位力定理

                     

贡献者: 叶月2_

   位力定理是质点组力学在统计上的一个应用。在保守系下,该定理展示了 “长时间” 后系统的动能平均值及势能平均值的关系。作为牛顿力学的推论,位力定理可用于热力学中玻意耳定律的证明,可用于大尺度星系质量的估算。经典力学和量子力学的关系如此密切,你也很容易猜到,位力定理必然也会 “出现” 于量子力学中。

   (注:本文使用爱因斯坦求和约定,即 $x_iy_i=\Sigma x_iy_i$。另,物理量头上一点代表对时间求导)

   设 n 个质点组成一质点系,$G=\boldsymbol{r_i\cdot p_i}$,由链式法则我们有:

未完成:几何矢量请使用 \bvec{r}

\begin{equation} \frac{dG}{dt}=\boldsymbol{\dot{r}_i\cdot p_i}+\boldsymbol{r_i\cdot\dot{p}_i}=2T+\boldsymbol{r_i\cdot F_i}~. \end{equation}
在统计上,某物理量 $F$ 的时间平均值常被定义为 $\overline{F}=\frac{1}{t}\int Fdt $。同理
\begin{equation} \overline{\frac{dG}{dt}}=\frac{1}{t}\int \frac{dG}{dt}dt=2\overline{ T}+\overline{\boldsymbol{r_i\cdot F_i}}~. \end{equation}

定理 1 位力定理

   对于 $\overline{\frac{dG}{dt}}=0, \overline{ T}=-\frac{1}{2}\overline{\boldsymbol{r_i\cdot F_i}}~.$

   由于 $\frac{1}{t}\int \frac{dG}{dt}dt=\frac{1}{t}G\big|_{t_0}^{t_1}$,位力定理成立的场景很多,比如束缚态体系,$\lim \limits_{t \to \infty}G\big|_{t_0}^{t_1}\leq \left|{G_{max}-G_{min}}\right|$,即分母为有限值,则无穷远时间后定理所需的条件成立。

推论 1 势能为齐次线性函数

   容易证明,当系统为保守系,势能为齐次函数,即 $V(ax,ay,az)=a^nV(x,y,z)$ 时,有 $n\bar{V}=2\bar{T}$

   proof.对于保守系,我们有 $r_i\cdot F_i=r_i\cdot \nabla_i V$ 根据齐次函数的欧拉定理,我们有 $r_i\cdot \nabla_i V=n V$。定理得证。

习题 1 玻意耳定律的证明

   提示:利用高斯定理。

星系质量估算

   在星系质量的估算中,把星系看成一质点系,简化动能形式即可利用位力定理求得星系质量。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利