贡献者： 待更新
本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。
在数学中，德摩根公式（也称为德摩根定理或德摩根恒等式）表明，对于任何实数 \( x \) 和整数 \( n \)，有 \[ (\cos x + i \sin x)^n = \cos\left(nx\right) + i \sin\left(nx\right) ,~ \] 其中 \( i \) 是虚数单位（\( i^2 = -1 \)）。该公式以亚伯拉罕·德摩根的名字命名 \(^\text{[1]}\)，尽管他在自己的著作中并未明确提出该公式 \(^\text{[2]}\)。表达式 \( \cos x + i \sin x \) 有时简写为 \( \text{cis} \, x \)。
该公式非常重要，因为它将复数和三角学联系起来。通过展开左侧表达式，并在假设 \( x \) 为实数的情况下比较实部和虚部，可以推导出 \( \cos\left(nx\right) \) 和 \( \sin\left(nx\right) \) 的有用表达式，形式为 \( \cos x \) 和 \( \sin x \) 的函数。
如所写，该公式对非整数幂 \( n \) 无效。然而，存在该公式的广义形式，适用于其他指数。这些广义形式可用于给出统一根的显式表达式，即使得 \( z^n = 1 \) 的复数 \( z \)。
使用正弦和余弦函数对复数的标准扩展，该公式即使在 \( x \) 为任意复数时也成立。
对于 \( x = 30^\circ \) 和 \( n = 2 \)，德摩根公式断言： \[ \left( \cos\left(30^\circ\right) + i \sin\left(30^\circ\right) \right)^2 = \cos\left(2 \cdot 30^\circ\right) + i \sin\left(2 \cdot 30^\circ\right) ,~ \] 或者等效地： \[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}.~ \] 在这个例子中，通过展开左侧表达式很容易验证该等式的有效性。
德摩根公式是欧拉公式的前身： \[ e^{ix} = \cos x + i \sin x,~ \] 其中 \( x \) 以弧度而非度数表示，这建立了三角函数与复指数函数之间的基本关系。
可以通过使用欧拉公式和整数幂的指数法则推导出德摩根公式： \[ (e^{ix})^n = e^{inx},~ \] 因为欧拉公式意味着左侧等于 \(\left( \cos x + i \sin x \right)^n\),而右侧等于 \( \cos\left(nx\right) + i \sin\left(nx\right) \).
通过数学归纳法可以证明 de Moivre 定理的正确性，并由此将其扩展到所有整数。对于一个整数 \( n \)，定义以下命题 \( S(n) \)： \[ (\cos x + i \sin x)^n = \cos\left(nx\right) + i \sin\left(nx\right) .~ \] 对于 \( n > 0 \)，我们通过数学归纳法进行证明。显然，\( S(1) \) 是成立的。假设对于某个自然数 \( k \)，\( S(k) \) 成立。即，我们假设： \[ (\cos x + i \sin x)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right) ~ \] 现在，考虑 \( S(k+1) \)： \[ (\cos x + i \sin x)^{k+1} = (\cos x + i \sin x)^k (\cos x + i \sin x)~ \] 根据归纳假设： \[ = (\cos kx + i \sin kx) (\cos x + i \sin x)~ \] 利用三角恒等式展开： \[ = \cos kx\cos x - \sin kx\sin x + i(\cos kx\sin x + \sin kx\cos x)~ \] 通过三角函数的和角公式： \[ = \cos\left((k+1)x\right) + i \sin\left((k+1)x\right) ~ \] 这就证明了 \( S(k+1) \) 的成立。因此，由数学归纳法可得，定理对于所有自然数 \( n \) 成立。
我们推导出 \( S(k) \) 蕴含 \( S(k+1) \)。根据数学归纳法原理，由此可得该结果对于所有自然数都成立。现在，显然 \(S(0)\) 成立，因为 \( \cos\left(0x\right) + i \sin\left(0x\right) = 1 + 0i = 1 \)。最后，对于负整数的情况，我们考虑 \( -n \) 的指数，其中 \( n \) 为自然数。
对于复数的等式，必须保证方程两边的实部和虚部都相等。如果 \( x \)，因此 \( \cos x \) 和 \( \sin x \)，都是实数，则这些部分的恒等式可以使用二项式系数来表示。这个公式是由 16 世纪法国数学家弗朗索瓦·维耶特提出的： \[ \sin\left(nx\right) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\cos x)^k (\sin x)^{n-k} \sin\frac{(n-k)\pi}{2}~ \] \[ \cos\left(nx\right) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\cos x)^k (\sin x)^{n-k} \cos \frac{(n-k)\pi}{2} ~ \] 在这两个方程中的每一个，最终的三角函数等于 1、-1 或 0，从而去除了每个求和式中的一半项。这些方程实际上即使对于复数值的 \( x \) 也是有效的，因为两边都是关于 \( x \) 的整函数（即在整个复平面上全纯），而两个在实轴上相等的全纯函数必然在整个复平面上相等。以下是这些方程在 \( n = 2 \) 和 \( n = 3 \) 时的具体实例： \[ \cos 2x = (\cos x)^2 + \left( (\cos x)^2 - 1 \right) = 2(\cos x)^2 - 1~ \] \[ \sin 2x = 2(\sin x)(\cos x)~ \] \[ \cos 3x = (\cos x)^3 + 3\cos x \left( (\cos x)^2 - 1 \right) = 4(\cos x)^3 - 3\cos x~ \] \[ \sin 3x = 3(\cos x)^2(\sin x) - (\sin x)^3 = 3\sin x - 4(\sin x)^3~ \] 实际上，\( \cos nx \) 公式右侧的表达式是切比雪夫多项式 \( T_n(\cos x) \) 在 \( \cos x \) 处的值。
德·莫夫尔公式不适用于非整数幂。上面对德·莫夫尔公式的推导涉及将复数提高到整数幂 \( n \)。如果复数被提升到非整数幂，结果是多值的（参见幂和对数恒等式的失败）。
本文中给出的德·莫夫尔公式的一个适度扩展可以用来求一个复数的 \(n\)-次根，其中 \( n \) 为非零整数。（这等价于将复数提升到 \(1/n\) 次幂）。
如果 \( z \) 是一个复数，可以表示为极坐标形式： \[ z = r \left( \cos x + i \sin x \right)~ \] 则 \( z \) 的 \( n \)-次根由以下公式给出： \[ r^{\frac{1}{n}} \left( \cos \frac{x + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{x + 2\pi k}{n} \right)~ \] 其中 \( k \) 取从 0 到 \( |n| - 1 \) 的整数值。
这个公式有时也被称为德·莫夫尔公式。\(^\text{[3]}\)
一般来说，如果 \(z = r (\cos x + i \sin x)\)（极坐标形式），并且 \(w\) 是一个任意复数，那么可能的值集为： \[ z^w = r^w \left( \cos x + i \sin x \right)^w = \left\{ r^w \cos \left( xw + 2\pi kw \right) + i r^w \sin \left( xw + 2\pi kw \right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}~ \] （注意，如果 \( w \) 是一个有理数，且可以表示为 \(p/q\) 的最简分数形式，那么这个集合将有恰好 \( q \) 个不同的值，而不是无限多个。特别地，如果 \( w \) 是整数，那么集合将只有一个值，如前所述。）
与此相反，德·莫夫尔公式给出的是： \[ r^w (\cos xw + i \sin xw)~ \] 这只是该集合中对应 \( k = 0 \) 的唯一值。
由于 \( \cosh x + \sinh x = e^x \)，德·莫夫尔公式的类比也适用于双曲三角学。对于所有整数 \(n\)， \[ (\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx~ \] 如果 \( n \) 是有理数（但不一定是整数），那么 \(\cosh nx + \sinh nx\) 将是 \( (\cosh x + \sinh x)^n \) 的一个值。\(^\text{[4]}\)
对于任何整数 \( n \)，该公式对任何复数 \( z = x + iy \) 都成立： \[ (\cos z + i \sin z)^n = \cos\left(nz\right) + i \sin\left(nz\right) ~ \] 其中， \[ \cos z = \cos\left(x + iy\right) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y~ \] \[ \sin z = \sin\left(x + iy\right) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y~ \]
为了求四元数的根，有一个类似的德·莫夫尔公式。一个四元数的形式为： \[ q = d + a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}~ \] 可以表示为 \[ q = k (\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \quad \text{对于} \quad 0 \leq \theta < 2\pi~ \] 在这个表示中， \[ k = \sqrt{d^2 + a^2 + b^2 + c^2}~ \] 并且三角函数定义为 \[ \cos \theta = \frac{d}{k} \quad \text{和} \quad \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{k}~ \] 如果 \( a^2 + b^2 + c^2 \neq 0 \)，则 \[ \varepsilon = \pm \frac{a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}~ \] 即单位向量。由此得出德·莫夫尔公式的变形 \(^\text{[5]}\)： \[ q^n = k^n (\cos n\theta + \varepsilon \sin n\theta)~ \]
例子
为了求四元数 \[ Q = 1 + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}~ \] 的立方根，将四元数写成如下形式： \[ Q = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \varepsilon \sin \frac{\pi}{3} \right)~ \] 其中 \[ \varepsilon = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}.~ \] 然后，立方根由以下公式给出： \[ \sqrt[3]{Q} = \sqrt[3]{2} \left( \cos \theta + \varepsilon \sin \theta \right) \quad \text{对于} \quad \theta = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}.~ \]
对于矩阵，\(\begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} \cos n\phi & -\sin n\phi \\ \sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}\) 当 \( n \) 为整数时。这是矩阵类型 \(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\) 与复平面之间同构的直接结果。
友情链接： 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利