位力定理

贡献者：叶月2_

　　位力定理是质点组力学在统计上的一个应用。在保守系下，该定理展示了 “长时间” 后系统的动能平均值及势能平均值的关系。作为牛顿力学的推论，位力定理可用于热力学中玻意耳定律的证明，可用于大尺度星系质量的估算。经典力学和量子力学的关系如此密切，你也很容易猜到，位力定理必然也会 “出现” 于量子力学中。

　　（注：本文使用爱因斯坦求和约定，即 $x_{i} y_{i} = Σ x_{i} y_{i}$ 。另，物理量头上一点代表对时间求导）

　　设 n 个质点组成一质点系， $G = r_{i} \cdot p_{i}$ ，由链式法则我们有：

\begin{matrix} (1) & \frac{d G}{d t} = {\dot{r}}_{i} \cdot p_{i} + r_{i} \cdot {\dot{p}}_{i} = 2 T + r_{i} \cdot F_{i} . \end{matrix}

在统计上，某物理量

F

的时间平均值常被定义为

\overset{―}{F} = \frac{1}{t} \int F d t

。同理

\begin{matrix} (2) & \overset{―}{\frac{d G}{d t}} = \frac{1}{t} \int \frac{d G}{d t} d t = 2 \overset{―}{T} + \overset{―}{r_{i} \cdot F_{i}} . \end{matrix}

定理 1　位力定理

　　对于 $\overset{―}{\frac{d G}{d t}} = 0, \overset{―}{T} = - \frac{1}{2} \overset{―}{r_{i} \cdot F_{i}} .$

　　由于 $\frac{1}{t} \int \frac{d G}{d t} d t = \frac{1}{t} G |_{t_{0}}^{t_{1}}$ ，位力定理成立的场景很多，比如束缚态体系， $lim_{t \to \infty} G |_{t_{0}}^{t_{1}} \leq | G_{m a x} - G_{m i n} |$ ，即分母为有限值，则无穷远时间后定理所需的条件成立。

推论 1　势能为齐次线性函数

　　容易证明，当系统为保守系，势能为齐次函数，即 $V (a x, a y, a z) = a^{n} V (x, y, z)$ 时，有 $n \overset{―}{V} = 2 \overset{―}{T}$

　　 proof.对于保守系，我们有 $r_{i} \cdot F_{i} = r_{i} \cdot \nabla_{i} V$ 根据齐次函数的欧拉定理，我们有 $r_{i} \cdot \nabla_{i} V = n V$ 。定理得证。

习题 1　玻意耳定律的证明

　　提示：利用高斯定理。

星系质量估算

　　在星系质量的估算中，把星系看成一质点系，简化动能形式即可利用位力定理求得星系质量。

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位力定理

定理 1 位力定理

推论 1 势能为齐次线性函数

习题 1 玻意耳定律的证明

星系质量估算

定理 1　位力定理

推论 1　势能为齐次线性函数

习题 1　玻意耳定律的证明