原码、反码、补码

贡献者： lzq; addis

1. 原码（True form）

　　 原码即 “未经更改” 的码，是指一个二进制数左边加上符号位后所得到的码，且当二进制数大于 $0$ 时，符号位为 0；二进制数小于 $0$ 时，符号位为 $1$；二进制数等于 $0$ 时，符号位可以为 $0$ 或 $1$（表示 $+0$ 或 $-0$）。

　　 使用 $n$ 位原码表示有符号数时，范围是 $-(2^{n-1}-1)$ 到 $+(2^{n-1}-1)$。当 $n=8$ 时，第一位用于符号位，这个范围就是 $-127\sim +127 $；表示无符号数时，由于不需要考虑数的正负，就不需要用一位来表示符号位，$n$ 位机器数全部用来表示是数值，这时表示数的范围就是 $0\sim 2^{n}-1$。当 $n=8$ 时，这个范围就是 $0\sim 255$。

　　 优点： 简单直观，原码易于人类理解和计算（与真值转换容易）。

　　 缺点：原码不能用无符号的加法器进行运算。例如，数学上，$1+(-1)=0$，但把原码直接进行无符号的加法运算时（即把两个相加的数都视为 $0-255$ 的整数相加）：

　　 也就是说：原码的运算，必须将符号位和其他位分开，这就增加了硬件的开销和复杂性。也有人将该符号问题称作正负 $0$ 现象。

2. 反码（1's complement）

　　 我们发现：原码最大的问题就在于一个数加上它的相反数不等于 $0$，于是反码的设计思想就是冲着解决这一点，既然一个负数是一个正数的相反数，那干脆用一个正数按位取反来表示负数。

　　 在反码表示法中，正数和 $0$ 的反码与其原码相同；负数的反码则是将原码（除符号位外）的每一位取反。

　　 缺点： 虽然解决了相反数相加不等于 $0$ 的问题，但是反码不能直接做减法，并且存在多余的负零（eg. 1111_1111）

3. 补码（2's complement）

　　 正数和 $0$ 的补码就是该数字本身再补上最高比特 $0$。负数的补码则是将其绝对值按位取反再加 $1$。

　　 优点： 在实现加法器时，只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，因为减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。（实际在加法器做减法运算时，只需要让减数通过非门，并让个位的 “进位” 端口从 $0$ 变为 $1$ 即可）

　　 另外，补码系统的 $0$ 就只有一个表示方式，这和反码系统不同（在反码系统中，$0$ 有两种表示方式），因此在判断数字是否为 $0$ 时，只要比较一次即可。

4. 补码的设计

　　 补码的规则看起来很怪，我们可以换一种角度理解：

　　 在设计一个编码时，我们可以把编码后的数围成一个圆（类似一个时钟），我们希望在这个钟表上：

1. 无冲突，每个数值的位置都是独一无二，有唯一的 $0$。
2. 连续性，每次运算（$+1$）相当于时钟顺时针移动一个单位，尤其是从最大的正数加 $1$ 会 “溢出” 到最小的负数，这种看似异常的行为实际上提供了一个连续且循环的数值范围，使得算术运算能够在这个编码系统中顺畅地进行。

　　 从上述角度看，补码是一种很和谐的编码。

5. 补码的总结

　　 对 $N$ bit 的有符号整数，如果用补码表示负整数，则：

• 加法运算若把输入和输出都看成无符号整数，运算结果相同（用补码表示负数的原因）。
• 取相反数就是反码 +1。
• 减一个数等于加它的相反数。
• 左边第一 bit 为 1 当且仅当它是负数。
• 第一 bit 相同时，用剩下的 bit 判断大小。
• 最小的数是 $-2^{N-1}$，即 10 ... 0。
• 最大的数是 $2^{N-1}-1$，即 01 ... 1。
• $-1$ 是 1 ... 1。
• 最小的数和 $0$ 的相反数都是它本身。
• 只有最小的数的相反数是 “错的”。
• 如果要用更多 bit 表示同样的数，把左边第一 bit 复制若干次即可。