点集拓扑学（综述）

                     

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　　 本文根据 CC-BY-SA 协议转载翻译自维基百科相关文章。

图
图 1：拓扑学家正弦曲线，这是点集拓扑学中的一个有用例子。它是连通的，但不是路径连通的。

　　 在数学中，一般拓扑（或称点集拓扑）是拓扑学的一个分支，主要研究拓扑学中使用的基本集合论定义和构造。它是大多数其他拓扑学分支的基础，包括微分拓扑、几何拓扑和代数拓扑。

　　 点集拓扑中的基本概念是连续性、紧致性和连通性：

　　 “附近”、“任意小” 和 “远离” 这些术语都可以通过使用开集的概念来精确定义。如果我们改变 “开集” 的定义，就会改变连续函数、紧致集和连通集的定义。对于 “开集” 的每一种定义选择，都称为一种拓扑。具有拓扑的集合称为拓扑空间。

　　 度量空间是拓扑空间中的一个重要类别，在这些空间中，可以为集合中的点对定义一个实数的非负距离，也称为度量。具有度量简化了许多证明，且许多最常见的拓扑空间都是度量空间。

1. 历史

　　 一般拓扑学起源于多个领域，其中最重要的包括：

　　 一般拓扑学在大约 1940 年形成了现在的形式。可以说，它几乎囊括了连续性直觉的所有内容，以一种技术上足够的形式，能够应用于数学的任何领域。

2. 集合上的拓扑

　　 设 $X$ 是一个集合，$\tau$ 是 $X$ 的子集族。如果 $\tau$ 满足以下条件，则称 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑：\(^\text{[1][2]}\)

  1. 空集和 $X$ 本身是 $\tau$ 的元素
  2. $\tau$ 的元素的任意并集是 $\tau$ 的元素
  3. $\tau$ 的有限多个元素的任意交集是 $\tau$ 的元素

　　 如果 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑，则对偶 $(X, \tau)$ 称为拓扑空间。可以使用符号 $X_\tau$ 来表示 $X$ 上带有特定拓扑 $\tau$ 的集合。

　　 $\tau$ 的成员称为 $X$ 中的开集。如果 $X$ 的一个子集的补集在 $\tau$ 中（即其补集是开集），则称该子集是闭集。$X$ 的一个子集可以是开集、闭集、两者（闭开集）或都不是。空集和 $X$ 本身总是既是闭集又是开集。

拓扑的基

　　 一个拓扑空间 $X$ 及其拓扑 $T$ 的基 $B$ 是 $T$ 中开集的一个集合，使得 $T$ 中的每个开集都可以写成 $B$ 中元素的并集。\(^\text{[3][4]}\) 我们说基 $B$ 生成了拓扑 $T$。基是有用的，因为拓扑的许多性质可以简化为关于生成该拓扑的基的陈述——并且许多拓扑可以通过定义生成它们的基来最容易地定义。

子空间与商空间

　　 每个拓扑空间的子集都可以赋予子空间拓扑，其中开集是大空间的开集与子集的交集。对于任何索引族的拓扑空间，可以赋予积空间积拓扑，该拓扑由在投影映射下，各个因子的开集的逆像生成。例如，在有限积中，积拓扑的基由所有开集的积组成。在无限积中，还需要额外的要求：在一个基本开集中的所有投影中，除了有限个投影之外，其他的投影都是整个空间。

　　 商空间定义如下：如果 $X$ 是一个拓扑空间，$Y$ 是一个集合，并且 $f : X \to Y$ 是一个满射函数，则 $Y$ 上的商拓扑是那些在 $f$ 下具有开逆像的 $Y$ 的子集。换句话说，商拓扑是使得 $f$ 连续的最细拓扑。商拓扑的一个常见例子是当在拓扑空间 $X$ 上定义一个等价关系时。此时，映射 $f$ 是到等价类集合的自然投影。

拓扑空间的例子

　　 给定的集合可以具有多种不同的拓扑。如果给一个集合赋予不同的拓扑，它就被视为一个不同的拓扑空间。

　　 离散拓扑与平凡拓扑

　　 任何集合都可以赋予离散拓扑，在该拓扑中，所有子集都是开集。在这种拓扑中，唯一收敛的序列或网是那些最终恒定的序列或网。此外，任何集合也可以赋予平凡拓扑（也叫不可分拓扑），在这种拓扑中，只有空集和整个空间是开集。在这种拓扑中的每个序列和网都收敛到空间的每一点。这个例子表明，在一般的拓扑空间中，序列的极限不一定是唯一的。然而，通常拓扑空间必须是豪斯多夫空间，在这种空间中极限点是唯一的。

　　 余有限拓扑与余可数拓扑

　　 任何集合都可以赋予余有限拓扑，在这种拓扑中，开集是空集和补集是有限集的集合。这是任何无限集合上的最小的 $T_1$ 拓扑。

　　 任何集合也可以赋予余可数拓扑，在这种拓扑中，如果一个集合是空集或者它的补集是可数的，则该集合被定义为开集。当集合是不可数时，这种拓扑在许多情况下作为反例。

　　 实数和复数的拓扑

　　 在 $\mathbf{R}$（实数集）上有许多方法可以定义拓扑。标准的实数拓扑是由开区间生成的。所有开区间的集合构成了该拓扑的基（或基底），这意味着每个开集都是从基中某些集合的并集。特别地，这意味着一个集合是开集，如果在该集合中的每个点周围都存在一个非零半径的开区间。更一般地，欧几里得空间 $\mathbf{R}^n$ 也可以赋予拓扑。在 $\mathbf{R}^n$ 的通常拓扑中，基本开集是开球。类似地，复数集 $\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{C}^n$ 也有一个标准拓扑，其中基本开集是开球。

　　 实数线也可以赋予下限拓扑。在这里，基本开集是半开区间 $[a, b)$。这种拓扑在实数集 $\mathbf{R}$ 上比上面定义的欧几里得拓扑要细致；如果一个序列在这种拓扑中收敛到一个点，当且仅当它在欧几里得拓扑中从上方收敛到该点。这个例子表明，一个集合可以有许多不同的拓扑定义。

　　 度量拓扑

　　 每个度量空间都可以赋予度量拓扑，其中基本开集是由度量定义的开球。这是任何赋范向量空间上的标准拓扑。在有限维向量空间中，对于所有范数，这个拓扑是相同的。

　　 更多例子

3. 连续函数

　　 连续性是通过邻域来表示的：如果且仅如果对于任何 $f(x)$ 的邻域 $V$，存在 $x$ 的一个邻域 $U$，使得 $f(U) \subseteq V$，那么函数 $f$ 在点 $x \in X$ 处是连续的。直观地说，连续性意味着无论 $V$ 多么"小"，总会存在一个包含 $x$ 的邻域 $U$，使得 $f$ 在 $U$ 上的像包含在 $V$ 内，并且 $f$ 的像包含 $f(x)$。这与以下条件是等价的：$Y$ 中的开（闭）集的原像在 $X$ 中是开（闭）集。在度量空间中，这一定义等价于在分析中常用的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义。

　　 一个极端的例子：如果集合 $X$ 赋予离散拓扑，那么到任何拓扑空间 $T$ 的所有函数 $$ f \colon X \rightarrow T~ $$ 都是连续的。另一方面，如果 $X$ 赋予不可离散拓扑，并且空间 $T$ 至少是 $T_0$ 空间，那么唯一的连续函数是常函数。反过来，任何值域是不可离散的函数都是连续的。

替代定义

　　 存在几种等价的拓扑结构定义，因此也有几种等价的方式来定义连续函数。

　　 邻域定义

　　 基于逆像的定义通常不容易直接使用。以下准则通过邻域来表达连续性：如果函数 $f$ 在某点 $x \in X$ 连续，当且仅当对于 $f(x)$ 的任意邻域 $V$，都存在 $x$ 的邻域 $U$，使得 $f(U) \subseteq V$。直观上，连续性意味着无论 $V$ 变得多么 “小”，总有一个包含 $x$ 的邻域 $U$，使得其映射落在 $V$ 内。

　　 如果 $X$ 和 $Y$ 是度量空间，那么考虑以 $x$ 和 $f(x)$ 为中心的开球的邻域系统，而不是所有邻域，这与在度量空间中的 δ-ε 连续性定义是等价的。然而，在一般的拓扑空间中，并没有邻近或距离的概念。

　　 然而需要注意的是，如果目标空间是豪斯多夫空间，仍然有 $f$ 在 $a$ 处连续当且仅当当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是 $f(a)$ 这一点成立。在孤立点处，每个函数都是连续的。

　　 序列和网

　　 在多个上下文中，空间的拓扑通常通过极限点来方便地指定。在许多情况下，这是通过指定一个点何时是序列的极限来实现的，但对于某些在某种意义上过于大的空间，也指定一个点何时是由一个有向集索引的更一般的点集的极限，这些点集被称为网。\(^\text{[5]}\) 一个函数只有在它将序列的极限映射到序列的极限时才是连续的。在前一种情况下，极限的保持也是足够的；在后一种情况下，一个函数可能保持所有序列的极限，但仍然不是连续的，保持网的极限是必要且充分的条件。

　　 详细来说，一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 如果每当 $X$ 中的序列 $(x_n)$ 收敛于极限 $x$ 时，序列 $(f(x_n))$ 收敛于 $f(x)$，则称该函数是序列连续的。\(^\text{[6]}\) 因此，序列连续的函数 “保持序列的极限”。每个连续函数都是序列连续的。如果 $X$ 是一个首数可数空间并且满足可数选择公理，那么反之亦然：任何保持序列极限的函数都是连续的。特别地，如果 $X$ 是度量空间，序列连续性和连续性是等价的。对于非首数可数空间，序列连续性可能严格弱于连续性。（对于这两种性质等价的空间称为序列空间。）这促使我们在一般拓扑空间中考虑网而非序列。连续函数保持网的极限，事实上，这一特性表征了连续函数。

　　 闭包算子定义

　　 与指定拓扑空间的开子集不同，拓扑也可以通过闭包算子（记作 cl）来确定，闭包算子将任意子集 $A \subseteq X$ 映射到其闭包，或者通过内核算子（记作 int）来确定，内核算子将任意子集 $A$ 映射到其内核。在这种情况下，一个函数 $$ f: (X, \mathrm{cl}) \to (X', \mathrm{cl'})~ $$ 在拓扑空间之间是连续的，当且仅当对于所有的子集 $A \subseteq X$，有 $$ f(\mathrm{cl}(A)) \subseteq \mathrm{cl'}(f(A)).~ $$ 也就是说，给定 $X$ 中任意一个元素 $x$ 属于某个子集 $A$ 的闭包，$f(x)$ 属于 $f(A)$ 的闭包。这等价于以下要求，对于 $X'$ 中所有的子集 $A'$，有 $$ f^{-1}(\mathrm{cl'}(A')) \supseteq \mathrm{cl}(f^{-1}(A')).~ $$ 此外， $$ f: (X, \mathrm{int}) \to (X', \mathrm{int'})~ $$ 是连续的，当且仅当对于 $X$ 中的任何子集 $A$，有 $$ f^{-1}(\mathrm{int'}(A)) \subseteq \mathrm{int}(f^{-1}(A)).~ $$

性质

　　 如果 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to Z$ 是连续的，那么它们的复合函数 $g \circ f: X \to Z$ 也是连续的。如果 $f: X \to Y$ 是连续的，并且

　　 对于固定集合 $X$，可能的拓扑是部分有序的：如果拓扑 $\tau_1$ 比另一个拓扑 $\tau_2$ 更粗（记作 $\tau_1 \subseteq \tau_2$），那么当且仅当每个在 $\tau_1$ 下是开的子集也是在 $\tau_2$ 下开的子集时，拓扑 $\tau_1$ 就是比 $\tau_2$ 更粗的。然后，恒等映射 $$ \text{id}_X: (X, \tau_2) \to (X, \tau_1)~ $$ 当且仅当 $\tau_1 \subseteq \tau_2$ 时是连续的（参见拓扑的比较）。更一般地，连续函数 $$ (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)~ $$ 如果将拓扑 $\tau_Y$ 替换为更粗的拓扑，和/或将拓扑 $\tau_X$ 替换为更细的拓扑，仍然保持连续性。

同胚映射

　　 与连续映射的概念对称的是开映射，其特征是开集的像也是开集。事实上，如果一个开映射 $f$ 存在逆函数，那么该逆函数是连续的；如果一个连续映射 $g$ 存在逆函数，那么该逆函数是开映射。对于两个拓扑空间之间的一个双射映射 $f$，其逆映射 $f^{-1}$ 不一定是连续的。一个双射连续映射，如果其逆映射也是连续的，则称该映射为同胚映射。

　　 如果一个连续双射的定义域是紧致空间，而它的值域是 Hausdorff 空间，那么该映射是同胚映射。

通过连续函数定义拓扑

　　 给定一个函数 $$ f \colon X \rightarrow S,~ $$ 其中 $X$ 是一个拓扑空间，$S$ 是一个集合（没有指定拓扑），则 $S$ 上的最终拓扑定义为：令 $S$ 的开集为那些子集 $A \subseteq S$，使得 $f^{-1}(A)$ 在 $X$ 中是开集。如果 $S$ 已经有一个现有拓扑，那么 $f$ 对应于该拓扑是连续的，当且仅当现有拓扑比 $S$ 上的最终拓扑更粗。由此，最终拓扑可以被描述为使得 $f$ 连续的最细拓扑。如果 $f$ 是满射，则这个拓扑与通过 $f$ 定义的等价关系下的商拓扑在规范上是等同的。

　　 对偶地，对于从集合 $S$ 到拓扑空间 $X$ 的函数 $f$，$S$ 上的初始拓扑的基是由那些形如 $f^{-1}(U)$ 的开集构成，其中 $U$ 在 $X$ 中是开集。如果 $S$ 已经有一个现有拓扑，则 $f$ 对应于该拓扑是连续的，当且仅当现有拓扑比 $S$ 上的初始拓扑更细。由此，初始拓扑可以被描述为使得 $f$ 连续的最粗拓扑。如果 $f$ 是单射，则这个拓扑与 $S$ 在 $X$ 中作为子集所拥有的子空间拓扑在规范上是等同的。

　　 集合 $S$ 上的拓扑由所有连续函数 $S \rightarrow X$ 到所有拓扑空间 $X$ 的类唯一确定。对偶地，可以对映射 $X \rightarrow S$ 应用类似的概念。

4. 紧致集

　　 正式地，拓扑空间 $X$ 被称为紧致的，如果其每一个开覆盖都有一个有限子覆盖。否则，它被称为非紧致。明确地，这意味着对于每一个任意的集合 $$ \{ U_{\alpha} \}_{\alpha \in A}~ $$ 的 $X$ 的开子集，满足 $$ X = \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha},~ $$ 存在 $A$ 的一个有限子集 $J$，使得 $$ X = \bigcup_{i \in J} U_i.~ $$ 一些数学分支，如代数几何，通常受到法国布尔巴基学派的影响，使用术语 “拟紧致” 来表示一般概念，并将 “紧致” 这一术语保留给既是豪斯多夫空间又是拟紧致的拓扑空间。紧致集有时被称为紧致体（compactum），复数形式为紧致体（compacta）。

　　 实数集 $R$ 中每个有限长度的闭区间都是紧致的。更进一步地，在 $R^n$ 中，一个集合当且仅当它是闭的且有界时才是紧致的。（见海涅-博雷尔定理）

　　 每个紧致空间的连续映像都是紧致的。

　　 豪斯多夫空间的紧致子集是闭集。

　　 每个从紧致空间到豪斯多夫空间的连续双射必然是同胚。

　　 每个紧致度量空间中点的序列都有一个收敛子序列。

　　 每个紧致的有限维流形都可以嵌入某个欧几里得空间 $R^n$。

5. 连通集

　　 一个拓扑空间 $X$ 如果是两个不相交的非空开集的并集，则称其为不连通的。否则，$X$ 被称为连通的。一个拓扑空间的子集，如果在其子空间拓扑下是连通的，则称该子集是连通的。一些作者将空集（具有唯一拓扑的空集）排除在连通空间之外，但本文不遵循这种做法。

　　 对于一个拓扑空间 $X$，以下条件是等价的：

  1. $X$ 是连通的。
  2. $X$ 不能被分割为两个不相交的非空闭集。
  3. $X$ 中唯一既是开集又是闭集（即连通集）的子集是 $X$ 和空集。
  4. $X$ 中唯一边界为空的子集是 $X$ 和空集。
  5. $X$ 不能表示为两个非空分离集的并集。
  6. 从 $X$ 到 $\{0,1\}$（这个空间赋予离散拓扑）的唯一连续函数是常数函数。
  7. 实数集 $R$ 中的每个区间都是连通的。

　　 连通空间的连续映像是连通的。

连通分支

　　 非空拓扑空间的最大连通子集（按包含关系排序）称为该空间的连通分支。任何拓扑空间 $X$ 的分支构成 $X$ 的一个划分：它们是互不相交的、非空的，并且它们的并集就是整个空间。每个分支都是原空间的闭子集。因此，在它们的数量有限的情况下，每个分支也是开子集。然而，如果它们的数量是无限的，则不一定如此；例如，有理数集的连通分支是单点集，而这些单点集并不是开集。

　　 设 $\Gamma_x$ 为拓扑空间 $X$ 中点 $x$ 的连通分支，且 $\Gamma_x'$ 为包含 $x$ 的所有开闭集的交集（称为 $x$ 的准分支）。那么，$\Gamma_x \subset \Gamma_x'$ 当且仅当 $X$ 是紧 Hausdorff 空间或局部连通时，二者相等。

非连通空间

　　 一个空间，如果它的所有分支都是单点集，则称其为完全非连通的。与此性质相关，空间 $X$ 被称为完全分离的，如果对于 $X$ 中的任何两个不同元素 $x$ 和 $y$，存在不相交的开邻域 $U$ 和 $V$，使得 $X$ 是 $U$ 和 $V$ 的并集。显然，任何完全分离的空间都是完全非连通的，但反之则不成立。例如，取两个有理数集 $\mathbf{Q}$ 的副本，并将它们在除零外的每个点上识别起来。由此得到的空间，采用商拓扑，是完全非连通的。然而，考虑零的两个副本，可以发现该空间并不是完全分离的。事实上，它甚至不是 Hausdorff 空间，且完全分离的条件严格强于 Hausdorff 空间的条件。

路径连通集

图
图 2：这个 $\mathbf{R}^2$ 的子空间是路径连通的，因为可以在空间中的任何两个点之间画出一条路径。

　　 路径从点 $x$ 到点 $y$,在拓扑空间 $X$ 中，从点 $x$ 到点 $y$ 的路径是一个从单位区间 $[0,1]$ 到 $X$ 的连续函数 $f$，其中 $f(0) = x$ 且 $f(1) = y$。 $X$ 的路径分量是 $X$ 下的一个等价类，等价关系使得如果从 $x$ 到 $y$ 存在路径，则 $x$ 与 $y$ 是等价的。 如果 $X$ 中的点之间存在一条路径将任意两点连接起来，则称 $X$ 是路径连通的（或称为路径可连接的或 0-连通的）；即，$X$ 至多有一个路径分量。许多作者会排除空集的情况。

　　 路径连通与连通性,每一个路径连通的空间都是连通的。然而，反过来并不总是成立：并不是所有连通的空间都是路径连通的。例如，扩展的长线 $L^*$ 和拓扑学正弦曲线就是连通但不路径连通的空间。

　　 然而，实数线 $R$ 的子集当且仅当是路径连通时才是连通的；这些子集是 $R$ 的区间。此外，$R^n$ 或 $C^n$ 的开子集当且仅当是路径连通时才是连通的。另外，对于有限拓扑空间，连通性和路径连通性是相同的。

6. 空间的积

　　 给定 $X$ 为 $$ X := \prod_{i \in I} X_i,~ $$ 即由索引集 $i \in I$ 定义的拓扑空间 $X_i$ 的笛卡尔积，并且定义了标准投影 $p_i : X \to X_i$，则 $X$ 上的积拓扑定义为使所有投影 $p_i$ 连续的最粗拓扑（即具有最少开放集的拓扑）。积拓扑有时也被称为 Tychonoff 拓扑。

　　 积拓扑中的开放集是由形如 $$ \prod_{i \in I} U_i,~ $$ 其中每个 $U_i$ 在 $X_i$ 中是开放集，并且仅有有限个 $U_i \neq X_i$ 的集合的并（有限的或无限的）。特别地，对于有限积（特别是两个拓扑空间的积），$X_i$ 的基元素的积给出了积空间 $$ \prod_{i \in I} X_i~ $$ 的基。

　　 $X$ 上的积拓扑是由形如 $p_i^{-1}(U)$ 的集合生成的拓扑，其中 $i \in I$ 且 $U$ 是 $X_i$ 的开放子集。换句话说，集合 $\{p_i^{-1}(U)\}$ 形成了 $X$ 上拓扑的一个子基。如果一个子集是开放的，那么它当且仅当是形如 $p_i^{-1}(U)$ 的有限个集合交集的（可能是无限个）并。$p_i^{-1}(U)$ 有时被称为开放圆柱体，它们的交集是圆柱集。

　　 一般而言，每个 $X_i$ 的拓扑的积形成了所谓的箱子拓扑（box topology）上的基。通常，箱子拓扑比积拓扑更精细，但对于有限积，它们是相同的。

　　 与紧致性相关的是 Tychonoff 定理：紧空间的（任意）积是紧的。

7. 分离公理

　　 这些名称在一些数学文献中有不同的含义，如《分离公理的历史》所解释的那样；例如，“normal” 和 “T4” 的含义有时会互换，类似地，“regular” 和 “T3” 也会有这种情况，等等。许多概念也有多个名称；然而，第一个列出的名称通常最不容易产生歧义。

　　 这些公理中的大多数都有不同的定义，但含义相同；这里给出的定义遵循一个一致的模式，涉及上一部分中定义的各种分离概念。其他可能的定义可以在各个单独的条目中找到。

　　 在以下所有定义中，$X$ 仍然是一个拓扑空间。

8. 计数公理

　　 计数公理是某些数学对象（通常是某个类别中的对象）的一个属性，要求存在一个具有特定属性的可数集，而没有这个公理，这些集可能不存在。

　　 拓扑空间中的重要计数公理：

　　 关系：

9. 度量空间

　　 一个度量空间是一个有序对 $(M, d)$，其中 $M$ 是一个集合，$d$ 是 $M$ 上的一个度量，即一个函数 $d: M \times M \to \mathbb{R}$ 对于任意 $x, y, z \in M$，满足以下条件：

  1. $d(x, y) \geq 0$（非负性），
  2. $d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$（不可分性），
  3. $d(x, y) = d(y, x)$（对称性），
  4. $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$（三角不等式）。

　　 函数 $d$ 也称为距离函数，简称为距离。通常，如果上下文明确，$d$ 可以省略，直接写 $M$ 来表示度量空间。

　　 每个度量空间都是准紧的和豪斯多夫的，因此是正常的。

　　 度量化定理提供了一个拓扑可以由度量生成的必要和充分条件。

10. Baire 类别定理

　　 Baire 类别定理表示：如果 $X$ 是一个完备的度量空间或局部紧豪斯多夫空间，那么每一个计数多个无处稠密集的并集的内涵都是空集。

　　 任何 Baire 空间的开子空间本身也是一个 Baire 空间。

11. 主要研究领域

图
图 3：三次佩亚诺曲线构造的迭代，其极限是一个填充空间的曲线。佩亚诺曲线在连续体理论中被研究，连续体理论是一般拓扑学的一个分支。

连续体理论

　　 连续体（复数形式为 continua）是一个非空紧致连通度量空间，或者更少见的是，紧致连通 Hausdorff 空间。连续体理论是拓扑学的一个分支，致力于研究连续体。这些对象在几乎所有的拓扑学和分析学领域中频繁出现，它们的性质足够强大，以产生许多 “几何” 特征。

动力系统

　　 拓扑动力学关注空间及其子空间在时间上受到连续变化时的行为。许多与物理学和其他数学领域相关的例子包括流体动力学、台球和流形上的流动。分形几何中的分形的拓扑特征、复动力学中的朱利亚集和曼德博集，以及微分方程中的吸引子，通常对于理解这些系统至关重要。

无点拓扑

　　 无点拓扑（也称为无点或无点式拓扑）是一种避免提及点的拓扑学方法。‘无点拓扑’这一名称来源于约翰·冯·诺依曼。\(^\text{[9]}\) 无点拓扑的思想与 “仅区域拓扑” 密切相关，在这种拓扑中，区域（集合）被视为基础对象，而无需明确提及底层的点集。

维数理论

　　 维数理论是一般拓扑学的一个分支，研究拓扑空间的维数不变量。

拓扑代数

　　 一个拓扑代数 $A$ 在拓扑域 $K$ 上是一个拓扑向量空间，并且配备了一个连续的乘法映射 $$ \cdot : A \times A \longrightarrow A~ $$ $$ (a,b) \longmapsto a \cdot b~ $$ 使得它成为 $K$ 上的代数。如果一个单位元的结合拓扑代数是一个拓扑环。

　　 这个术语是由 David van Dantzig 创造的；它出现在他 1931 年博士论文的标题中。

度量化理论

　　 在拓扑学及相关数学领域，度量空间是一个与度量空间同胚的拓扑空间。即，拓扑空间 $(X, \tau)$ 被称为度量化的，如果存在一个度量 $$ d: X \times X \to [0, \infty)~ $$ 使得由 $d$ 诱导的拓扑就是 $\tau$。度量化定理是给出拓扑空间可度量化的充分条件的定理。

集合论拓扑学

　　 集合论拓扑学是一个结合了集合论和一般拓扑学的学科。它关注的是独立于 Zermelo–Fraenkel 集合论 (ZFC) 的拓扑问题。一个著名的问题是正常 Moore 空间问题，这是一般拓扑学中的一个问题，曾是广泛研究的主题。最终，正常 Moore 空间问题的答案被证明与 ZFC 无关。

12. 另见

13. 参考文献

  1. Munkres, James R. 《拓扑学》。第二卷。Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  2. Adams, Colin Conrad, 和 Robert David Franzosa. 《拓扑学导论：纯粹与应用》。Pearson Prentice Hall, 2008.
  3. Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). 《化学中的拓扑方法》。纽约: John Wiley & Sons. 第 16 页. ISBN 0-471-83817-9. 2012 年 7 月 27 日检索. 定义：一个拓扑空间(X,T)的子集集合 B 称为 T 的基，如果每个开集都可以表示为 B 中成员的并集.
  4. Armstrong, M. A. (1983). 《基础拓扑学》。Springer. 第 30 页. ISBN 0-387-90839-0. 2013 年 6 月 13 日检索. 假设我们在集合 X 上有一个拓扑，并且有一个集合β，使得每个开集都是β中成员的并集。那么，β称为拓扑的基...
  5. Moore, E. H.; Smith, H. L. (1922). "限制的一般理论"。《美国数学杂志》。44 (2): 102–121. doi:10.2307/2370388. JSTOR 2370388.
  6. Heine, E. (1872). "函数论的元素"。《纯粹与应用数学杂志》。74: 172–188.
  7. Maurice Fréchet 在其作品《关于功能分析的一些问题》中介绍了度量空间，Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
  8. R. Baire. 《实变量函数》。Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
  9. Garrett Birkhoff, VON NEUMANN AND LATTICE THEORY, John Von Neumann 1903-1957, J. C. Oxtoley, B. J. Pettis, American Mathematical Soc., 1958, 第 50-55 页.

14. 进一步阅读

　　 一些关于一般拓扑学的标准书籍包括：

15. 外部链接

　　 有关一般拓扑学的媒体资料，见维基共享资源（Wikimedia Commons）。


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