滑块和运动斜面问题
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Prerequisite 人船模型
Fig. 1：受力分析
在滑块斜面问题的基础上，如果我们假设斜面质量为 $M$, 滑块质量为 $m$，滑块、斜面、地面三者之间均无摩擦，那么滑块在斜面上自由下滑时，相对斜面的加速度是多少呢？
令 $x, y$ 为滑块水平方向和竖直方向移动的距离．$X$ 为斜面水平方向移动的距离，$l$ 为滑块相对斜面的位移大小．对滑块与斜面组成得系统而言，在水平方向不受力，动量守恒，质心在水平方向速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v_{cx}}} $ 不变（见人船模型）．以系统质心所在竖直方向为 $y$ 轴，地面为 $x$ 轴建立直角坐标系，则有
\begin{equation}
mx+MX=0 \qquad x-X=l\cos\theta
\end{equation}
\begin{equation}
x = \frac{M}{M + m}l\cos\theta \qquad X = -\frac{m}{M + m}l\cos\theta
\end{equation}
\begin{equation}
y = -l\sin\theta
\end{equation}
以下介绍三种方法，都可以解得滑块相对斜面的加速度为
\begin{equation}
a = \ddot l = \frac{g\sin\theta(M+m)}{M + m\sin^2\theta}
\end{equation}
受力分析法
未完成：使用高中的方法，用 “拉格朗日方程法” 中的变量 $x, y, X$ 列方程
非惯性系法
这是最简单的方法．在斜面的参考系，滑块会受到向右的惯性力 $-m\ddot X$，所以沿斜面向下使用牛顿第二定律得
\begin{equation}
-m\ddot X\cos\theta + mg\sin\theta = m\ddot l
\end{equation}
拉格朗日方程法
考虑动量守恒，这个系统只有一个自由度，即一个广义坐标 $l$．拉格朗日量等于
\begin{equation}
\begin{aligned}
L = T - V &= \frac12 m(\dot x^2 + \dot y^2) + \frac12 M \dot X^2 - mgy\\
&= \frac{1}{2}m \left(\frac{M\cos^2\theta}{M + m}+\sin^2\theta \right) \dot l^2 + mg\sin\theta \cdot l\\
&=\frac{1}{2}m\frac{M+m\sin^2\theta}{m+M}\dot{l}^2+mg\sin\theta\cdot l
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot l} = \frac{\partial L}{\partial l}
\end{equation}
\begin{equation}
m\frac{M+m\sin^2\theta}{m+M}\ddot{l}=mg\sin\theta
\end{equation}
解得eq. 4 ．