贡献者： 叶月2_
位力定理是质点组力学在统计上的一个应用。在保守系下，该定理展示了 “长时间” 后系统的动能平均值及势能平均值的关系。作为牛顿力学的推论，位力定理可用于热力学中玻意耳定律的证明，可用于大尺度星系质量的估算。经典力学和量子力学的关系如此密切，你也很容易猜到，位力定理必然也会 “出现” 于量子力学中。
（注：本文使用爱因斯坦求和约定，即 $x_i y_i=\Sigma x_i y_i$。另，物理量头上一点代表对时间求导）
设 n 个质点组成一质点系，$G= \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$，由链式法则我们有：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_i\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} _i+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot\dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }_i=2T+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~.
\end{equation}
在统计上，某物理量 $F$ 的时间平均值常被定义为 $\overline{F}=\frac{1}{t}\int Fdt $。同理
\begin{equation}
\overline{\frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} }}=\frac{1}{t}\int \frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} =2\overline{ T}+\overline{{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i}}~.
\end{equation}
定理 1 位力定理
对于 $\overline{\frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} }}=0,
\overline{ T}=-\frac{1}{2}\overline{{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i}}~.$
由于 $\frac{1}{t}\int \frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} =\frac{1}{t}G\big|_{t_0}^{t_1}$，位力定理成立的场景很多，比如束缚态体系，$\lim \limits_{t \to \infty}G\big|_{t_0}^{t_1}\leq \left|{G_{max}-G_{min}}\right|$，即分母为有限值，则无穷远时间后定理所需的条件成立。
推论 1 势能为齐次线性函数
容易证明，当系统为保守系，势能为齐次函数，即 $V(ax,ay,az)=a^nV(x,y,z)$ 时，有 $n\overline{V}=2\overline{T}$
proof.对于保守系，我们有 $r_i\cdot F_i=r_i\cdot \nabla_i V$ 根据齐次函数的欧拉定理，我们有 $r_i\cdot \nabla_i V=n V$。定理得证。
习题 1 玻意耳定律的证明
提示：利用高斯定理。
星系质量估算
在星系质量的估算中，把星系看成一质点系，简化动能形式即可利用位力定理求得星系质量。
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