幂指函数之差的极限

贡献者： Relo Stern

定理 1　

　　设 $f (x)$ , $g (x)$ , $h (x)$ 在 $x_{0}$ 的去心邻域内取正值, 且 $a > 0$ .

　　 $(1)$ 若 $lim_{x \to x_{0}} f (x)^{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} f (x)^{h (x)} = a$ , 则当 $x \to x_{0}$ 时, $f (x)^{g (x)} - f (x)^{h (x)} \sim a (g (x) - h (x)) \ln f (x) .$

　　 $(2)$ 若 $lim_{x \to x_{0}} g (x)^{f (x)} = lim_{x \to x_{0}} h (x)^{f (x)} = a$ , 且 $lim_{x \to x_{0}} \frac{g (x)}{h (x)} = 1,$ 则当 $x \to x_{0}$ 时, $g (x)^{f (x)} - h (x)^{f (x)} \sim a (g (x) - h (x)) \frac{f (x)}{h (x)} \sim a (g (x) - h (x)) \frac{f (x)}{g (x)} .$

　　 $(3)$ 若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是等价无穷小量且 $lim_{x \to x_{0}} f (x)^{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} g (x)^{f (x)} = a$ , 则当 $x \to x_{0}$ 时, $f (x)^{g (x)} - g (x)^{f (x)} \sim a (g (x) - f (x)) \ln f (x) \sim a (g (x) - f (x)) \ln g (x) .$

　　 $(4)$ 若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是等价无穷小量且 $lim_{x \to x_{0}} f (x)^{f (x)} = lim_{x \to x_{0}} g (x)^{g (x)} = a$ , 则当 $x \to x_{0}$ 时, $f (x)^{f (x)} - g (x)^{g (x)} \sim a (f (x) - g (x)) \ln f (x) \sim a (f (x) - g (x)) \ln g (x) .$

　　 注记 若 $a = 0$ 但相减的两个幂指函数是等价无穷小量, 则上面各个结论中的 $a$ 换成任一幂指函数即可, 如 $(1)$ 中的结论将变成 $f (x)^{g (x)} - f (x)^{h (x)} \sim f (x)^{g (x)} (g (x) - h (x)) \ln f (x),$ 其余类似.

　　 Proof. 为记号简便, 将 $f (x)$ , $g (x)$ , $h (x)$ 分别略写为 $f$ , $g,$ $h$ .

　　 $(1)$ 显然, $(g - h) \ln f$ 是无穷小量, 因此 $f^{g} - f^{h} = f^{h} (f^{g - h} - 1) = f^{h} (e^{(g - h) \ln f} - 1) \sim a (g - h) \ln f .$ $(2)$ 类似地, $g^{f} - h^{f} = h^{f} ((g / h)^{f} - 1) = h^{f} (e^{f \ln \frac{g}{h}} - 1) \sim a f \ln \frac{g}{h} \sim a f (\frac{g}{h} - 1) \sim a (g - h) \frac{f}{h} \sim a (g - h) \frac{f}{g} .$ $(3)$ 由于 $f \sim g$ 故 $f^{f} = (f^{g})^{\frac{f}{g}} \to a$ , 所以可将 $f^{g} - g^{f}$ 看成 $(f^{g} - f^{f}) + (f^{f} - g^{f})$ , 并利用前面两个结论: $f^{g} - f^{f} = a (g - f) \ln f, f^{f} - g^{f} = a (f - g) \frac{f}{g} \sim a (f - g),$ 因为 $f$ 是无穷小量, 所以 $\ln f = \infty$ , 故上面的第二式被第一式控制. 综上, $f^{g} - g^{f} \sim a (g - f) \ln f .$ 另, 由于 $f$ 和 $g$ 是等价无穷小量, 所以 $\ln f = \ln \frac{f}{g} + \ln g = \ln g + o (1) \sim \ln g .$ $(4)$ 的证明与 $(3)$ 类似, 留给读者. $◻$

　　利用上面的定理，立即得到下面的推论：

推论 1　

　　当 $x \to 0^{+}$ 时成立

　　 $(1)$ $x^{x} - x^{\sin x} \sim 1 \cdot (x - \sin x) \ln x \sim \frac{x^{3}}{6} \ln x .$

　　 $(2)$ $x^{x} - (\sin x)^{x} \sim 1 \cdot (x - \sin x) \frac{x}{\sin x} \sim \frac{x^{3}}{6} .$

　　 $(3)$ $x^{\sin x} - (\sin x)^{x} \sim 1 \cdot (\sin x - x) \ln x \sim \frac{- x^{3}}{6} \ln x .$

　　 $(4)$ $x^{x} - (\sin x)^{\sin x} \sim 1 \cdot (x - \sin x) \ln x \sim \frac{x^{3}}{6} \ln x .$

　　下面来看几个例子.

例 1　

　　证明：当 $x \to 0^{+}$ 时, $x^{(\sin x)^{x}} - (\sin x)^{x^{\sin x}} \sim \frac{x^{3}}{6} .$

　　 Proof. 令 $u (x) = (\sin x)^{x}$ , $v (x) = x^{\sin x}$ , 则 $x^{u (x)} - (\sin x)^{v (x)}$ 可看成 $(x^{u (x)} - x^{v (x)}) + (x^{v (x)} - (\sin x)^{v (x)}) .$ 利用定理的前面两个结论: $x^{u (x)} - x^{v (x)} \sim x^{u (x)} (u (x) - v (x)) \ln x, x^{v (x)} - (\sin x)^{v (x)} \sim x^{v (x) - 1} (x - \sin x) v (x) .$ 另一方面, 易知 $u (x) \to 1$ 及 $v (x) \to 1$ 且 $x^{u (x)} \sim x$ 及 $x^{v (x)} \sim x$ , 再利用定理的第三个结论: $u (x) - v (x) \sim (\sin x - x) \ln x \sim \frac{- x^{3}}{6} \ln x .$ 因而 $x^{u (x)} - x^{v (x)} \sim \frac{- x^{4}}{6} \ln^{2} x, x^{v (x)} - (\sin x)^{v (x)} \sim \frac{x^{3}}{6} .$ 由于 $lim_{x \to 0^{+}} x^{α} \ln x = 0$ $(α > 0)$ , 故上面的第一式是第二式的高阶无穷小, 因此只剩下第二式. 综上, $x^{u (x)} - (\sin x)^{v (x)} \sim \frac{x^{3}}{6} .$ 证毕. $◻$

习题 1　

　　求下面极限.

　　 $(1)$ $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{x^{x}} - (\sin x)^{(\sin x)^{\sin x}}}{x^{3}} .$

　　 $(2)$ $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{x^{\sin x}} - (\sin x)^{(\sin x)^{x}}}{x^{3}} .$

　　 $(3)$ $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{(\sin x)^{\sin x}} - (\sin x)^{x^{x}}}{x^{3}} .$

　　 $(4)$ $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{(\sin x)^{\sin x}} - (\sin x)^{(\sin x)^{x}}}{x^{3}} .$

　　 $(5)$ $lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{(\sin x)^{\tan x}} - (\tan x)^{(\sin x)^{x}}}{x^{3}} .$

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