子流形
子流形
Definition 1 子流形
设 $N$ 是一个 $n$ 维流形，$K$ 是它的一个子集．如果在 $K$ 上任意点 $x_0\in K\subseteq N$，都存在一个 $N$ 的图 $(U, \varphi)$，使得 $\varphi (U\cap K)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中 “令后 $n-k$ 个坐标为 $0$” 所得的平面，其中为方便，记 $\varphi|_K:U\cap K\rightarrow\mathbb{R}^k$，且 $\forall x\in U\cap K, \varphi(x)=\varphi|_K(x)$，那么用各 $(U, \varphi|_K)$ 的图册可以构成集合 $K$ 上的拓扑流形，取该图册的极大图册来赋予 $K$ 所得的光滑流形，即为 $N$ 的子流形．
简单来说，定义子流形的需要两步．第一步是利用原流形的 $N$ 图册来构建一个子流形 $K$ 的图册，具体方式见def. 1 ，其中使用的定义方式是为了方便讨论，并非唯一的方式；第二步是把这个图册扩充为极大图册．这样，配备了此极大图册的 $K$ 就是我们需要的子流形．
等值面/水平集