代数拓扑（综述）

                     

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图 1：环面，代数拓扑中最常被研究的对象之一。

　　 代数拓扑是数学的一个分支，它利用抽象代数的工具研究拓扑空间。其基本目标是寻找能够刻画拓扑空间的代数不变量，从而将这些空间按同胚分类，尽管在实际研究中，大多数情况下是按同伦等价进行分类的。

　　 虽然代数拓扑主要是用代数方法研究拓扑问题，但有时也可以利用拓扑方法来解决代数问题。例如，代数拓扑就能给出一个简便的证明：自由群的任意子群仍然是自由群。

1. 主要分支

　　 以下是代数拓扑中研究的一些主要方向：

同伦群

　　 在数学中，同伦群用于代数拓扑中对拓扑空间进行分类。第一个也是最简单的同伦群是基本群，它记录了一个空间中环路的信息。直观地说，同伦群记录了拓扑空间的基本形状或 “洞” 的信息。

同调

　　 在代数拓扑和抽象代数中，同调（部分源自希腊语 “ὁμός homos”，意为 “相同”）是一种通用方法，用于将一个给定的数学对象（例如拓扑空间或群）关联到一个阿贝尔群或模的序列中。

上同调

　　 在同调理论和代数拓扑中，上同调是一个总称，指的是由上链复形定义的一系列阿贝尔群。换句话说，上同调是一种对上链、上循环和上边界的抽象研究。上同调可以看作是一种赋予拓扑空间代数不变量的方法，这些不变量具有比同调更精细的代数结构。上同调起源于同调构造的代数对偶化过程。用不那么抽象的语言来说，上链从根本意义上讲，应该是为同调理论中的链赋予某种 “量” 的方法。

流形

　　 流形是一种拓扑空间，它在每个点附近都与欧几里得空间相似。常见的例子有平面、球面和环面，这些都可以在三维空间中实现；还有克莱因瓶和实射影平面，它们无法嵌入三维空间，但可以嵌入四维空间。通常，代数拓扑中的研究结果聚焦于流形的整体性、不可微分的性质；例如庞加莱对偶性。

结理论

　　 结理论研究的是数学中的 “结”。虽然它的灵感来源于日常生活中鞋带或绳索打结的现象，但数学上的 “结” 有所不同，其两端是连在一起的，因此无法简单地解开。用精确的数学语言表述，一个结是将一个圆嵌入三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中的映射。如果两个数学结可以通过对 $\mathbb{R}^3$ 本身进行连续变形（称为 “环境同胚” 或 ambient isotopy）而互相转化，则它们被视为等价的。这些变形对应于我们操作一根绳子时，绳子没有被剪断或穿过自身的过程。

复形

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图 2：一个三维单纯复形。

　　 单纯复形是一类特殊的拓扑空间，通过将点、线段、三角形以及它们的 $n$ 维对应物 “拼接” 在一起构造而成（见示意图）。需要注意的是，单纯复形不应与现代单纯同伦理论中出现的更抽象的 “单纯集” 混淆。与单纯复形对应的纯组合论对象被称为 “抽象单纯复形”。

　　 CW 复形是一类由 J. H. C. Whitehead 引入的拓扑空间，用于满足同伦理论的研究需求。这类空间比单纯复形更为广泛，并且在范畴性质上有一些更好的表现，但它依然保留了组合论的特性，使得计算仍然可行（并且通常可以使用规模更小的复形来完成计算）。

2. 代数不变量方法

　　 该学科早期的名称是 “组合拓扑”，强调研究空间 $X$ 如何通过更简单的空间构造出来 \(^\text{[2]}\)（现代用于此类构造的标准工具是 CW 复形）。在 20 世纪 20 至 30 年代，研究重心逐渐转向通过寻找拓扑空间与代数群之间的对应关系来研究空间，这促成了名称从 “组合拓扑” 向 “代数拓扑” 的转变 \(^\text{[3]}\)。如今，“组合拓扑” 这一名称有时仍被使用，用来强调基于空间分解的算法化研究方法 \(^\text{[4]}\)。

　　 在代数方法中，人们寻找空间与群之间的对应关系，这种对应关系尊重空间的同胚或更一般的同伦关系。这样，关于拓扑空间的命题就可以转化为关于群的命题，而群具有丰富且易于处理的代数结构，使得证明这些命题通常更为容易。实现这种转化的两种主要方法是通过**基本群或更一般的同伦理论，以及通过同调群和上同调群。基本群提供了关于拓扑空间结构的基础信息，但它们往往是非阿贝尔群，处理起来较为复杂。不过，有限单纯复形的基本群是可以用有限表示描述的。

　　 另一方面，同调群和上同调群是阿贝尔群，并且在许多重要情况下是有限生成的。有限生成的阿贝尔群已经被完全分类，因此在理论和计算中都特别容易处理。

3. 范畴论中的框架

　　 总体而言，代数拓扑中的所有构造都是函子性的；范畴、函子以及自然变换的概念都起源于此。基本群、同调群和上同调群不仅是基础拓扑空间的不变量（即两个同胚的拓扑空间具有相同的相关群），而且它们的态射也彼此对应——拓扑空间之间的连续映射会诱导出相应群之间的群同态。这些群同态可以用来证明某些映射的不存在性，或者更深层次地，证明某些映射的存在性。

　　 最早研究不同类型上同调的数学家之一是乔治·德拉姆。通过德拉姆上同调，可以利用光滑流形的微分结构，或借助Čech 上同调或层上同调，去研究定义在该流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明了这些方法是相互关联的，并且对于一个封闭且定向的流形，通过单纯同调得出的贝蒂数与通过德拉姆上同调得到的贝蒂数完全一致。这种思想在 20 世纪 50 年代得到拓展。塞缪尔·埃伦伯格和诺曼·斯廷罗德推广了这一方法，将同调和上同调定义为带有自然变换的函子，并满足一系列公理（例如，空间的弱等价会诱导同调群的同构）。他们验证了所有已有的（上）同调理论都满足这些公理，并进一步证明这种公理化刻画唯一地确定了该理论。

4. 应用

　　 代数拓扑的一些经典应用包括：

5. 著名人物

6. 重要定理

7. 参见

8. 注释

  1. Fraleigh (1976, p. 163)
  2. Fréchet, Maurice; Fan, Ky (2012), Invitation to Combinatorial Topology, Courier Dover Publications, p. 101, ISBN 9780486147888.
  3. Henle, Michael (1994), A Combinatorial Introduction to Topology, Courier Dover Publications, p. 221, ISBN 9780486679662.
  4. Spreer, Jonathan (2011), Blowups, slicings and permutation groups in combinatorial topology, Logos Verlag Berlin GmbH, p. 23, ISBN 9783832529833.

9. 参考文献

10. 延伸阅读

　　 述。


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