位力定理

                     

贡献者: 叶月2_

   位力定理是质点组力学在统计上的一个应用。在保守系下,该定理展示了 “长时间” 后系统的动能平均值及势能平均值的关系。作为牛顿力学的推论,位力定理可用于热力学中玻意耳定律的证明,可用于大尺度星系质量的估算。经典力学和量子力学的关系如此密切,你也很容易猜到,位力定理必然也会 “出现” 于量子力学中。

   (注:本文使用爱因斯坦求和约定,即 $x_i y_i=\Sigma x_i y_i$。另,物理量头上一点代表对时间求导)

   设 n 个质点组成一质点系,$G= \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$,由链式法则我们有:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_i\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} _i+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot\dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }_i=2T+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~. \end{equation}
在统计上,某物理量 $F$ 的时间平均值常被定义为 $\overline{F}=\frac{1}{t}\int Fdt $。同理
\begin{equation} \overline{\frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} }}=\frac{1}{t}\int \frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} =2\overline{ T}+\overline{{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i}}~. \end{equation}

定理 1 位力定理

   对于 $\overline{\frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} }}=0, \overline{ T}=-\frac{1}{2}\overline{{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i}}~.$

   由于 $\frac{1}{t}\int \frac{ \,\mathrm{d}{G} }{ \,\mathrm{d}{t} } \,\mathrm{d}{t} =\frac{1}{t}G\big|_{t_0}^{t_1}$,位力定理成立的场景很多,比如束缚态体系,$\lim \limits_{t \to \infty}G\big|_{t_0}^{t_1}\leq \left|{G_{max}-G_{min}}\right|$,即分母为有限值,则无穷远时间后定理所需的条件成立。

推论 1 势能为齐次线性函数

   容易证明,当系统为保守系,势能为齐次函数,即 $V(ax,ay,az)=a^nV(x,y,z)$ 时,有 $n\overline{V}=2\overline{T}$

   proof.对于保守系,我们有 $r_i\cdot F_i=r_i\cdot \nabla_i V$ 根据齐次函数的欧拉定理,我们有 $r_i\cdot \nabla_i V=n V$。定理得证。

习题 1 玻意耳定律的证明

   提示:利用高斯定理。

星系质量估算

   在星系质量的估算中,把星系看成一质点系,简化动能形式即可利用位力定理求得星系质量。


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