旋与外部电磁场相互作用的情况。它们还可以用来表示两种偏振滤光片的相互作用状态，例如水平/垂直偏振、45 度偏振（左/右）以及圆偏振（左/右）的状态。

　　每个泡利矩阵都是厄米特矩阵。再加上单位矩阵 $I$（有时被视为第零个泡利矩阵 $\sigma_0$），这些矩阵在实数加法下构成了所有 $2 \times 2$ 厄米特矩阵的向量空间的基。这意味着，任何 $2 \times 2$ 厄米特矩阵都可以唯一地写成泡利矩阵的实数线性组合。

　　泡利矩阵满足以下有用的乘积关系： $$ \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} + i \, \epsilon_{ijk} \, \sigma_k,~ $$ 其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 δ，$\epsilon_{ijk}$ 是三阶 Levi-Civita 符号。由于厄米特算符在量子力学中表示可观测量，因此泡利矩阵张成了复二维希尔伯特空间中所有可观测量的空间。在泡利的研究语境中，$\sigma_k$ 表示三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中沿第 $k$ 个坐标轴方向的自旋对应的可观测量。

　　此外，当泡利矩阵乘以 $i$ 使之成为反厄米特矩阵后，它们还可以生成李代数意义下的变换：矩阵 $i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3$ 构成了实李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的基，并通过指数映射生成特殊酉群 $SU(2)$。由三个位移矩阵 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 所生成的代数同构于 $\mathbb{R}^3$ 的克利福德代数；而由 $i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3$ 生成的带幺结合代数则与四元数代数 $\mathbb{H}$ 完全同构。

1. 代数性质

　　所有三个位相矩阵都可以压缩成一个表达式： $$ \sigma_j = \begin{pmatrix} \delta_{j3} & \delta_{j1} - i\delta_{j2} \\ \delta_{j1} + i\delta_{j2} & -\delta_{j3} \end{pmatrix},~ $$ 其中，$\delta_{jk}$ 是克罗内克δ函数，当 $j = k$ 时取值为 $+1$，否则为 $0$。这个表达式的好处在于，可以通过代入 $j = 1, 2, 3$ 来 “选择” 三个位相矩阵中的任意一个，这在需要进行代数推导但不针对某个具体矩阵时非常实用。

　　这些矩阵具有自反性： $$ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\,\sigma_1\sigma_2\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I,~ $$ 其中 $I$ 是单位矩阵。

　　位相矩阵的行列式和迹为： $$ \det(\sigma_j) = -1, \quad \operatorname{tr}(\sigma_j) = 0,~ $$ 由此可知，每个矩阵 $\sigma_j$ 的特征值为 $+1$ 和 $-1$。

　　当将单位矩阵 $I$（有时记作 $\sigma_0$）包括在内时，位相矩阵与 $I$ 一起构成：实数域 $\mathbb{R}$ 上 $2 \times 2$ 厄米矩阵空间 $\mathcal{H}_2$ 的一个 Hilbert–Schmidt 正交基；复数域 $\mathbb{C}$ 上所有 $2 \times 2$ 矩阵空间 $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C})$ 的一个正交基。

对易与反对易关系

　　 对易关系

　　保利矩阵满足如下对易关系： $$ [\sigma_j, \sigma_k] = 2i \, \varepsilon_{jkl} \, \sigma_l,~ $$ 其中 $\varepsilon_{jkl}$ 是 Levi-Civita 符号。

　　这些对易关系表明，保利矩阵是以下李代数表示的生成元： $$ (\mathbb{R}^3, \times) \;\cong\; \mathfrak{su}(2) \;\cong\; \mathfrak{so}(3),~ $$ 即它们与三维实数空间 $\mathbb{R}^3$ 的叉积代数、$\mathfrak{su}(2)$ 李代数和 $\mathfrak{so}(3)$ 李代数互相同构。

　　 反对易关系

　　保利矩阵还满足以下反对易关系： $$ \{\sigma_j, \sigma_k\} = 2 \delta_{jk} I,~ $$ 其中，$\{\sigma_j, \sigma_k\}$ 定义为：$\sigma_j \sigma_k + \sigma_k \sigma_j$,$\delta_{jk}$ 是 Kronecker δ 符号，$I$ 表示 $2 \times 2$ 单位矩阵。

　　这些反对易关系说明，保利矩阵是三维实空间 $\mathbb{R}^3$Clifford 代数 $\mathrm{Cl}_3(\mathbb{R})$ 的一个表示的生成元。

　　利用 Clifford 代数的常规构造方式，可以定义 $\mathfrak{so}(3)$ 李代数的生成元：$\sigma_{jk} = \tfrac{1}{4}[\sigma_j, \sigma_k]$,从而重新得到上文的对易关系（仅相差一个数值因子）。

　　下面给出一些显式的对易子和反对易子的示例：

图 2

特征向量与特征值

　　每一个（厄米的）泡利矩阵都有两个特征值：$+1$ 和 $-1$。相应的归一化特征向量为： $$ \psi_{x+} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \psi_{x-} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix},~ $$ $$ \psi_{y+} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ i \end{bmatrix}, \quad \psi_{y-} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ -i \end{bmatrix},~ $$ $$ \psi_{z+} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad \psi_{z-} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}.~ $$

2. 泡利向量

　　泡利向量定义为 $^\text{[b]}$： $$ \vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x}_1 + \sigma_2 \hat{x}_2 + \sigma_3 \hat{x}_3,~ $$ 其中 $\hat{x}_1$、$\hat{x}_2$、$\hat{x}_3$ 分别是更常见的 $\hat{x}$、$\hat{y}$、$\hat{z}$ 的等价记法。

　　泡利向量提供了一种将三维向量基底映射到泡利矩阵基底的机制 $^\text{[2]}$，如下所示： $$ \vec{a} \cdot \vec{\sigma} = \sum_{k, l} a_k \sigma_\ell (\hat{x}_k \cdot \hat{x}_\ell) = \sum_k a_k \sigma_k = \begin{pmatrix} a_3 & a_1 - i a_2 \\ a_1 + i a_2 & -a_3 \end{pmatrix}.~ $$ 更正式地说，该映射定义了从 $\mathbb{R}^3$ 到迹为零的厄米 $2\times 2$ 矩阵向量空间的映射。该映射通过矩阵函数编码了 $\mathbb{R}^3$ 作为赋范向量空间和李代数（其中向量叉乘作为李括号）的结构，使得该映射成为一个李代数同构。从表示论的角度看，泡利矩阵因此可视为交织算子。

　　另一种视角下，泡利向量也可以看作是一个值为 $2\times 2$ 厄米迹为零矩阵的对偶向量，即：$\text{Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \otimes (\mathbb{R}^3)^*$, 它将向量 $\vec{a}$ 映射为：$\vec{a} \mapsto \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$.

完备性关系

　　向量 $\vec{a}$ 的每一个分量都可以从矩阵中恢复出来（见下方的完备性关系）： $$ \frac{1}{2} \operatorname{tr} \bigl( (\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) \vec{\sigma} \bigr) = \vec{a}.~ $$ 这实际上是映射 $\vec{a} \;\mapsto\; \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ 的逆映射，从而明确表明该映射是一个双射。

行列式

　　范数可以通过行列式（差一个负号）给出： $$ \det(\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = -\vec{a} \cdot \vec{a} = -|\vec{a}|^2.~ $$ 接着，考虑一个 $SU(2)$ 矩阵 $U$ 在这类矩阵空间上的共轭作用： $$ U * (\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) := U\,(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})\,U^{-1},~ $$ 我们可以得到：$\det(U * (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})) = \det(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})$,并且 $U * (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})$ 仍然是厄米且无迹的。因此我们可以定义：$U * (\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a}' \cdot \vec{\sigma}$,其中，$\vec{a}'$ 与 $\vec{a}$ 具有相同的范数，于是我们可以把 $U$ 解释为三维空间中的一次旋转。事实上，矩阵 $U$ 的特殊限制还意味着该旋转是保持方向的。这就允许我们定义一个映射：$R: \mathrm{SU}(2) \;\longrightarrow\; \mathrm{SO}(3)$ 其具体形式为： $$ U * (\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a}' \cdot \vec{\sigma} := (R(U)\,\vec{a}) \cdot \vec{\sigma},~ $$ 其中 $R(U) \in \mathrm{SO}(3)$。这个映射就是 $\mathrm{SU}(2)$ 对 $\mathrm{SO}(3)$ 的双覆盖的具体实现，因此说明了：$\mathrm{SU}(2) \;\cong\; \mathrm{Spin}(3)$.此外，$R(U)$ 的各个分量可以通过如下迹运算恢复出来： $$ R(U)_{ij} = \frac{1}{2} \operatorname{tr}(\sigma_i U \sigma_j U^{-1})~ $$

叉积

　　叉积可以由矩阵对易子（差一个 $2i$ 的因子）表示： $$ [\vec{a} \cdot \vec{\sigma},\; \vec{b} \cdot \vec{\sigma}] = 2i\,(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{\sigma}.~ $$ 实际上，范数的存在源于 $\mathbb{R}^3$ 本身是一个李代数（参见 Killing 型）。

　　这种叉积还可以用于证明上述映射保持空间方向的性质。

特征值与特征向量

　　矩阵 $\vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ 的特征值为 $\pm |\vec{a}|$.这可以直接从矩阵的无迹性以及显式计算行列式得出。

　　从更抽象的角度来看，即便不计算行列式（而计算行列式需要用到泡利矩阵的具体性质），也能通过如下关系推导出该结果：$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})^2 - |\vec{a}|^2 = 0$,因为该式可以因式分解为：$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma} - |\vec{a}|)(\vec{a} \cdot \vec{\sigma} + |\vec{a}|) = 0$.线性代数中的一个标准结论是：如果一个线性映射满足由若干不相同一次因式组成的多项式方程，那么该映射是可对角化的。因此，这意味着 $\vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ 是可对角化的，其特征值为 $\pm |\vec{a}|$.此外，由于 $\vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ 是无迹矩阵，它必然有且只有一个正特征值 $+|\vec{a}|$ 和一个负特征值 $-|\vec{a}|$。

　　它的归一化特征向量是： $$ \psi_{+} = \frac{1}{\sqrt{2\left|{\vec{a}}\right|\left(a_3+\left|{\vec{a}}\right|\right)}} \begin{bmatrix} a_3 + \left|{\vec{a}}\right| \\ a_1 + i a_2 \end{bmatrix}, \qquad \psi_{-} = \frac{1}{\sqrt{2\left|{\vec{a}}\right|\left(a_3+\left|{\vec{a}}\right|\right)}} \begin{bmatrix} i a_2 - a_1 \\ a_3 + \left|{\vec{a}}\right| \end{bmatrix}.~ $$ 这些表达式在 $a_3 \to -|{\vec{a}}|$ 时会出现奇异性。可以通过令 ${\vec{a}} = |{\vec{a}}|(\epsilon, 0, -(1-\epsilon^2/2))$ 并取极限 $\epsilon \to 0$ 来修正，这样可以得到 $\sigma_z$ 的正确特征向量 $(0,1)$ 和 $(1,0)$。

　　另一种方法是使用球坐标：${\vec{a}} = a(\sin\vartheta\cos\varphi, \sin\vartheta\sin\varphi, \cos\vartheta)$，这样可以得到特征向量： $$ \psi_+ = \big( \cos\left(\vartheta/2\right) , \ \sin\left(\vartheta/2\right) \exp\left(i\varphi\right) \big),~ $$ 以及 $$ \psi_- = \big(- \sin\left(\vartheta/2\right) \exp\left(-i\varphi\right) , \ \cos\left(\vartheta/2\right) \big)~ $$

泡利四矢量

　　在旋量理论中使用的泡利四矢量写作 $\sigma^\mu$ 其分量为 $$ \sigma^\mu = (I, {\vec{\sigma}}).~ $$ 这定义了一个从 $\mathbb{R}^{1,3}$ 到厄米矩阵向量空间的映射： $$ x_\mu \;\mapsto\; x_\mu \sigma^\mu ,~ $$ 该映射的行列式也编码了闵可夫斯基度规（采用 “多数负号” 的约定）： $$ \det(x_\mu \sigma^\mu) = \eta(x, x) .~ $$ 该四矢量还满足一个完备性关系。为此，方便起见，引入第二个泡利四矢量： $$ \bar{\sigma}^\mu = (I, -{\vec{\sigma}}) .~ $$ 并允许使用闵可夫斯基度规张量进行指标升降。这样，关系可以写为： $$ x_\nu = \frac{1}{2} \operatorname{tr} \left( \bar{\sigma}_\nu \, (x_\mu \sigma^\mu) \right).~ $$ 与泡利三矢量的情形类似，我们也可以找到一个在 $\mathbb{R}^{1,3}$ 上作为等距变换**作用的矩阵群。在这种情况下，该矩阵群是：$\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$，因此我们有：$\mathrm{SL}(2, \mathbb{C}) \;\cong\; \mathrm{Spin}(1,3)$.与前面的推导类似，对于 $S \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$ 可以显式写出对应洛伦兹变换矩阵的分量为： $$ \Lambda(S)^{\mu}{}_{\nu} = \frac{1}{2} \operatorname{tr}\!\left( \bar{\sigma}_\nu \, S \, \sigma^\mu \, S^\dagger \right).~ $$ 实际上，行列式的这个性质可以从 $\sigma^\mu$ 的迹运算特性抽象地推出。对于 $2\times 2$ 矩阵，成立如下恒等式： $$ \det(A+B) = \det(A) + \det(B) + \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B) - \operatorname{tr}(AB).~ $$ 也就是说，“交叉项” 可以通过迹来表示。当 $A, B$ 分别取不同的 $\sigma^\mu$ 时，这些交叉项会消失。于是可以得到（显式写出求和）：$\det\!\left( \sum_{\mu} x_\mu \sigma^\mu \right)= \sum_{\mu} \det\!\left( x_\mu \sigma^\mu \right).$ 由于这些矩阵都是 $2\times 2$ 阶矩阵，所以该式进一步化简为：$\sum_{\mu} x_\mu^2 \det(\sigma^\mu)=\eta(x, x)$,即行列式自然反映了闵可夫斯基度规 $\eta(x,x)$ 的结构。

与点积和叉积的关系

　　泡利矢量优雅地将对易关系和反对易关系映射为相应的向量运算。将对易子与反对易子相加，可得： $$ [\sigma_j, \sigma_k] + \{\sigma_j, \sigma_k\} = (\sigma_j \sigma_k - \sigma_k \sigma_j) + (\sigma_j \sigma_k + \sigma_k \sigma_j)~ $$ $$ 2 i \, \varepsilon_{jk\ell} \, \sigma_\ell + 2 \delta_{jk} I = 2 \sigma_j \sigma_k~ $$ 因此： $$ \sigma_j \sigma_k = \delta_{jk} I + i \varepsilon_{jk\ell} \, \sigma_\ell \;.~ $$ 将方程两边分别与两个三维向量的分量 $a_p$ 和 $b_q$ 相缩并（它们与泡利矩阵可交换，即 $a_p \sigma_q = \sigma_q a_p$，同理 $b_q$ 也一样），对于每个矩阵 $\sigma_q$ 与向量分量 $a_p$，可得： $$ a_j b_k \sigma_j \sigma_k = a_j b_k \left( i \varepsilon_{jk\ell} \sigma_\ell + \delta_{jk} I \right)~ $$ $$ a_j \sigma_j b_k \sigma_k = i \varepsilon_{jk\ell} a_j b_k \sigma_\ell + a_j b_k \delta_{jk} I~ $$ 最后，将点积与叉积的指标记号转化为向量形式，可以得到： $$ (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) I + i (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{\sigma}~ $$ 如果将 $i$ 识别为伪标量 $\sigma_x \sigma_y \sigma_z$，那么右边可以写成：$ a \cdot b + a \wedge b$ 这也正是几何代数中两个向量乘积的定义。如果我们将自旋算符定义为 $\mathbf{J} = \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma}$,那么 $\mathbf{J}$ 满足如下对易关系： $$ \mathbf{J} \times \mathbf{J} = i\hbar \mathbf{J}.~ $$ 等价地，泡利向量满足： $$ \frac{\vec{\sigma}}{2} \times \frac{\vec{\sigma}}{2} = i \frac{\vec{\sigma}}{2}.~ $$

一些迹关系

　　利用对易关系和反对易关系，可以推导出以下迹公式： $$ \begin{aligned} \mathrm{tr}(\sigma_j) &= 0,\\ \mathrm{tr}(\sigma_j \sigma_k) &= 2\delta_{jk},\\ \mathrm{tr}(\sigma_j \sigma_k \sigma_\ell) &= 2i\varepsilon_{jk\ell},\\ \mathrm{tr}(\sigma_j \sigma_k \sigma_\ell \sigma_m) &= 2(\delta_{jk}\delta_{\ell m} - \delta_{j\ell}\delta_{km} + \delta_{jm}\delta_{k\ell}). \end{aligned}~ $$ 如果将矩阵 $\sigma_0 = I$（单位矩阵）也包括进来，这些关系可以扩展为： $$ \begin{aligned} \mathrm{tr}(\sigma_\alpha) &= 2\delta_{0\alpha},\\ \mathrm{tr}(\sigma_\alpha \sigma_\beta) &= 2\delta_{\alpha\beta},\\ \mathrm{tr}(\sigma_\alpha \sigma_\beta \sigma_\gamma) &= 2\sum_{(\alpha\beta\gamma)} \delta_{\alpha\beta} \delta_{0\gamma} - 4\delta_{0\alpha}\delta_{0\beta}\delta_{0\gamma} + 2i\varepsilon_{0\alpha\beta\gamma},\\ \mathrm{tr}(\sigma_\alpha \sigma_\beta \sigma_\gamma \sigma_\mu) &= 2(\delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\mu} - \delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\mu} + \delta_{\alpha\mu}\delta_{\beta\gamma})\\ &\quad + 4(\delta_{\alpha\gamma}\delta_{0\beta}\delta_{0\mu} + \delta_{\beta\mu}\delta_{0\alpha}\delta_{0\gamma}) - 8\delta_{0\alpha}\delta_{0\beta}\delta_{0\gamma}\delta_{0\mu} + 2i\sum_{(\alpha\beta\gamma\mu)} \varepsilon_{0\alpha\beta\gamma} \delta_{0\mu}. \end{aligned}~ $$ 其中，希腊字母索引 $\alpha, \beta, \gamma, \mu$ 取值于 $\{0, x, y, z\}$，而符号 $\sum_{(\alpha \ldots)}$ 表示对所列指标的循环排列求和。

Pauli 向量的指数形式

　　设 $$ \vec{a} = a \hat{n}, \quad |\hat{n}| = 1,~ $$ 其中 $\hat{n}$ 是单位向量，则对于偶数次幂 $2p$（$p = 0, 1, 2, 3, \ldots$），有： $$ (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2p} = I,~ $$ 这可以先通过 $p = 1$ 的情况结合反对易关系来验证。按照约定，$p = 0$ 的情况定义为单位矩阵 $I$。

　　对于奇数次幂 $2q+1$（$q = 0, 1, 2, 3, \ldots$），有： $$ (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2q+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}.~ $$ 利用矩阵指数以及正弦和余弦的泰勒展开式，有：

　　 $$ e^{ia(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{i^k [a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})]^k}{k!} = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(-1)^p (a \hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2p}}{(2p)!} + i \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(-1)^q (a \hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2q+1}}{(2q+1)!}~ $$ 由前面的结论，偶数次幂 $(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2p} = I$，奇数次幂 $(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2q+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma}$，可以化简为： $$ e^{ia(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = I \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(-1)^p a^{2p}}{(2p)!} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(-1)^q a^{2q+1}}{(2q+1)!}~ $$ 最后一行中，第一个求和是余弦函数的展开式，第二个求和是正弦函数的展开式，因此最终得到： $$ e^{ia(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = I \cos a + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin a~ $$ 这与欧拉公式类似，但扩展到了四元数的情形。具体来说： $$ e^{ia\sigma_{1}} = \begin{pmatrix} \cos a & i\sin a \\ i\sin a & \cos a \end{pmatrix}, \quad e^{ia\sigma_{2}} = \begin{pmatrix} \cos a & \sin a \\ -\sin a & \cos a \end{pmatrix}, \quad e^{ia\sigma_{3}} = \begin{pmatrix} e^{ia} & 0 \\ 0 & e^{-ia} \end{pmatrix}.~ $$ 注意： $$ \det[ia(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})] = a^2,~ $$ 而指数矩阵本身的行列式为 1，这意味着它正是 $SU(2)$ 群的一个一般元素。

　　对于更抽象的推广，公式 (2) 对任意 $2\times2$ 矩阵的版本可以参考 “矩阵指数” 条目。此外，对于在 $a$ 和 $-a$ 上解析的函数 $f$，应用 Sylvester 公式可以得到更一般的形式： $$ f\big(a(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})\big) = I \cdot \frac{f(a) + f(-a)}{2} + (\hat{n}\cdot\vec{\sigma}) \cdot \frac{f(a) - f(-a)}{2}.~ $$ SU(2) 群的群合成律

　　直接应用公式 (2) 可以得到 $SU(2)$ 群合成律的一种参数化形式。[c]我们可以通过解如下方程直接求出参数 $c$： $$ \begin{aligned} e^{ia(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})} \; e^{ib(\hat{m}\cdot\vec{\sigma})} &= I\big(\cos a\cos b - \hat{n}\cdot\hat{m}\,\sin a \sin b\big)+ i\big(\hat{n}\,\sin a \cos b + \hat{m}\,\sin b \cos a - \hat{n}\times\hat{m}\,\sin a \sin b\big)\cdot\vec{\sigma} \\ &= I\cos c + i(\hat{k}\cdot\vec{\sigma})\sin c \\ &= e^{ic(\hat{k}\cdot\vec{\sigma})}, \end{aligned}~ $$ 该公式给出了 SU(2)的一般群乘法关系，其中：

　　 $c$ 满足： $$ \cos c = \cos a \cos b - \hat{n} \cdot \hat{m} \, \sin a \sin b,~ $$ 这正是球面余弦定理。

　　而对应的单位向量 $\hat{k}$ 则为： $$ \hat{k} = \frac{1}{\sin c} \big( \hat{n}\,\sin a \cos b + \hat{m}\,\sin b \cos a - (\hat{n} \times \hat{m}) \, \sin a \sin b \big) .~ $$ 因此，该群元素中的合成旋转参数（即该情况下 BCH 展开的闭合形式）可以简写为： $$ e^{ic(\hat{k}\cdot\vec{\sigma})} = \exp \!\left( i \, \frac{c}{\sin c} \big( \hat{n}\,\sin a \cos b + \hat{m}\,\sin b \cos a - \hat{n}\times\hat{m} \, \sin a \sin b \big) \cdot \vec{\sigma} \right).~ $$ 当 $\hat{n}$ 与 $\hat{m}$ 平行时，$\hat{k}$ 也平行于它们，此时有：$c = a + b$.

　　 伴随作用

　　同样可以很直接地推导出 Pauli 向量的伴随作用，也就是任意角度 $a$ 沿任意轴 $\hat{n}$ 的旋转： $$ R_n(-a)~\vec{\sigma}~R_n(a) = e^{i\frac{a}{2}(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})}~\vec{\sigma}~e^{-i\frac{a}{2}(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})} = \vec{\sigma} \cos\left(a\right) + (\hat{n} \times \vec{\sigma}) \sin\left(a\right) + \hat{n}(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})(1- \cos\left(a\right) )\,.~ $$ 该公式表明，$\vec{\sigma}$ 在 $SU(2)$ 旋转下，表现为绕 $\hat{n}$ 轴的三维旋转。

　　将任意单位向量与上述公式点乘，可以得到任意单量子比特算符在任意旋转下的变换形式。例如，可以验证：$R_y\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)\,\sigma_x\, R_y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)= \hat{x} \cdot (\hat{y} \times \vec{\sigma})= \sigma_z\,$ 这说明绕 $y$ 轴旋转 $\pi/2$ 角后，$\sigma_x$ 算符会变换为 $\sigma_z$。

3. 完备关系

　　在另一种常见的 Pauli 矩阵记号中，向量指标 $k$ 写作上标，矩阵的行、列指标作为下标。也就是说，第 $k$ 个 Pauli 矩阵第 $\alpha$ 行、第 $\beta$ 列的元素记作 $\sigma^k_{\alpha\beta}$。

　　在这种记号下，Pauli 矩阵的完备关系可以写为： $$ \vec{\sigma}_{\alpha\beta} \cdot \vec{\sigma}_{\gamma\delta} \;\equiv\; \sum_{k=1}^{3} \sigma^k_{\alpha\beta}\,\sigma^k_{\gamma\delta} = 2\,\delta_{\alpha\delta}\,\delta_{\beta\gamma} - \delta_{\alpha\beta}\,\delta_{\gamma\delta}\,.~ $$

　　证明

　　由于 Pauli 矩阵与单位矩阵 $I$ 一起，构成了所有 $2 \times 2$ 复矩阵 $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C})$ 的 Hilbert 空间的一个正交基，因此，任意一个 $2 \times 2$ 复矩阵 $M$ 都可以表示为： $$ M = c I + \sum_k a_k \sigma^k,~ $$ 其中：$c$ 是一个复数，$\vec{a} = (a_1,a_2,a_3)$ 是一个三维复向量。利用 Pauli 矩阵的性质，可以很容易得出： $$ \operatorname{tr}(\sigma^j \sigma^k) = 2\delta_{jk},~ $$ 其中 “$\operatorname{tr}$” 表示矩阵的迹运算。据此，可以计算： $$ c = \tfrac{1}{2} \operatorname{tr} M, \quad a_k = \tfrac{1}{2} \operatorname{tr} (\sigma^k M).~ $$ 于是可以得到： $$ 2M = I \, \operatorname{tr} M + \sum_k \sigma^k \, \operatorname{tr} (\sigma^k M).~ $$ 将其改写为矩阵分量的形式： $$ 2 M_{\alpha \beta} = \delta_{\alpha \beta} M_{\gamma \gamma} + \sum_k \sigma^k_{\alpha \beta} \, \sigma^k_{\gamma \delta} \, M_{\delta \gamma},~ $$ 其中，$\gamma$ 和 $\delta$ 是重复指标，表示求和。由于这个式子对任意矩阵 $M$ 都成立，因此直接推出前文给出的完备关系。证毕（Q.E.D.）。

　　正如前文所述，常见的做法是用 $\sigma^0$ 表示 $2 \times 2$ 单位矩阵，因此有 $\sigma^0_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta}$.于是，完备关系也可以改写为： $$ \sum_{k=0}^{3} \sigma^k_{\alpha\beta} \, \sigma^k_{\gamma\delta} = 2\, \delta_{\alpha\delta}\, \delta_{\beta\gamma}.~ $$ 此外，任意厄米复 $2 \times 2$ 矩阵都可以用单位矩阵和 Pauli 矩阵的线性组合来表示。这一事实也直接导致了 Bloch 球表示法，用于描述 $2 \times 2$ 混合态的密度矩阵（即迹为 1 的半正定 $2 \times 2$ 矩阵）。其推导思路如下：1. 将任意的厄米矩阵写成 $\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ 的实系数线性组合；2. 再在这个表达式的基础上施加半正定性和迹为 1 的条件；由此就可以得到混合态密度矩阵在 Bloch 球上的表示。

　　对于纯态，在极坐标系下，向量 $\vec{a}$ 表示为： $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} \sin\theta \cos\phi \\ \sin\theta \sin\phi \\ \cos\theta \end{pmatrix},~ $$ 对应的幂等密度矩阵为： $$ \frac{1}{2} \left(\mathbf{1} + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) = \begin{pmatrix} \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) & e^{-i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ e^{+i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix}.~ $$ 该矩阵作用在以下态矢量上： $$ \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ e^{+i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{pmatrix},~ $$ 其对应的特征值为 $+1$。因此，这个密度矩阵的作用等价于一个投影算符。

与置换算符的关系

　　设 $P_{jk}$ 表示作用在张量积空间 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ 中的两个自旋 $\sigma_j$ 和 $\sigma_k$ 之间的换位（置换）算符，其作用为： $$ P_{jk} \, |\sigma_j \, \sigma_k \rangle = |\sigma_k \, \sigma_j \rangle.~ $$ 该算符也可以更明确地写成狄拉克的自旋交换算符： $$ P_{jk} = \frac{1}{2} \left( \vec{\sigma}_j \cdot \vec{\sigma}_k + 1 \right).~ $$ 因此，其本征值为 $1$ 或 $-1$。这意味着它可以作为哈密顿量中的一个相互作用项，用来区分对称与反对称本征态的能量本征值，从而实现能级的劈裂。

4. SU(2)

　　群 $SU(2)$ 是所有行列式为 1 的 $2\times2$ 幺正矩阵所构成的李群；它的李代数是所有迹为 0 的 $2\times2$ 反厄米矩阵的集合。如上所示，通过直接计算可以发现，李代数 $\mathfrak{su}_2$ 是由集合 $\{ i\sigma_k \}$ 张成的三维实代数。紧凑记法为： $$ \mathfrak{su}(2) = \text{span} \{ i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3 \}. ~ $$ 因此，每个 $i\sigma_j$ 都可以视为 $SU(2)$ 的一个无穷小生成元。$SU(2)$ 的任意元素都可以表示为这些三个生成元的线性组合的指数形式，并且它们的乘法规则如保利向量讨论中所示。不过，虽然这种方式足以生成 $SU(2)$，但这并不是 $SU(2)$ 的标准表示，因为保利矩阵的特征值在这里采用了非常规的标度。标准的归一化因子取为 $\lambda = \frac{1}{2}$, 于是： $$ \mathfrak{su}(2) = \text{span} \left\{ \frac{i\sigma_1}{2}, \frac{i\sigma_2}{2}, \frac{i\sigma_3}{2} \right\}.~ $$ 由于 $SU(2)$ 是紧群，它的 Cartan 分解是平凡的。

SO(3)

　　李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 与 $\mathfrak{so}(3)$ 同构，后者对应于三维空间的旋转群 $SO(3)$。换句话说，可以认为 $i\sigma_j$ 是三维空间中无穷小旋转的一种实现（事实上是最低维的实现）。然而，尽管 $\mathfrak{su}(2)$ 和 $\mathfrak{so}(3)$ 作为李代数是同构的，$SU(2)$ 和 $SO(3)$ 作为李群却并不同构。实际上，$SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的双覆盖，这意味着从 $SU(2)$ 到 $SO(3)$ 存在一个二对一的群同态。关于两者之间更详细的关系，可参见 $SO(3)$ 与 $SU(2)$ 的关系。

四元数

　　由集合 $\{I,\, i\sigma_1,\, i\sigma_2,\, i\sigma_3\}$ 所张成的实线性空间，与四元数代数 $\mathbb{H}$ 同构；四元数的标准基为 $\{1,\,\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}\}$.该同构可以通过如下映射给出（注意保利矩阵部分的符号是反向的）： $$ 1 \;\mapsto\; I, \quad \mathbf{i} \;\mapsto\; -\sigma_2\sigma_3 = -i\sigma_1, \quad \mathbf{j} \;\mapsto\; -\sigma_3\sigma_1 = -i\sigma_2, \quad \mathbf{k} \;\mapsto\; -\sigma_1\sigma_2 = -i\sigma_3.~ $$ 另一种等价的同构方式，是按照相反顺序使用保利矩阵构造映射： $$ 1 \;\mapsto\; I, \quad \mathbf{i} \;\mapsto\; i\sigma_3, \quad \mathbf{j} \;\mapsto\; i\sigma_2, \quad \mathbf{k} \;\mapsto\; i\sigma_1.~ $$ 由于四元数 $\mathbb{H}$ 中的单位元集合 $U \subset \mathbb{H}$ 构成一个与 $SU(2)$ 同构的群，集合 $U$ 为描述 $SU(2)$ 提供了另一种方式。在这种表示下，从 $SU(2)$ 到 $SO(3)$ 的二对一同态也可以直接用保利矩阵来描述。

5. 物理学

经典力学

　　在经典力学中，保利矩阵在 Cayley–Klein 参数的背景下非常有用。$^\text{[6]}$ 空间中某一点的位置向量 $\vec{x}$ 所对应的矩阵 $P$，可以通过上述保利矩阵向量来定义： $$ P = \vec{x} \cdot \vec{\sigma} = x\,\sigma_x + y\,\sigma_y + z\,\sigma_z.~ $$ 因此，绕 x 轴旋转角度 $\theta$ 的变换矩阵 $Q_\theta$ 可用保利矩阵与单位矩阵表示为[6]： $$ Q_{\theta} = \mathbf{1} \cos{\frac{\theta}{2}} + i \sigma_x \sin{\frac{\theta}{2}}.~ $$ 类似地，对于一般方向的旋转，利用保利矩阵向量的公式，也可以得到类似的表达式，如前所述。

量子力学

　　在量子力学中，每一个保利矩阵都对应着一个角动量算符，用于描述自旋 $1/2$ 粒子在三维空间中各个方向的自旋可观测量。由前文提到的 Cartan 分解直接得出，矩阵 $i\sigma_j$ 是旋转群 $SO(3)$ 在自旋 $1/2$ 的非相对论粒子上投影表示（自旋表示）的生成元。这类粒子的量子态可用二维分量的旋量来表示。同样地，保利矩阵也与同位旋算符有关。

　　一个有趣的性质是，自旋 $1/2$ 粒子必须旋转 $4\pi$（而不是 $2\pi$）角度才能回到原始状态。这源于 $SU(2)$ 与 $SO(3)$ 的二对一对应关系：虽然我们常把 “自旋向上/向下” 想象为 $S^2$ 球面上的南北两极，但在二维复希尔伯特空间中，它们实际上对应的是一对正交向量。

　　对于自旋 $1/2$ 粒子，其自旋算符为：$\mathbf{J} = \frac{\hbar}{2} \, \vec{\sigma}$,这是 $SU(2)$ 的基本表示。通过不断对这个表示进行 Kronecker 积，可以构造出所有更高阶的不可约表示。换句话说，三维空间中高自旋体系（任意大的 $j$ 值）的自旋算符，都可以利用这一基础自旋算符结合阶梯算符推导出来。相关内容可以在旋转群 $SO(3)$§ 关于李代数的说明中找到。对于群元素用自旋矩阵表达的形式（保利矩阵的欧拉公式推广版本），虽然可以求解，但形式上更为复杂。$^\text{[7]}$

　　此外，在多粒子量子力学中，广义保利群 $G_n$ 也非常有用。它由所有 $n$ 重张量积的保利矩阵组成，用于描述多粒子系统的对称性与运算结构。

相对论性量子力学

　　在相对论性量子力学中，四维空间的旋量是 $4\times1$（或 $1\times4$）矩阵，因此作用在这些旋量上的保利矩阵（或称 Sigma 矩阵）也必须是 $4\times4$ 的形式。它们通过 $2\times2$ 的保利矩阵定义为： $$ \Sigma_k = \begin{pmatrix} \sigma_k & 0 \\ 0 & \sigma_k \end{pmatrix}.~ $$ 由此定义可以得出，这些 $\Sigma_k$ 矩阵与 $\sigma_k$ 矩阵具有相同的代数性质。

　　然而，在相对论理论中，角动量并不是一个三维矢量，而是一个二阶四维张量。因此，$\Sigma_k$ 需要扩展为 $\Sigma_{\mu\nu}$，即旋量上的洛伦兹变换生成元。由于角动量具有反对称性，$\Sigma_{\mu\nu}$ 也必须是反对称矩阵，所以它们只有 6 个独立矩阵。

　　前三个矩阵定义为：$\Sigma_{k\ell} \equiv \epsilon_{jk\ell} \Sigma_j$ 其中 $\epsilon_{jk\ell}$ 是 Levi-Civita 符号。后三个矩阵定义为：$-i \, \Sigma_{0k} \equiv \alpha_k$ 其中 Dirac $\alpha_k$ 矩阵为： $$ \alpha_k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_k \\ \sigma_k & 0 \end{pmatrix}.~ $$ 此外，相对论性的自旋矩阵 $\Sigma_{\mu\nu}$ 还可以用伽玛矩阵的对易子以紧凑形式表示为： $$ \Sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma_\mu, \gamma_\nu].~ $$

量子信息

　　在量子信息领域，单量子比特量子门是 $2\times2$ 的酉矩阵。保利矩阵是最重要的单比特操作之一。在该领域，上文提到的 Cartan 分解通常称为单比特门的 “Z–Y 分解”。如果选择不同的 Cartan 对，也可以得到类似的 “X–Y 分解”。

6. 另见

物理空间代数
三维旋量
伽玛矩阵
狄拉克基
角动量
盖尔曼矩阵
庞加莱群
保利矩阵的广义形式
布洛赫球
欧拉四平方恒等式
关于更高自旋的保利矩阵推广，参见自旋（物理学）§ 更高自旋
交换矩阵（Exchange matrix，第一阶保利矩阵是一个二阶交换矩阵）
分裂四元数

7. 备注

　　
a.这符合数学中的矩阵指数记法约定： $i\sigma \;\mapsto\; \exp\left(i\sigma\right) $。而在物理学的约定中，$\sigma \;\mapsto\; \exp\left(-i\sigma\right) $，因此不需要在前面乘以 $i$ 就可以直接得到 $SU(2)$ 群中的元素。
b.保利向量是一种形式化工具。它可以被看作是 $\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \otimes \mathbb{R}^3$ 中的一个元素，其中张量积空间通过 $\mathbb{R}^3$ 上的点积引入一个映射：$\cdot : \mathbb{R}^3 \times (\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \otimes \mathbb{R}^3) \;\longrightarrow\; \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$
c.这里在 $2 \times 2$ 表示中的推导出的 $a, b, c, n, m, k$ 之间的关系对所有 $SU(2)$ 的表示都成立，因为这是群的恒等式。值得注意的是，由于该群生成元按标准方式归一化为保利矩阵的一半，参数 $a, b, c$ 实际上对应于旋转群旋转角度的一半。也就是说，与 Gibbs 公式相对应的关系为：$\hat{k}\, \tan\left(c/2\right) = \hat{n}\, \tan\left(a/2\right) + \hat{m}\, \tan\left(b/2\right) -(\hat{m} \times \hat{n})\, \tan\left(a/2\right) \, \tan\left(b/2\right) /1 - (\hat{m} \cdot \hat{n})\, \tan\left(a/2\right) \, \tan\left(b/2\right) $
d.在 “右空间矩阵映射为左空间矩阵元素” 的约定下，明确写作： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~ $$

8. 注释

Gull, S. F.; Lasenby, A. N.; Doran, C. J. L. (1993 年 1 月). “虚数并不是真实的——时空的几何代数” (PDF). *Found. Phys.* **23** (9): 1175–1201. Bibcode:1993FoPh...23.1175G. doi:10.1007/BF01883676. S2CID 14670523. 2023 年 5 月 5 日检索 – 来源：[geometry.mrao.cam.ac.uk](https://geometry.mrao.cam.ac.uk)。
参见 spinor map（旋量映射）。
Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. 英国剑桥：剑桥大学出版社. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC 43641333.
Gibbs, J.W. (1884). “4. 关于向量的微积分与积分” Elements of Vector Analysis. 康涅狄格州纽黑文：Tuttle, Moorehouse & Taylor. 第 67 页。事实上，该公式可以追溯到 Olinde Rodrigues (1840)，且包含半角公式：Rodrigues, Olinde (1840). “支配刚体在空间中运动的几何规律，以及由这些运动引起的坐标变化（不考虑导致运动的原因）” (PDF). J. Math. Pures Appl.5: 380–440.
Nakahara, Mikio (2003). Geometry, Topology, and Physics(第 2 版). CRC Press. 第 xxii 页. ISBN 978-0-7503-0606-5 – 来源：Google Books。
Goldstein, Herbert (1959). Classical Mechanics. Addison-Wesley. 第 109–118 页。
Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Zachos, C. K. (2014). “作为自旋矩阵多项式的旋转紧凑公式” SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.

9. 参考文献

“The Pauli spin matrices”. The Feynman Lectures on Physics.
Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics (第 4 版). Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5. OCLC 837947786.
Schiff, Leonard I. (1968). Quantum Mechanics (第 3 版). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055287-6. OCLC 643977885.
Leonhardt, Ulf (2010). Essential Quantum Optics. 剑桥大学出版社. doi:10.1017/CBO9780511806117. ISBN 978-0-521-14505-3. OCLC 855534544.

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