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在集合论中，康托尔悖论指出不存在所有基数的集合。这是由没有最大基数的定理推导出来的。非正式地说，这个悖论的意思是，所有可能的 “无限大小” 的集合不仅是无限的，而且其无限大小如此之大，以至于它自己的无限大小不能是集合中的任何一个无限大小。这个困难在公理化集合论中通过声明这个集合不是一个集合，而是一个适当类来处理；在冯·诺依曼–伯尔奈–哥德尔集合论中，这个适当类与所有集合的类之间存在双射关系，并且根据大小限制公理可以得出这一点。因此，不仅存在无穷多个无限大，而且这种无限大比它枚举的任何无限大都要大。
这个悖论以乔治·康托尔的名字命名，他通常被认为是在 1899 年（或 1895 年至 1897 年之间）首次识别出这个悖论。像许多 “悖论” 一样，它实际上并不矛盾，而仅仅是表明了一种错误的直觉，尤其是在关于无限性和集合的概念上。换句话说，它在天真的集合论的框架内是悖论的，因此证明了这个理论的不谨慎公理化是不一致的。
为了陈述悖论，首先需要理解基数是完全有序的，因此可以讨论一个基数是否大于或小于另一个基数。然后，康托尔悖论是：
定理：不存在最大的基数。
这个事实是康托尔关于集合的幂集基数定理的直接结果。
证明：假设相反，设 $C$ 是最大的基数。那么（在冯·诺依曼的基数定义中）$C$ 是一个集合，因此有一个幂集 $2^C$，而根据康托尔定理，幂集的基数严格大于 $C$。通过证明存在一个基数（即 $2^C$ 的基数）大于 $C$，而 $C$ 被假定为最大的基数，这就否定了 $C$ 的定义。这个矛盾证明了这样的基数不能存在。
康托尔定理的另一个结果是，基数构成了一个适当类。也就是说，它们不能作为单一集合的元素全部收集在一起。这里是一个稍微更一般的结果。
定理：如果 $S$ 是任何集合，那么 $S$ 不能包含所有基数的元素。事实上，$S$ 的元素的基数有一个严格的上界。
证明：设 $S$ 是一个集合，$T$ 是 $S$ 的元素的并集。那么，$S$ 的每个元素都是 $T$ 的子集，因此它们的基数小于或等于 $T$ 的基数。根据康托尔定理，每个 $S$ 的元素的基数严格小于 $2^T$ 的基数。
由于基数通过与序数的索引方式是良序的（见基数的正式定义），这也证明了不存在最大的序数；反过来，后者的陈述也暗示了康托尔悖论。通过将此索引应用于布拉利-福尔提悖论，我们获得了另一个证明，表明基数是一个适当类，而不是一个集合，并且（至少在 ZFC 或冯·诺依曼–伯尔奈–哥德尔集合论中）从这个结论可以得出基数类和所有集合类之间存在双射。由于每个集合是后者类的一个子集，而每个基数是一个集合的基数（根据定义！），这直观地意味着基数集合的 “基数” 大于任何集合的基数：它比任何真正的无穷大还要更无穷。这就是康托尔 “悖论” 的悖论性质。
虽然通常认为康托尔首次识别出基数集合的这一性质，但一些数学家将这一荣誉归于伯特兰·罗素，他在 1899 年或 1901 年定义了一个类似的定理。
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