Prerequisite 洛伦兹群
，欧拉—拉格朗日方程
Definition 1
标量场即洛伦兹变换下不变的场．设在两个惯性系中，标量场分别为 $\phi(x)$ 和 $\phi'(x')$，那么有
\begin{equation}
\phi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=\phi(x)
\end{equation}
图景是这样的，对于一个固定点 P 而言，洛伦兹变换前后对应的坐标不同，场函数形式不同，结果是 P 的数值不变．
Corollary 1
做一个无穷小变换
\begin{equation}
x^{\rho} \rightarrow x^{\prime \rho}=x^{\rho}+\delta x^{\rho}
\end{equation}
并且
\begin{equation}
\delta x^{\rho}=\omega_{\sigma}^{\rho} x^{\sigma}=-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}\left(J^{\mu \nu}\right)_{\sigma}^{\rho} x^{\sigma}
\end{equation}
其中，$\left(J^{\mu \nu}\right)_{\sigma}^{\rho}=i\left(\eta^{\mu \rho} \delta_{\sigma}^{\nu}-\eta^{\nu \rho} \delta_{\sigma}^{\mu}\right)$
显然，令 $J^{\mu \nu}=0$，该标量表示 $(0,0,)$ 能满足标量场的定义．这是个平庸的结果，在场表示里，我们能做到更多．对于固定点 $x$，我们做场的无穷小变换
\begin{equation}
\delta_{0} \phi \equiv \phi^{\prime}(x)-\phi(x)
\end{equation}
为了找到该表示下的生成元，我们做一阶泰勒展开
\begin{equation}
\delta_{0} \phi=\phi^{\prime}\left(x^{\prime}-\delta x\right)-\phi(x)=-\delta x^{\rho} \partial_{\rho} \phi(x)
\end{equation}
代入
eq. 3 ，我们有
\begin{equation}
\delta_{0} \phi=\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}\left(J^{\mu \nu}\right)_{\sigma}^{\rho} x^{\sigma} \partial_{\rho} \phi \equiv-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} L^{\mu \nu} \phi
\end{equation}
在这里，我们定义
\begin{equation}
L^{\mu \nu}=-\left(J^{\mu \nu}\right)_{\sigma}^{\rho} x^{\sigma} \partial_{\rho}=i\left(x^{\mu} \partial^{\nu}-x^{\nu} \partial^{\mu}\right)
\end{equation}
我们可以验证，$L^{\mu \nu}$ 满足洛伦兹群的李代数，从而确实是洛伦兹变换的生成元．所以在这里我们给出了无限维的洛伦兹群的标量场表示．由于场函数随着坐标不同而不同，所以是无限维的．
实际上，如果定义 $p^{\mu}=+i \partial^{\mu}$，会有 $L^{\mu \nu}=x^{\mu} p^{\nu}-x^{\nu} p^{\mu}$，若上标取空间坐标 i,j，我们会发现这就是轨道角动量．由于 $J^{\mu \nu}=L^{\mu \nu}+S^{\mu \nu}$，所以标量场表示是自旋为 0 的．
综上所述，我们得到了洛伦兹群的标量场表示，标量场在该表示下进行洛伦兹变换，由于该表示自旋为 0，所以标量场代表的是自旋为 0 的场．
举例
克莱因—戈登场即为标量场．克莱因—戈登方程为
\begin{equation}
\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \psi-\nabla^{2} \psi+\frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^{2}} \psi=0
\end{equation}
取自然单位，$c=\bar{h}=1$，得到协变形式
\begin{equation}
\left(\square^{2}+m^{2}\right) \psi=0
\end{equation}
达朗贝尔算符 $\square^{2}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}$
在经典场论，它的拉格朗日量为 $L=\frac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi-\frac{1}{2} m^{2} \phi^{2}$，由欧拉-拉格朗日方程可解得克莱因-戈尔登方程方程．根据能量本征值解，我们知道这是一个相对论性的自旋为 0 的标量场．
Corollary 2
以上我们得到了经典场论下的标量场，接着我们将标量场进行正则量子化．所谓量子化，实际上是把场看做无数个简谐振子，这由产生和湮灭算符体现．
对于量子力学，我们有坐标-动量基本对易关系
$\left[\hat{q^{i}}, \hat{p^{j}}\right]=i \delta^{i j}$
若在海森堡绘景，该对易子则是等时性的．
同样的，在量子场论里，我们也可以有类似的操作．场 $\hat{\phi}(t, \mathbf{x})$ 对应于坐标算符 $\hat{q^{i}}$，场的共轭动量定义为
\begin{equation}
\hat{\Pi}_{\hat{\phi}}=\frac{\partial \hat{\mathcal{L}}}{\partial\left(\partial_{0} \phi\right)}=\partial_{0} \hat{\phi}
\end{equation}
，其中 $\hat{\mathcal{L}}$ 为拉氏量密度，
Action $S=\int d t L=\int d^{4} x \mathcal{L}\left(\phi, \partial_{\mu} \phi\right)$
$\hat{\Pi}(t, \mathbf{x})$ 对应于动量算符 $\hat{q^{i}}$，则有
\begin{equation}
[\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\Pi}(t, \mathbf{y})]=i \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})
\end{equation}
等时下
\begin{equation}
[\hat{\phi}(t, \mathbf{x}), \hat{\phi}(t, \mathbf{y})]=[\hat{\Pi}(t, \mathbf{x}), \hat{\Pi}(t, \mathbf{y})]=0
\end{equation}
实标量场是厄米算符．由此我们可得到克莱因-戈登方程的算符解，即：
\begin{equation}
\hat{\phi}(x)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3} \sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}}\left(\hat{a}_{\mathbf{p}} e^{-i p x}+\hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{i p x}\right)
\end{equation}
可以验证算符的厄米性．
其中 $ipx=ip_\mu x^\mu=iEt-i\vec{p}\vec{x}$,可以证明，场算符的对易关系等价于
\begin{equation}
\left[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^{\dagger}\right]=(2 \pi)^{3} \delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})
\end{equation}
\begin{equation}
\left[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}\right]=0, \quad\left[\hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^{\dagger}\right]=0
\end{equation}
自然而然的，从对易关系我们可以看出，场算符的两项由产生算符和湮灭算符线性叠加而成．
能量
我们需要知道量子化标量场后的哈密顿密度形式．由于
\begin{equation}
\hat{\mathcal{H}}=\hat{\Pi}_{\hat{\phi}} \partial_{0} \hat{\phi}-\hat{\mathcal{L}}=\frac{1}{2}\left[\hat{\Pi}_{\hat{\phi}}^{2}+(\nabla \hat{\phi})^{2}+m^{2} \hat{\phi}^{2}\right]
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{H}=\int d^{3} x \hat{\mathcal{H}}=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} E_{p} \frac{1}{2}\left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger} \hat{a}_{\mathbf{p}}+\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger}\right)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} E_{p}\left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger} \hat{a}_{\mathbf{p}}+\frac{1}{2}\left[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger}\right]\right)
\end{equation}
第二项是所有谐振子的真空零点能，由于我们实际上的测值是能量差，所以这里出现的发散情况并无大碍．
对于这种操作，我们引入normal ordering这一概念，对于算符 $\hat{\mathcal{O}}$,其 normal ordered form 表示为 $:\mathcal{O}:$，把产生算符都放左边，湮灭算符都放右边，从而得到 $:\mathcal{O}:$．
所以
\begin{equation}
\hat{H}=\frac{1}{2} \int d^{3} x: \hat{\Pi}^{2}+(\nabla \hat{\phi})^{2}+m^{2} \hat{\phi}^{2}:
\end{equation}
因果性
我们需要验证这个理论是否符合因果性，即类空距离的算符是否都对易
\begin{equation}
\left[\mathcal{\hat{O}}_{1}(x), \mathcal{\hat{O}}_{2}(y)\right]=0 \quad \forall \quad(x-y)^{2} < 0
\end{equation}
我们定义
\begin{equation}
\Delta(x-y)=[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]
\end{equation}
可求得
\begin{equation}
\Delta(x-y)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2 E_{\vec{p}}}\left(e^{-i p \cdot(x-y)}-e^{i p \cdot(x-y)}\right)
\end{equation}
从上式中我们可以获知：
- 这是洛伦兹不变的．积分测度的不变性可以由 delta 函数的性质证明，指数函数由于是数，所以也是洛伦兹不变的．
- 类时下，该函数不为 0，类空反之．我们可以通过举特例证明这一点．（由洛伦兹不变性知特例的结果取值不变）
因而我们证明了标量场理论是符合因果律的．
传播子
在量子力学里，传播子即为跃迁振幅，$\left\langle\mathbf{x}^{\prime \prime}, t \mid \mathbf{x}^{\prime}, t_{0}\right\rangle$ 为 $t_0$ 时制备的具有本征值x'的粒子在 t 时刻，x''处被发现的概率振幅．也就是粒子从一个时空点到另一个时空点的概率振幅．（当然啦，这只是其中一种解释）场论中亦然,
由于场算符由产生算符和湮灭算符线性叠加而成,其作用于真空态则意味着在某处产生粒子．所以传播子的表达可为
$\begin{aligned}\langle 0|\hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y)| 0\rangle &=\int \frac{d^{3} p d^{3} p^{\prime}}{(2 \pi)^{6}} \frac{1}{\sqrt{4 E_{\vec{p}} E_{\vec{p}^{\prime}}}}\left\langle 0\left|a_{\vec{p}} a_{\vec{p}^{\prime}}^{\dagger}\right| 0\right\rangle e^{-i p \cdot x+i p^{\prime} \cdot y} \\ &=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2 E_{\vec{p}}} e^{-i p \cdot(x-y)} \equiv D(x-y) \end{aligned}$
可以验证
\begin{equation}
[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]=D(x-y)-D(y-x)=0 \quad \text { if } \quad(x-y)^{2} < 0
\end{equation}
费曼传播子
在相互作用场论中，费曼传播子相当重要．它是这么定义的
\begin{equation}
\Delta_{F}(x-y)=\langle 0|T \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y)| 0\rangle=\left\{\begin{array}{ll}
D(x-y) & x^{0} > y^{0} \\
D(y-x) & y^{0} > x^{0}
\end{array}\right.
\end{equation}
其中 T 是
time ordering 编时乘积，作用是把时间靠后的算符放在前面
\begin{equation}
T \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) & x^{0} > y^{0} \\
\hat{\phi}(y) \hat{\phi}(x) & y^{0} > x^{0}
\end{array}\right.
\end{equation}
可以用留数定理证明，标量场的费曼传播子是
\begin{equation}
\Delta_{F}(x-y)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4}} \frac{i}{p^{2}-m^{2}} e^{-i p \cdot(x-y)}
\end{equation}
格林函数
费曼传播子即 Klein-Gordon 方程的格林函数解．
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left(\partial_{t}^{2}-\nabla^{2}+m^{2}\right) \Delta_{F}(x-y) &=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4}} \frac{i}{p^{2}-m^{2}}\left(-p^{2}+m^{2}\right) e^{-i p \cdot(x-y)} \\
&=-i \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4}} e^{-i p \cdot(x-y)} \\
&=-i \delta^{(4)}(x-y)
\end{aligned}
\end{equation}