西梅翁·德尼·泊松（综述）

                     

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图 1

　　 西缅·德尼·泊松男爵（Baron Siméon Denis Poisson，/pwɑːˈsɒ̃/，美式亦作 /ˈpwɑːsɒn/，法语发音：[si.me.ɔ̃ də.ni pwa.sɔ̃]；1781 年 6 月 21 日－1840 年 4 月 25 日）是一位法国数学家和物理学家，研究领域包括统计学、复分析、偏微分方程、变分法、解析力学、电磁学、热力学、弹性力学与流体力学。此外，他在试图反驳奥古斯丁·让·菲涅耳的波动理论时，意外预测了 “阿拉戈斑点” 的存在。

1. 生平

　　 泊松出生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶（今属卢瓦雷省），是法国陆军军官西缅·泊松的儿子。

　　 1798 年，他以年级第一的成绩进入巴黎综合理工学院，很快便引起校内教授们的注意，并被允许自由选择研究方向。在入学不到两年的最后一年学习中，他发表了两篇论文：一篇是关于埃蒂安·贝祖消元法的研究，另一篇是关于有限差分方程积分个数的探讨。这些成果令教授们极为赞赏，以至于他在 1800 年未参加毕业考试的情况下被特别准许毕业。\(^\text{[2][3]}\) 第二篇论文由西尔维斯特-弗朗索瓦·拉克鲁瓦和阿德里安-玛丽·勒让德审阅，并推荐发表在《外国学者文集》上——这对当时年仅十八岁的泊松来说是史无前例的荣誉。

　　 这一成功迅速使泊松进入了科学界。约瑟夫-路易·拉格朗日在综合理工学院开设函数论课程，泊松是他的听众之一，很早便发现了他的才华，并成为他的朋友。同时，泊松亦追随皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的学术道路，后者几乎将他视为自己的儿子。

　　 此后，泊松的余生一直在巴黎附近的索镇从事科研工作，撰写并发表了大量学术成果，并陆续担任了多个教育机构的重要职位，直至去世。\(^\text{[4]}\)

　　 他在巴黎综合理工学院完成学业后，即被任命为该校的助教。实际上，他在还是学生时就已非正式地担任这一角色——因为每当某堂课特别难时，同学们常常会在课后去他宿舍听他复述和讲解课程内容。他于 1802 年被正式任命为代教授，1806 年接替被拿破仑派往格勒诺布尔的让-巴普蒂斯特·约瑟夫·傅里叶，晋升为正教授。

　　 1808 年，他成为法国经度局的天文学家；1809 年巴黎科学院理学院设立后，他被任命为理论力学教授。他于 1812 年成为科学院成员，1815 年担任圣西尔军事学院的考试官，1816 年起任综合理工学院的毕业考试官，1820 年出任大学理事会委员，1827 年继皮埃尔-西蒙·拉普拉斯之后担任法国经度局的几何学家。\(^\text{[4]}\)

　　 1817 年，泊松与南希·德·巴尔迪（Nancy de Bardi）结婚，两人育有四个孩子。他的父亲早年经历使其对贵族深恶痛绝，因此在第一共和国时期以严厉的共和主义信条教育他。在法国大革命、拿破仑帝国以及随后的王政复辟时期，泊松始终对政治不感兴趣，而是专注于数学研究。

　　 1825 年，他被授予男爵头衔的荣誉，\(^\text{[4]}\) 但他既没有申请正式文凭，也未曾使用这一称号。1818 年 3 月，他被选为英国皇家学会院士，\(^\text{[5]}\)1822 年成为美国艺术与科学院的外籍荣誉会员，\(^\text{[6]}\)1823 年当选为瑞典皇家科学院外籍院士。

　　 1830 年七月革命期间，他的所有荣誉一度面临被剥夺的威胁；但这一可能给路易-菲利普政府带来耻辱的事件，被弗朗索瓦·让·多米尼克·阿拉戈巧妙化解。当时政府正密谋撤销泊松的职位，而阿拉戈则促成他获邀前往王宫用餐，并在那里受到市民之王（路易-菲利普）公开而热情的接待，国王 “想起了” 他。有了这番公开的肯定，他的降职自然无法实施。七年后，他被授予法国贵族院议员的身份，这并非出于政治目的，而是作为法国科学界的代表。\(^\text{[4]}\)

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图 2

　　 据说，作为一位数学教师，泊松极为成功，这一点也许早在他担任巴黎综合理工学院助教时便已显露无疑。尽管他身兼多项官方职责，却仍设法发表了三百多篇著作，其中有若干篇为内容庞大的专著，还有许多论文探讨纯数学、应用数学、数学物理及理性力学中最为艰深的分支 \(^\text{[4]}\)（阿拉戈曾将这样一句话归于泊松：“人生唯二有意义之事：一是做数学，二是教数学。”\(^\text{[7]}\)

　　 阿拉戈的传记末尾列出了泊松亲自整理的著作目录。在此只能简要提及他最重要的部分作品。泊松对科学的最大贡献，或许就是将数学应用于物理领域。他最具原创性、同时也最具持久影响力的成果，可能就是那些关于电与磁理论的论文，这些论文实际上开创了数学物理学的一个全新分支。\(^\text{[4]}\)

　　 在泊松的诸多成就中，仅次于（或在某些人看来甚至超过）他在电磁理论上的工作的重要成果，是他在天体力学领域的多篇论文，在这些论文中，他展现出自己作为皮埃尔-西蒙·拉普拉斯真正继承者的才能。其中最重要的包括：《论行星平均运动的长期不等式》，《论力学问题中任意常数的变化》，这两篇均发表于《综合理工学院学报》（Journal de l'École Polytechnique，1809）；《论月球的纵摆》，载于《星历年鉴》（Connaissance des temps，1821）；《论地球绕其质心的运动》，发表于《科学院纪要》（Mémoires de l'Académie，1827）等。在第一篇论文中，泊松探讨了著名的行星轨道稳定性问题。拉格朗日曾在摄动力的一阶近似下解决了这个问题，而泊松则将结果推广到了二阶近似，从而在行星理论上取得重要突破。这篇论文非比寻常，因为它激励了长时间沉寂的拉格朗日在晚年创作出他最伟大的论文之一：《论行星元素变化的理论，特别是轨道长半轴变化的理论》。拉格朗日对泊松的论文评价极高，亲手抄写了一份，并在他去世后被发现保存在遗稿中。泊松还对引力理论作出了重要贡献。\(^\text{[4]}\)

　　 为表彰他横跨纯数、应用数与物理学的三百余篇科学著作，法国政府于 1837 年授予他贵族头衔。

　　 他的名字也被镌刻在埃菲尔铁塔上的 72 位杰出科学家之中。

2. 贡献

势理论

　　 泊松方程

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图 3：本科教材封面上，以国际单位制表示的电学泊松方程（上部）和磁学泊松方程（下部）。

　　 在势理论中，泊松方程 $$ \nabla^2 \phi = -4\pi \rho~ $$ 是拉普拉斯方程（$\nabla^2 \phi = 0$）的一个著名推广形式，其中 $\phi$ 表示势函数。

　　 如果 $\rho(x, y, z)$ 是一个连续函数，并且当 $r \to \infty$（即某点 “趋于无穷远”）时，函数 $\phi$ 足够快地趋于 0，则泊松方程的解是牛顿势： $$ \phi = -\frac{1}{4\pi} \iiint \frac{\rho(x, y, z)}{r} \, dV~ $$ 其中，$r$ 表示体元 $dV$ 与某一点 $P$ 之间的距离。积分在整个空间中进行。

　　 泊松方程最初发表于《哲学学会通报》（Bulletin de la société philomatique，1813 年）。\(^\text{[4]}\) 泊松在该主题上最重要的两篇论文是《关于旋转椭球体的引力》（Sur l'attraction des sphéroides，发表于《历书知识》，1829 年）和《关于均质椭球体的引力》（Sur l'attraction d'un ellipsoïde homogène，发表于《科学院回忆录》，1835 年）。\(^\text{[4]}\)

　　 泊松发现拉普拉斯方程只在实物体之外才成立。对密度变化的物体给出严谨证明的，是卡尔·弗里德里希·高斯，于 1839 年完成。泊松方程不仅适用于引力问题，也适用于电和磁的现象。\(^\text{[8]}\)

　　 电与磁

　　 到了 18 世纪末，人类对静电学的理解已趋于成熟。本杰明·富兰克林已确立了电荷的概念以及电荷守恒定律；查尔斯-奥古斯丁·库仑提出了静电作用的反平方定律。1777 年，约瑟夫-路易·拉格朗日引入了势函数的概念，可用于计算具有空间分布的物体的引力。1812 年，泊松将这一思想应用于电学，推导出了电势函数 $V$ 与电荷密度 $\rho$ 之间的对应表达式。\(^\text{[9]}\) 泊松在势理论方面的工作启发了乔治·格林于 1828 年发表论文《数学分析在电与磁理论中的应用尝试》。

　　 1820 年，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特德展示了电路的闭合或断开能够使邻近的磁针偏转，从而引发了一系列试图解释该现象的论文。安培定律和毕奥–萨伐尔定律也随之被迅速推导出来。电磁学这一科学领域由此诞生。泊松当时也在研究磁现象，尽管他坚持将电与磁作为两个独立现象来处理。他于 1826 年发表了两篇关于磁学的论文。\(^\text{[10]}\) 到了 1830 年代，电学研究中的一个重大问题是：电究竟是一种独立于物质的流体，还是仅是一种作用于物质的作用力（如引力）？库仑、安培和泊松等人认为电是一种独立于物质的流体。而迈克尔·法拉第在他的实验研究中（始于电解现象）则试图否定这一观点。法拉第认为，电是物质的一部分。\(^\text{[11]}\)

光学

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图 4：一个直径为 5.8 毫米的圆形障碍物阴影中出现的阿拉戈亮斑照片。

　　 泊松是法国科学院所属的法兰西学术院中学术 “保守派” 的一员，这一派坚定地信奉光的微粒说，对其替代理论——波动说持怀疑态度。1818 年，科学院将年度奖项的研究主题设定为 “衍射”。其中一位参赛者、土木工程师兼光学家奥古斯丁-让·菲涅耳提交了一篇论文，使用惠更斯-菲涅耳原理和杨氏双缝实验的分析结果，解释了光的衍射现象。\(^\text{[12]}\)

　　 泊松详细研究了菲涅耳的理论，并试图寻找反驳它的方法。他认为自己发现了一个漏洞：菲涅耳的理论预测，在一个圆形遮挡物的阴影中央，即光源正后的阴影中心，会出现一个亮点，而根据光的微粒说，那里应当是完全黑暗的。泊松认为这是荒谬的，进而断定菲涅耳的模型是错误的。（这种亮点在日常情况下不易观察到，因为普通光源并不是理想的点光源。）

　　 委员会主席多米尼克-弗朗索瓦-让·阿拉戈亲自进行了实验。他用蜡把一个直径 2 毫米的金属圆盘固定在一块玻璃片上。\(^\text{[13]}\) 出乎所有人意料，他观察到了预测中的亮点，从而证实了波动模型的正确性。最终，菲涅耳赢得了该奖项。

　　 自此之后，光的微粒说在 19 世纪的形式中被彻底否定，虽然它在 20 世纪以波粒二象性的形式得以复兴。后来，阿拉戈指出，这个衍射亮点（后来被称为 “阿拉戈亮斑” 或 “泊松亮斑”）早在一个世纪前就已被约瑟夫-尼古拉·德利尔 \(^\text{[13]}\) 和贾科莫·F·马拉尔迪 \(^\text{[14]}\) 观察到。

纯数学与统计学

　　 在纯数学领域，泊松最重要的成果是他关于定积分的一系列论文，以及他对傅里叶级数的研究，后者为彼得·古斯塔夫·勒热讷·狄利克雷和伯恩哈德·黎曼在同一主题上的经典研究铺平了道路；这些成果发表于 1813 年至 1823 年间的《综合理工学院期刊》以及 1823 年的《科学院回忆录》中。他还研究了傅里叶积分。\(^\text{[4]}\)

　　 泊松还撰写了关于变分法的论文（《科学院回忆录》，1833 年），以及关于观测平均结果概率的论文（《历书知识》，1827 年等）。概率论中的 “泊松分布” 正是以他的名字命名的。\(^\text{[4]}\)

　　 1820 年，泊松研究了复平面上沿路径的积分，成为第一个在该领域进行研究的人。\(^\text{[15]}\)

　　 1829 年，泊松发表了一篇关于弹性体的论文，其中陈述并证明了一个后来被称为 “散度定理” 的特殊情形。\(^\text{[16]}\)

力学

　　 解析力学与变分法

　　 变分法主要由莱昂哈德·欧拉和约瑟夫-路易斯·拉格朗日在十八世纪奠定基础，在十九世纪得到了进一步的发展和应用。

　　 设 $$ S = \int_a^b f(x, y(x), y'(x))\,dx~ $$ 其中 $y' = \frac{dy}{dx}$ 则当函数 $S$ 满足欧拉-拉格朗日方程时取得极值： $$ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = 0~ $$ 但如果 $S$ 依赖于函数 $y(x)$ 的高阶导数，即 $$ S = \int_a^b f\left(x, y(x), y'(x), \dots, y^{(n)}(x)\right)\,dx~ $$ 则 $y$ 必须满足欧拉-泊松方程： $$ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) + \cdots + (-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}} \right) = 0~ $$ 泊松的《力学论》（Traité de mécanique，两卷八开本，出版于 1811 年和 1833 年）采用拉普拉斯和拉格朗日的风格编写，长期以来被视为权威著作之一。[4] 设 $q$ 为广义坐标，$T$ 为动能，$V$ 为势能，且二者均与时间 $t$ 无关。拉格朗日的运动方程为：\(^\text{[17]}\) $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial V}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n~ $$ 这里使用了点号表示时间导数，即 $\frac{dq}{dt} = \dot{q}$ 泊松设 $L = T - V$ 并指出若势能 $V$ 不依赖于 $\dot{q}_i$，则有 $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}~ $$ 因此可得出 \(^\text{[17]}\) $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0~ $$ 他还引入了动量的显式表达式：\(^\text{[17]}\) $$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}~ $$ 由此，根据运动方程，他得出：\(^\text{[17]}\) $$ \dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}~ $$ 泊松的著作对威廉·罗温·哈密顿和卡尔·古斯塔夫·雅可比的工作产生了重要影响。泊松的《力学论》英文译本于 1842 年在伦敦出版。在 1809 年提交给法兰西学院的一篇论文中，泊松引入了一种括号运算，现在被称为泊松括号。\(^\text{[19]}\)

　　 设 $u$ 和 $v$ 是运动的正则变量 $q$ 和 $p$ 的函数，则它们的泊松括号定义为： $$ [u, v] = \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial v}{\partial q_i}^\text{[20]}~ $$ 显然，该运算是反对易的。更准确地说：$[u, v] = -[v, u]$\(^\text{[20]}\) 根据哈密顿运动方程，函数 $u = u(q, p, t)$ 的全时间导数为： $$ \begin{aligned} \frac{du}{dt} &= \frac{\partial u}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial u}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial u}{\partial t} \\ &= \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} + \frac{\partial u}{\partial t} \\ &= [u, H] + \frac{\partial u}{\partial t} \end{aligned}~ $$ 其中 $H$ 是哈密顿量。用泊松括号表示，哈密顿运动方程可以写成：$\dot{q}_i = [q_i, H]$ 和 $\dot{p}_i = [p_i, H]$\(^\text{[20]}\) 假设 $u$ 是一个守恒量（常量），那么它必须满足： $$ [H, u] = \frac{\partial u}{\partial t}~ $$ 此外，泊松定理指出：任意两个守恒量的泊松括号本身也是一个守恒量。\(^\text{[20]}\)

　　 泊松最初引入泊松括号，是在尝试求解由于行星轨道摄动理论所产生的运动方程时进行的。但真正认识到泊松括号在理论力学中巨大价值的，是雅可比。他在 1842–1843 学年于哥尼斯堡大学讲授动力学课程时，提出了著名的 “雅可比恒等式”，这可以用来证明泊松定理。\(^\text{[19]}\)

　　 1925 年 9 月，保罗·狄拉克收到了一篇由维尔纳·海森堡撰写的重要论文的校样，该论文涉及一个新兴的物理分支——量子力学。狄拉克很快意识到这篇论文的核心思想是：动力学变量的非对易性（反对易性），而他立刻想起，在经典力学中有一个类似的数学结构——泊松括号。随后，他在 E. T. Whittaker 所著的《粒子与刚体的分析力学》中找到了他所需的数学处理方法。\(^\text{[21][22]}\)

　　 连续介质力学与流体流动

　　 1821 年，克洛德-路易·纳维叶通过类比弹性体，推导出了描述黏性流体运动的基本方程，这就是今天所称的 Navier–Stokes 方程。1829 年，泊松独立地得出了同样的结果。乔治·加布里埃尔·斯托克斯则在 1845 年利用连续介质力学重新推导了这些方程。\(^\text{[23]}\)

　　 在 19 世纪，泊松、奥古斯丁-路易·柯西和苏菲·热尔曼是弹性理论的主要奠基人。变分法在求解这些问题中被频繁使用。\(^\text{[17]}\)

　　 波传播

　　 泊松还发表过一篇关于波动理论的论文（《科学院纪要》，1825 年）。\(^\text{[4]}\)

热力学

　　 在对热传导的研究中，约瑟夫·傅里叶提出，任意函数都可以表示为一个无限三角级数，并明确指出可以根据问题的背景使用贝塞尔函数和勒让德多项式展开函数。由于傅里叶在数学处理上的不严谨，他的观点在当时一度未被广泛接受。尽管最初持怀疑态度，泊松最终还是采纳了傅里叶的方法。自 1815 年起，他研究了多个关于热传导的问题，并于 1835 年发表了《热的数学理论》一书。\(^\text{[24]}\)

　　 19 世纪初，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯基于旧的热质说构建了一个关于气体的精致但带有推测性的理论描述，而像泊松这样的年轻科学家则对这一旧理论并不完全认同。拉普拉斯在理论上的一个成功之处是对牛顿空气中声速公式的修正，该公式经修正后与实验结果更为吻合。这个被称为牛顿–拉普拉斯公式的表达涉及气体在定容（$c_V$）和定压（$c_P$）下的比热容。

　　 1823 年，泊松重新审视了他导师拉普拉斯的工作，在不借助此前复杂假设的前提下，得出了相同的结果。此外，通过使用玻意耳定律和盖–吕萨克定律，泊松导出了气体在绝热变化过程中所遵循的公式：$PV^\gamma = \text{常数}$ 其中 $P$ 是气体的压力，$V$ 是体积，而 $\gamma = \frac{c_P}{c_V}$ 是气体的绝热指数。\(^\text{[25]}\)

其他著作

　　 除了大量的论文外，泊松还出版了多部专著，其中大多数原本计划作为一部关于数学物理的鸿篇巨制的一部分，但他未能在生前完成这一计划。以下是其中一些著作：\(^\text{[4]}\)

　　 另外还有：

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图 5：《弹道体在空气中运动的研究》（1839 年）标题页
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图 6：《关于定积分数值计算的回忆录》（1826 年）

3. 与埃瓦里斯特·伽罗瓦的互动

　　 在政治活动家埃瓦里斯特·伽罗瓦因被逐出高等师范学院而重新回归数学后，泊松曾要求他提交关于方程理论的研究成果。伽罗瓦于 1831 年 1 月提交了他的论文。7 月初，泊松宣布伽罗瓦的工作 “难以理解”，但鼓励他 “发表全部研究，以便形成一个最终的判断”。\(^\text{[26]}\) 尽管泊松的报告是在伽罗瓦于 1831 年 7 月 14 日被捕之前完成的，但直到 10 月才送达狱中的伽罗瓦。考虑到伽罗瓦当时的性格与境况，他强烈决定不通过科学院发表论文，而是通过他的朋友奥古斯特·谢瓦利耶私下出版。然而，伽罗瓦并未忽视泊松的建议。他在狱中开始整理所有的数学手稿，并继续打磨自己的思想，直到 1832 年 4 月 29 日获释。\(^\text{[27]}\) 在这之后，他在某种程度上被说服参与了一场最终导致其丧命的决斗。\(^\text{[28]}\)

4. 另见

5. 参考资料

  1. “Poisson”，《柯林斯英语词典》。
  2. “Siméon-Denis Poisson - 传记”，《数学史》。检索于 2022 年 6 月 1 日。
  3. Grattan-Guinness, Ivor (2005)，《1794–1850 年间的 “综合理工学院”：关于教育目的与教学实践的分歧》，《美国数学月刊》，第 112 卷第 3 期，第 233–250 页，doi:10.2307/30037440，ISSN 0002-9890，JSTOR 30037440。
  4. 上述一条或多条内容引用自已属公有领域的出版物：Chisholm, Hugh 编 (1911)，“Poisson, Siméon Denis”，《大英百科全书》第 21 卷（第 11 版），剑桥大学出版社，第 896 页。
  5. “Poisson, Simeon Denis: 皇家学会选举证书”，《皇家学会》，检索于 2020 年 10 月 20 日。
  6. “1780–2010 年会员名录：P 字母章节”（PDF），《美国艺术与科学院》，检索于 2016 年 9 月 9 日。
  7. 弗朗索瓦·阿拉戈（1786–1853）曾引述泊松的话：“La vie n'est bonne qu'à deux choses: à faire des mathématiques et à les professer.”（“人生只有两件事值得做：做数学和教数学。”）见：J.-A. Barral 编，《弗朗索瓦·阿拉戈全集》，第 2 卷（法国巴黎：Gide et J. Baudry 出版社，1854 年），第 662 页。
  8. Kline, Morris (1972)，“28.4：势方程与格林定理”，《从古至今的数学思想》，美国：牛津大学出版社，第 682–684 页，ISBN 0-19-506136-5。
  9. Baigrie, Brian (2007)，“第五章：从气流说到流体说”，《电与磁的历史透视》，美国：Greenwood 出版社，第 47 页，ISBN 978-0-313-33358-3。
  10. Baigrie, Brian（2007 年）。“第七章：电流与磁针”。《电与磁：历史透视》，美国：格林伍德出版社，第 72 页，ISBN 978-0-313-33358-3。
  11. Baigrie, Brian（2007 年）。“第八章：力与场”。《电与磁：历史透视》，美国：格林伍德出版社，第 88 页，ISBN 978-0-313-33358-3。
  12. Fresnel, A.J.（1868 年），《全集 第一卷》，巴黎：帝国印刷所。
  13. Fresnel, A.J.（1868 年），《全集 第一卷》，巴黎：帝国印刷所，第 369 页。
  14. Maraldi, G.F.（1723 年），《关于光学的各种实验》，载于《法国皇家科学院纪要》，帝国印刷所，第 111 页。
  15. Kline, Morris（1972 年）。《27.4：复变函数理论的基础》，载于《从古至今的数学思想》，牛津大学出版社，第 633 页，ISBN 0-19-506136-5。
  16. Katz, Victor（1979 年 5 月）。《斯托克斯定理的历史》，《数学杂志》，第 52 卷第 3 期，第 146–156 页，doi:10.1080/0025570X.1979.11976770，JSTOR 2690275。
  17. Kline, Morris（1972 年）。《第 30 章：十九世纪的变分法》，载于《从古至今的数学思想》，牛津大学出版社，ISBN 0-19-506136-5。
  18. Kot, Mark（2014 年）。《第 4 章：基本推广》，载于《变分法入门课程》，美国数学学会，ISBN 978-1-4704-1495-5。
  19. Jammer, Max（1966 年）。《量子力学的概念发展》，麦格劳-希尔出版社，第 233 页。
  20. Goldstein, Herbert（1980 年）。《第 9 章：正则变换》，载于《经典力学》，艾迪生-韦斯利出版社，第 397、399、406–407 页，ISBN 0-201-02918-9。
  21. Farmelo, Graham（2009 年）。《最奇怪的人：保罗·狄拉克的隐秘人生，原子的神秘主义者》，英国：Basic Books，第 83–88 页，ISBN 978-0-465-02210-6。
  22. Coutinho, S. C.（2014 年 5 月 1 日）。《惠特克的解析动力学传记》，载于《精确科学史档案》，第 68 卷第 3 期，第 355–407 页，doi:10.1007/s00407-013-0133-1，ISSN 1432-0657，S2CID 122266762。
  23. Kline, Morris（1972 年）。《28.7：偏微分方程组》，载于《从古至今的数学思想》，美国：牛津大学出版社，第 696–697 页，ISBN 0-19-506136-5。
  24. Kline, Morris（1972 年）。《28.2：热传导方程与傅里叶级数》，载于《从古至今的数学思想》，美国：牛津大学出版社，第 678–679 页，ISBN 0-19-506136-5。
  25. Lewis, Christopher（2007 年）。《第 2 章：热质说的兴起与衰落》，载于《热学与热力学：历史视角》，美国：Greenwood 出版社，ISBN 978-0-313-33332-3。
  26. Taton, R.（1947 年）。《伽罗瓦与他同时代数学家的关系》，《科学史及其应用评论》，第 1 卷第 2 期，第 114–130 页，doi:10.3406/rhs.1947.2607。
  27. Dupuy, Paul（1896 年）。《伽罗瓦的一生》，《高等师范学院科学年鉴》，第 13 期，第 197–266 页，doi:10.24033/asens.427。
  28. Bruno, Leonard C.；Baker, Lawrence W.（2003 年）[1999 年初版]。《数学与数学家：全球数学发现史》，底特律，密歇根州：UXL 出版社，第 173 页，ISBN 978-0787638139，OCLC 41497065。

6. 外部链接


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