Julia 的复数和有理数

贡献者： xzllxls

　　 本文授权转载自郝林的 《Julia 编程基础》。原文链接：第 5 章 数值与运算。

1. 5.4 复数和有理数

5.4.1 复数

　　 Julia 预定义的复数类型是 Complex。它是 Number 的直接子类型。为了构造出复数的虚部，Julia 还专门定义了一个常量 im。这里的 im 是 imaginary 的缩写。它使用起来是这样的：

julia> 1 + 2im; typeof(1+2im)
Complex{Int64}

julia> 1.1 + 2.2im; typeof(1.1+2.2im)
Complex{Float64}

julia>

　　 可以看到，Complex 是一个参数化的类型。因为在其名称的右侧还有一个由花括号包裹的类型参数。这个类型参数会是一个代表了某个类型的标识符。关于参数化类型，我们在下下一章就会讲到。

　　 为了使常见的数学公式和表达式更加清晰，Julia 允许在变量之前紧挨一个数值字面量，以表示两个数相乘。比如，如果变量 x 的值是整数 8，那么 2x^3 就表示 2 乘以 8 的 3 次方。又比如，2^3x 表示 2 的 24 次方。在这种情况下，变 x 就被称为数值字面量系数（numeric literal coefficient）。

　　 正因为如此，我们才需要特别注意，上例中的 2im 和 2.2im 虽然看起来与这种表示法非常相似，但其含义却是完全不同的。整数或浮点数的字面量与常量 im 共同组成的是一个复数的虚部。而且还要注意，在构造复数的虚部时，我们就不能再使用数值字面量系数了。因为这肯定会产生歧义。比如，1 + 2xim 就是不合法的，除非已经存在一个名为 xim 的变量，但如此一来这表示的就不是一个复数了。如果必须有变量参与复数的构造，那么我们可以使用 complex 函数，例如：complex(1, 2x)。

　　 Julia 允许复数参与标准的数学运算。所以，下面的这些数学表达式是合法的：

julia> (1 + 2im) + (3 + 4im)
4 + 6im

julia> (1 + 2im) - (3 + 4im)
-2 - 2im

julia> (1 + 2im) * (3 + 4im)
-5 + 10im

julia> (1 + 2im) / (3 + 4im)
0.44 + 0.08im

julia> 3(1 + 2im)^8
-1581 + 1008im

julia>

　　 例子中的圆括号代表着对运算次序的设定。这与它在数学中的一般含义是一致的。

　　 要想分别得到一个复数的实部和虚部，我们就需要调用 real 函数和 imag 函数。示例如下：

julia> com1 = 1 + 2im 
1 + 2im

julia> real(com1), imag(com1)
(1, 2)

julia>

　　 另外，我们还可以利用、conj 函数求出一个复数的共轭（conjugate），以及使用 abs 函数计算出一个复数与 0 之间的距离，等等。总之，Julia 预定义的很多数学函数都可以应用于复数。

5.4.2 有理数

　　 我们在前面说过，浮点数无法精确地表示所有小数。比如，1/3 是一个无限循环小数，但用浮点数表示的话只能是这样的：

julia> 1/3
0.3333333333333333

julia> typeof(ans)
Float64

julia>

　　 严格来说，1/3 并不是一个浮点数。因为浮点数会对无限循环小数做舍入，这会损失精度。但是，它肯定是一个有理数。

　　 在 Julia 中，有理数用于表示两个整数之间的精确比率。有理数的类型是 Rational。它的值可以由操作符 // 来构造。代码如下：

julia> 1//3
1//3

julia> typeof(ans)
Rational{Int64}

julia>

　　 在操作符 // 左侧的被称为分子，而在它右侧的被称为分母。注意，这两个数都只能是整数，而不能是浮点数。

　　 如果在分子和分母之间存在公因数，那么 Julia 会自动地把它们化为最小项并让分母变为非负整数。例如：

julia> 3//9
1//3

julia> 3//-9
-1//3

julia> 42//126
1//3

julia>

　　 函数 numerator 和 denominator 可以让我们分别得到一个有理数的分子和分母：

julia> rat1 = 1//3
1//3

julia> numerator(rat1)
1

julia> denominator(rat1)
3

julia>

　　 有理数可以参与标准的数学运算。比如，我们可以拿一个有理数与一个整数、浮点数或者其他有理数进行比较。又比如，我们可以对有理数进行加减乘数等运算。另外，有理数也可以很容易地被转换为浮点数。例如：

julia> float(1//3) 
0.3333333333333333

julia>

　　 我在前面也说了，这实际上会存在精度上的损失。

　　 最后，需要我们注意的是，0//0 是不合法的。该字面量会引发一个错误。相应的，表示浮点数的字面量 0/0 等同于 NaN。从技术标准的角度讲，NaN 不与任何东西（包括它自己）相等。