量子散射的延迟
一个一维波包用傅里叶变换表示为
\begin{equation}
\psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(\omega) \exp\left( \mathrm{i} kx - \omega t\right) \,\mathrm{d}{\omega}
\end{equation}
自由粒子情况下 $\omega = k^2/(2m)$．如果经过一个势阱，不同平面波透射后发生相移 $\phi(\omega)$，经过后，波包为
\begin{equation}
\psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp\left[ \mathrm{i} kx - \omega t + \phi(\omega)\right] \,\mathrm{d}{k}
\end{equation}
想象一个特殊情况：经过势阱后 $A(k)$ 不变，$\phi(\omega) = \Delta t \omega$，那么波函数变为
\begin{equation}
\psi'(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(k) \exp\left[ \mathrm{i} kx - \omega (t - \Delta t)\right] \,\mathrm{d}{k}
= \psi(x, t - \Delta t)
\end{equation}
这样波包在时间轴上向右平移了 $\Delta t_{EWS}$，即延迟．近似来说，如果波包带宽较窄，频率中心为 $\omega_0$，那么在带宽以内可以把 $\phi(\omega)$ 近似看成是线性的，那么延迟近似为
\begin{equation}
\Delta t_{EWS}(\omega) = \frac{\mathrm{d}{\phi}}{\mathrm{d}{\omega}}
\end{equation}
如果要取一个与波包形状无关的延迟的定义，那么这个定义是最佳选择．注意这样定义的延迟与频率有关．这个延迟被称为
Wigner 延迟或者
EWS (Eisenbud-Wigner-Smith) 延迟．
驻相法
使用驻相法（stationary phase method）可以分析出波包的近似位置，速度以及时间延迟．把eq. 2 中的 $x, t$ 固定，令相位 $kx - \omega t + \phi$ 对 $\omega$ 求导为零，有
\begin{equation}
x = v_g \left(t - \frac{\mathrm{d}{\phi}}{\mathrm{d}{\omega}} \right)
\end{equation}
其中 $v_g = \mathrm{d}{\omega}/\mathrm{d}{k} $ 是群速度．同样可以得到
eq. 4 ．