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在数学中，格林恒等式是一组包含三条公式的向量分析恒等式，用于关联区域内部（体积部分）与其边界在微分算子作用下的关系。它们以发现格林定理的数学家乔治·格林的名字命名。
这个恒等式可以通过将散度定理应用于向量场 $\mathbf{F} = \psi \nabla \varphi$ 并利用乘积法则的推广形式 $$ \nabla \cdot (\psi \mathbf{X}) = \nabla \psi \cdot \mathbf{X} + \psi \nabla \cdot \mathbf{X}~ $$ 推导出来。 设 $\varphi$ 和 $\psi$ 是定义在某个区域 $U \subset \mathbb{R}^d$ 上的标量函数，其中 $\varphi$ 是二阶连续可微函数，$\psi$ 是一阶连续可微函数。令 $\mathbf{X} = \nabla \varphi$，并将 $\nabla \cdot (\psi \nabla \varphi)$ 在 $U$ 上积分，则有 \(^\text{[1]}\)： $$ \int_U \left(\psi \,\Delta \varphi + \nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right) \, dV = \oint_{\partial U} \psi \, (\nabla \varphi \cdot \mathbf{n}) \, dS = \oint_{\partial U} \psi \, \nabla \varphi \cdot d\mathbf{S},~ $$ 该定理是散度定理的一个特殊情形，本质上是分部积分在高维情况下的对应形式，其中 $\psi$ 和 $\varphi$ 的梯度分别代替了 $u$ 和 $v$。
需要注意的是，上述格林第一恒等式其实是一个更一般恒等式的特例，这个更一般的恒等式是通过在散度定理中代入 $\mathbf{F} = \psi \mathbf{\Gamma}$ 得到的： $$ \int_U \left(\psi \, \nabla \cdot \mathbf{\Gamma} + \mathbf{\Gamma} \cdot \nabla \psi \right)\, dV = \oint_{\partial U} \psi \, (\mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{n}) \, dS = \oint_{\partial U} \psi \, \mathbf{\Gamma} \cdot d\mathbf{S}~ $$
如果 $\varphi$ 和 $\psi$ 都是在区域 $U \subset \mathbb{R}^3$ 上二阶连续可微的函数，并且 $\varepsilon$ 在 $U$ 上是一阶连续可微的函数，则取 $\mathbf{F} = \psi \varepsilon \nabla \varphi - \varphi \varepsilon \nabla \psi$ 可以得到： $$ \int_U \left[\psi \,\nabla \cdot (\varepsilon \nabla \varphi) - \varphi \,\nabla \cdot (\varepsilon \nabla \psi)\right]\, dV = \oint_{\partial U} \varepsilon \left(\psi \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{n}} - \varphi \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}}\right)\, dS~ $$ 在 $\varepsilon = 1$ 的特殊情况下，公式化简为： $$ \int_U \left(\psi \nabla^2 \varphi - \varphi \nabla^2 \psi\right) \, dV = \oint_{\partial U} \left(\psi \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{n}} - \varphi \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}}\right) \, dS~ $$ 在上式中，$\displaystyle \partial \varphi/\partial \mathbf{n}$ 表示 $\varphi$ 沿着指向外侧的单位法向量 $\mathbf{n}$ 的方向导数： $$ \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{n}} = \nabla \varphi \cdot \mathbf{n} = \nabla_{\mathbf{n}} \varphi~ $$ 将这个定义显式代入 $\varepsilon = 1$ 的第二格林恒等式，得到： $$ \int_U \left(\psi \nabla^2 \varphi - \varphi \nabla^2 \psi\right) \, dV = \oint_{\partial U} \left(\psi \nabla \varphi - \varphi \nabla \psi\right) \cdot d\mathbf{S}v~ $$ 特别地，这个结果表明：对于在边界上消失的函数，拉普拉斯算子在 $L^2$ 内积下是自伴算子，因此上式右边的边界积分项为零。
格林第三恒等式是从第二恒等式推导出来的，方法是取 $\varphi = G$，其中 $G$ 是拉普拉斯算子 $\Delta$ 的基本解（即格林函数）。这意味着： $$ \Delta G(\mathbf{x}, \boldsymbol{\eta}) = \delta(\mathbf{x} - \boldsymbol{\eta}).~ $$ 例如，在 $\mathbf{R}^3$ 中，格林函数的一个解为： $$ G(\mathbf{x}, \boldsymbol{\eta}) = \frac{-1}{4\pi \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\eta}\|}.~ $$ 格林第三恒等式表明，如果 $\psi$ 是在区域 $U$ 上二阶连续可微的函数，则有： $$ \int_{U} \left[ G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \, \Delta \psi(\mathbf{y}) \right] \, dV_{\mathbf{y}} - \psi(\boldsymbol{\eta}) = \oint_{\partial U} \left[ G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}} (\mathbf{y}) - \psi(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} \right] \, dS_{\mathbf{y}}.~ $$ 当 $\psi$ 本身是一个调和函数（即拉普拉斯方程的解 $\nabla^2 \psi = 0$）时，格林第三恒等式可以简化为： $$ \psi(\boldsymbol{\eta}) = \oint_{\partial U} \left[ \psi(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} - G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}}(\mathbf{y}) \right] \, dS_{\mathbf{y}}~ $$ 如果选择满足狄利克雷边界条件的格林函数 $G$，使得 $G$ 在区域 $U$ 的边界 $\partial U$ 上为零，那么上式中的第二项会消失，得到更简洁的形式： $$ \psi(\boldsymbol{\eta}) = \oint_{\partial U} \psi(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} \, dS_{\mathbf{y}}~ $$ 这种形式常用于构造狄利克雷边界条件问题的解。对于诺伊曼边界条件问题，虽然也可以简化，但通过将散度定理应用于定义格林函数的偏微分方程可以证明，格林函数在边界上的积分不可能为零，因此它无法在边界上完全消失。详细论证及替代方案可参见拉普拉斯算子的格林函数或文献 \(^\text{[2]}\)。
对于诺伊曼边界条件，可以选择合适的格林函数 $G$ 来简化积分 $3$。首先注意： $$ \int_U \Delta G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \, dV_{\mathbf{y}} = 1 = \oint_{\partial U} \frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} \, dS_{\mathbf{y}}~ $$ 因此，$\displaystyle \frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}}$ 不可能在边界 $S$ 上为零。一个常用的选择是令：$\frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}}= \frac{1}{\mathcal{A}}$ 其中，$\mathcal{A}$ 表示边界曲面 $S$ 的面积。在这种设定下，积分可以简化为： $$ \psi(\boldsymbol{\eta}) = \langle \psi \rangle_S - \oint_{\partial U} G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}}(\mathbf{y}) \, dS_{\mathbf{y}}~ $$ 其中，$\langle \psi \rangle_S$ 是 $\psi$ 在曲面 $S$ 上的平均值： $$ \langle \psi \rangle_S = \frac{1}{\mathcal{A}} \oint_{\partial U} \psi(\mathbf{y}) \, dS_{\mathbf{y}}~ $$ 此外，如果 $\psi$ 是拉普拉斯方程的解（即 $\Delta \psi = 0$），根据散度定理可得： $$ \oint_{\partial U} \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}}(\mathbf{y}) \, dS_{\mathbf{y}} = \int_U \Delta \psi(\mathbf{y}) \, dV_{\mathbf{y}} = 0~ $$ 这是诺伊曼边界问题有解的必要条件。
可以进一步验证，上述恒等式同样适用于 $\psi$ 是 Helmholtz 方程或波动方程的解，且 $G$ 是相应的格林函数的情况。在这种情形下，该恒等式就是惠更斯原理的数学表达式，并且由此可以推导出基尔霍夫衍射公式及其他近似公式。
格林恒等式同样成立。在黎曼流形的情形下，前两个恒等式可以写为： $$ \int_{M} u\,\Delta v\, dV + \int_{M} \langle \nabla u, \nabla v \rangle\, dV = \int_{\partial M} u N v\, d\widetilde{V}~ $$ $$ \int_{M} \left(u\,\Delta v - v\,\Delta u\right)\, dV = \int_{\partial M} \left(u N v - v N u\right)\, d\widetilde{V}~ $$ 其中：$u$ 和 $v$ 是定义在流形 $M$ 上的光滑实值函数；$dV$ 是与度量兼容的体积形式；$d\widetilde{V}$ 是流形边界 $\partial M$ 上的诱导体积形式；$N$ 是沿边界外指的单位法向量场；$\Delta u = \mathrm{div}(\mathrm{grad}\,u)$ 表示拉普拉斯算子。
利用向量拉普拉斯算子恒等式和散度恒等式 \(^\text{[4]}\)，可以展开： $$ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} = \nabla \cdot (\mathbf{P} \times \nabla \times \mathbf{Q}) - (\nabla \times \mathbf{P}) \cdot (\nabla \times \mathbf{Q}) + \mathbf{P} \cdot [\nabla (\nabla \cdot \mathbf{Q})]~ $$ 最后一项可以通过分量展开进行简化： $$ \begin{aligned} \mathbf{P} \cdot [\nabla (\nabla \cdot \mathbf{Q})] &= P^i[\nabla_i(\nabla_j Q^j)] \\ &= \nabla_i[P^i(\nabla_j Q^j)] - (\nabla_i P^i)(\nabla_j Q^j) \\ &= \nabla \cdot [\mathbf{P}(\nabla \cdot \mathbf{Q})] - (\nabla \cdot \mathbf{P})(\nabla \cdot \mathbf{Q}) \end{aligned}~ $$ 由此，该恒等式可以改写为： $$ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} = \nabla \cdot (\mathbf{P} \times \nabla \times \mathbf{Q}) - (\nabla \times \mathbf{P}) \cdot (\nabla \times \mathbf{Q}) + \nabla \cdot [\mathbf{P}(\nabla \cdot \mathbf{Q})] - (\nabla \cdot \mathbf{P})(\nabla \cdot \mathbf{Q})~ $$ 在积分形式下，该恒等式为： $$ \oint_{\partial U} \mathbf{n} \cdot [\mathbf{P} \times \nabla \times \mathbf{Q} + \mathbf{P} (\nabla \cdot \mathbf{Q})]\, dS = \int_{U} [ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} + (\nabla \times \mathbf{P}) \cdot (\nabla \times \mathbf{Q}) + (\nabla \cdot \mathbf{P})(\nabla \cdot \mathbf{Q}) ]\, dV~ $$
格林的第二恒等式建立了两个标量函数的二阶导数（拉普拉斯算子）与一阶导数（梯度的散度）之间的关系。微分形式为： $$ p_{m}\,\Delta q_{m} - q_{m}\,\Delta p_{m} = \nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m} - q_{m}\,\nabla p_{m}\right),~ $$ 其中，$p_{m}$ 和 $q_{m}$ 是任意两组连续二次可微的标量场。这个恒等式在物理学中非常重要，因为它可以用来建立质量、能量等标量场的连续性方程 \(^\text{[5]}\)。
在向量衍射理论中，格林第二恒等式有两种向量化的形式。
第一种形式利用了叉乘散度恒等式 \(^\text{[6][7][8]}\)，表达了场的 “旋度的旋度” 关系： $$ \mathbf{P} \cdot (\nabla \times \nabla \times \mathbf{Q}) - \mathbf{Q} \cdot (\nabla \times \nabla \times \mathbf{P}) = \nabla \cdot \left(\mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}) - \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q})\right).~ $$ 第二种形式可以改写为拉普拉斯算子的形式： $$ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} + \mathbf{Q} \cdot [\nabla (\nabla \cdot \mathbf{P})] - \mathbf{P} \cdot [\nabla (\nabla \cdot \mathbf{Q})] = \nabla \cdot \left(\mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}) - \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P})\right).~ $$ 然而，项 $$ \mathbf{Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{P} \right)\right] -\mathbf{P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{Q} \right)\right],~ $$ 并不能轻易地改写成散度的形式。
另一种方法是引入双向量，这种表述需要用到二阶的格林函数 \(^\text{[9][10]}\)。不过，这里给出的推导避免了这些复杂性 \(^\text{[11]}\)。 注意到，格林第二恒等式中的标量场可以看作是向量场的笛卡尔分量，即： $$ \mathbf{P} = \sum_{m} p_m \hat{\mathbf{e}}_m, \qquad \mathbf{Q} = \sum_{m} q_m \hat{\mathbf{e}}_m.~ $$ 将每个分量的公式相加，可以得到： $$ \sum_{m} \left[ p_m \Delta q_m - q_m \Delta p_m \right] = \sum_{m} \nabla \cdot \left( p_m \nabla q_m - q_m \nabla p_m \right).~ $$ 根据点积的定义，左边可以直接写成向量形式： $$ \sum_{m} \left[ p_m \Delta q_m - q_m \Delta p_m \right] = \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P}.~ $$ 右边（RHS）用向量算子来表达稍微麻烦一些。由于散度算子对加法的分配律成立，散度的和等于和的散度，即： $$ \sum_{m} \nabla \cdot \left(p_{m} \nabla q_{m} - q_{m} \nabla p_{m} \right) = \nabla \cdot \left( \sum_{m} p_{m} \nabla q_{m} - \sum_{m} q_{m} \nabla p_{m} \right).~ $$ 回忆点积梯度的向量恒等式： $$ \nabla(\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}) = (\mathbf{P} \cdot \nabla)\mathbf{Q} + (\mathbf{Q} \cdot \nabla)\mathbf{P} + \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}) + \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}),~ $$ 如果将其按分量形式展开，则可以写成： $$ \nabla(\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}) = \nabla \sum_{m} p_{m} q_{m} = \sum_{m} p_{m} \nabla q_{m} + \sum_{m} q_{m} \nabla p_{m}.~ $$ 这个结果与我们想要用向量形式表达的结论非常接近，只是存在一个符号差异。由于每一项中的微分算子仅作用于某一个向量（例如 $p_m$ 或 $q_m$），因此各项可以写成： $$ \sum_{m} p_{m} \nabla q_{m} = (\mathbf{P} \cdot \nabla)\mathbf{Q} + \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}),~ $$ $$ \sum_{m} q_{m} \nabla p_{m} = (\mathbf{Q} \cdot \nabla)\mathbf{P} + \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}).~ $$ 这些结果可以通过向量分量的严格推导加以验证。因此，右边部分可以写为： $$ \sum_{m} p_{m} \nabla q_{m} - \sum_{m} q_{m} \nabla p_{m} = (\mathbf{P} \cdot \nabla)\mathbf{Q} + \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}) - (\mathbf{Q} \cdot \nabla)\mathbf{P} - \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}).~ $$ 结合左右两部分，可以得到类似标量格林定理的向量形式：
向量场的格林定理： $$ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} = (\mathbf{P} \cdot \nabla)\mathbf{Q} + \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}) - (\mathbf{Q} \cdot \nabla)\mathbf{P} - \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}).~ $$ 交叉乘积的旋度恒等式： $$ \nabla \times (\mathbf{P} \times \mathbf{Q}) = (\mathbf{Q} \cdot \nabla)\mathbf{P} - (\mathbf{P} \cdot \nabla)\mathbf{Q} + \mathbf{P}(\nabla \cdot \mathbf{Q}) - \mathbf{Q}(\nabla \cdot \mathbf{P}).~ $$ 利用该恒等式，可以将格林向量恒等式改写为： $$ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} = \nabla \cdot \left[ \mathbf{P}(\nabla \cdot \mathbf{Q}) - \mathbf{Q}(\nabla \cdot \mathbf{P}) - \nabla \times (\mathbf{P} \times \mathbf{Q}) + \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}) - \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}) \right].~ $$ 由于旋度的散度为零，上式第三项消失，得到格林第二向量恒等式： $$ \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} = \nabla \cdot \left[ \mathbf{P}(\nabla \cdot \mathbf{Q}) - \mathbf{Q}(\nabla \cdot \mathbf{P}) + \mathbf{P} \times (\nabla \times \mathbf{Q}) - \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}) \right].~ $$ 通过类似的推导，可以把点积的拉普拉斯展开成与各因子的拉普拉斯相关的形式： $$ \Delta (\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q}) = \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} + 2 \nabla \cdot \left[ (\mathbf{Q} \cdot \nabla)\mathbf{P} + \mathbf{Q} \times (\nabla \times \mathbf{P}) \right].~ $$ 由此，可以将之前难以写成散度形式的项转换为散度形式： $$ \mathbf{P} \cdot [\nabla(\nabla \cdot \mathbf{Q})] - \mathbf{Q} \cdot [\nabla(\nabla \cdot \mathbf{P})] = \nabla \cdot \left[ \mathbf{P}(\nabla \cdot \mathbf{Q}) - \mathbf{Q}(\nabla \cdot \mathbf{P}) \right].~ $$ 这个结果可以通过展开右边 “标量乘向量” 的散度公式进行验证。
第三个向量恒等式可以利用自由空间标量格林函数推导得到 \(^\text{[4]}\)。首先，考虑标量格林函数的定义：$\Delta G(\mathbf{x}, \boldsymbol{\eta}) = \delta(\mathbf{x} - \boldsymbol{\eta})$,然后两边乘以向量场 $\mathbf{P}$，再减去 $G \nabla_i \nabla^i \mathbf{P}$： $$ \nabla_i\left(\mathbf{P} \nabla^i G - G \nabla^i \mathbf{P}\right) = \mathbf{P} \,\delta(\mathbf{x} - \boldsymbol{\eta}) - G \,\Delta \mathbf{P}.~ $$ 接下来，对体积 $U$ 积分，并利用散度定理： $$ \oint_{\partial U} \left[ \mathbf{P}(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} - G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \frac{\partial \mathbf{P}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{n}} \right] dS_{\mathbf{y}} + \int_U G(\mathbf{y}, \boldsymbol{\eta}) \Delta \mathbf{P}(\mathbf{y}) dV_{\mathbf{y}} = \begin{cases} \mathbf{P}(\boldsymbol{\eta}), & \boldsymbol{\eta} \in U,\\ 0, & \boldsymbol{\eta} \notin U. \end{cases}~ $$
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