平移算符
一维情况
在一维的情况下，平移算符（translation operator） $T(a)$ 可以把函数1 $f(x)$ 整体向右平移 $a$ 得到 $f(x - a)$．假设 $f(x)$ 是无穷阶可导函数，$a$ 是常数，那么 $f(x - a)$ 关于某点 $x$ 的泰勒级数可以用表示为
\begin{equation}
f(x - a) = \left[1 + (-a) \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{2!} (-a)^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + \dots \right] f(x)
\end{equation}
其中方括号中的部分可以表示为一个算符的指数函数，即
\begin{equation}
T(a) = \exp\left(-a \frac{\partial}{\partial{x}} \right)
\end{equation}
我们把这个算符叫做平移算符．
Example 1
令 $f(x) = x^2$，现在我们使用平移算符将其向右平移 $a$．
\begin{equation} \begin{aligned}
\exp\left(-a \frac{\partial}{\partial{x}} \right) x^2 &= \left(1 - a \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{2!} a^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \dots \right) x^2\\
&= x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2
\end{aligned} \end{equation}
我们还可以再次使用平移算符，
\begin{equation} \begin{aligned}
\exp\left(-b \frac{\partial}{\partial{x}} \right) (x - a)^2 &= \left(1 - b \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{2!} b^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \dots \right) (x - a)^2\\
&= (x - a)^2 - 2b(x - a) + b^2
= (x - a - b)^2
\end{aligned} \end{equation}
这就验证了 $T(b) T(a) = T(a + b)$，即
\begin{equation}
\exp\left(-a \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \exp\left(-b \frac{\partial}{\partial{x}} \right) = \exp \left[-(a + b) \frac{\partial}{\partial{x}} \right]
\end{equation}
在量子力学中，由于（位置表象下的）动量算符为 $p = - \mathrm{i} \hbar \partial/\partial x $，平移算符可记为
\begin{equation}
T(a) = \exp\left(- \frac{ \mathrm{i} }{\hbar} a p\right)
\end{equation}
三维情况
将以上的一维动量算符 $p$ 换成三维的 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla $ 即可
\begin{equation}
T( \boldsymbol{\mathbf{a}} ) = \exp\left(- \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla \right) = \exp\left(-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \right)
\end{equation}
推导同理．
1. ^ 这里的讨论是一般性的，所以这里的函数不一定是量子力学中的波函数